Übungsblatt 2

Wahrscheinlichkeitstheoretische_Grundlagen

  1. Sei X eine Zufallsvariable mit \(E(X) = 3\). Interpretieren Sie diesen Wert.

    Wenn man das der Zufallsvariable X zugrundeliegende Zufallsexperiment unendlich oft wiederholen würde und den Mittelwert aus allen Realisation der Zufallsvariable berechnen würde, wäre dieser Mittelwert 3.

  2. Sei X eine Zufallsvariable mit \(Var(X) = 5\). Interpretieren Sie diesen Wert.

    Wenn man das der Zufallsvariable X zugrundeliegende Zufallsexperiment unendlich oft wiederholen würde und die empirische Varianz aller Realisation der Zufallsvariable berechnen würde, wäre diese Varianz 5.

  3. Seien X und Y Zufallsvariablen mit \(Cov(X, Y) = 10\). Interpretieren Sie diesen Wert.

    Wenn man das den Zufallsvariablen X und Y zugrundeliegende Zufallsexperiment unendlich oft wiederholen würde und die empirische Kovarianz aller Realisation der Zufallsvariablen berechnen würde, wäre diese Kovarianz 10.

  4. Seien X und Y Zufallsvariablen mit \(Cor(X, Y) = 0.7\). Interpretieren Sie diesen Wert.

    Wenn man das den Zufallsvariablen X und Y zugrundeliegende Zufallsexperiment unendlich oft wiederholen würde und die empirische Korrelation aller Realisation der Zufallsvariablen berechnen würde, wäre diese Korrelation 0.7.

  5. Eine feste Person hat auf drei Items eines Tests wie folgt geantwortet:

    Welche Zufallsvariablen haben sich hier jeweils realisiert und in welchem Wert?

    • Zufallsvariablen: \(X_{1Person}\), \(X_{2Person}\) und \(X_{3Person}\)
    • Realisationen: \(x_{1Person} = 4\), \(x_{2Person} = 2\) und \(x_{3Person} = 4\)

  6. Bei einer festen Person wurden auf drei Items eines Reaktionstests jeweils folgende Reaktionszeiten gemessen: 30.7ms, 5.4ms, 20.5ms
    Welche Zufallsvariablen haben sich hier jeweils realisiert und in welchem Wert?

    • Zufallsvariablen: \(X_{1Person}\), \(X_{2Person}\) und \(X_{3Person}\)
    • Realisationen: \(x_{1Person} = 30.7\), \(x_{2Person} = 5.4\) und \(x_{3Person} = 20.5\)

  7. Wie ist der wahre Wert \(\tau_{iPerson}\) einer Person auf einem Item \(i\) definiert und wie kann man ihn interpretieren?

    Definition: \(\tau_{iPerson} = E(X_{iPerson})\)
    Interpretation: Wenn die feste Person unendlich oft auf das Item \(i\) antworten würde, dann wäre \(\tau_{iPerson}\) der Mittelwert dieser Itemantworten.

  8. Erklären Sie, was in den zwei Schritten des doppelten Zufallsexperiments jeweils geschieht.

    • Erster Schritt: Eine Person wird zufällig gezogen
    • Zweiter Schritt: Diese Person beantwortet die Items des Tests

  9. Wie ist der zufällige wahre Wert \(\tau_{i}\) eines Items \(i\) definiert?

    \(\tau_{i}\) ist eine Zufallsvariable, deren Realisation der feste wahre Wert \(\tau_{iPerson}\) der zufällig gezogenen Person auf diesem Item ist.

  10. Eine Person wird zufällig aus einer Population gezogen und antwortet auf mehrere Items. Vervollständigen Sie:

    1. \(\tau_{iPerson}\) ist für jedes Item i eine Realisation der Zufallsvariable _____.
    2. \(\tau_{iPerson}\) ist für jedes Item i der Erwartungswert der Zufallsvariable _____.
    3. \(X_{i}\) steht für die Itemantwort einer _______________ Person auf Item \(i\).
    4. \(X_{iPerson}\) steht für die Itemantwort der _______________ Person auf Item \(i\).
    1. \(\tau_{iPerson}\) ist für jedes Item i eine Realisation der Zufallsvariable \(\mathbf{\tau_{i}}\).
    2. \(\tau_{iPerson}\) ist für jedes Item i der Erwartungswert der Zufallsvariable \(\mathbf{X_{iPerson}}\).
    3. \(X_{i}\) steht für die Itemantwort einer zufälligen Person auf Item \(i\).
    4. \(X_{iPerson}\) steht für die Itemantwort der festen Person auf Item \(i\).

  11. Eine Person wird zufällig aus einer Population gezogen und antwortet auf die drei Items aus Aufgabe 5.

    1. Der zufällige wahre Wert \(\tau_{3}\) realisiert sich in dem Wert \(\tau_{3Person} = 2.5\).  Interpretieren Sie diesen Wert.
    2. \(X_{3}\) realisiert sich in dem Wert \(x_{3} = 5\). Interpretieren Sie diesen Wert.
    3. Seien \(E(\tau_{2}) = 1.5\) und \(Var(\tau_{2}) = 1\). Interpretieren Sie diese Werte.
    1. Wenn die gezogene Person unendlich oft auf das Item 3 antworten würde, dann wäre der Mittelwert dieser Itemantworten 2.5
    2. Die zufällig gezogene Person hat bei Item 3 die 5 angekreuzt.
    3. Der Mittelwert der wahren Werte auf Item 2 in der Population ist 1.5.
      Die Varianz der wahren Werte auf Item 2 in der Population ist 1.

  12. Durch welche Zufallsvariablen können die folgenden Aspekte des doppelten Zufallsexperimentes beschreiben werden?

    1. Eine Person wird zufällig gezogen und ihr wahrer Wert auf Item 4 wird erfasst (angenommen dies wäre in der Praxis möglich)
    2. Eine Person wird zufällig gezogen und antwortet auf Item 4
    3. Eine schon gezogene Person antwortet auf Item 4
    1. Eine Person wird zufällig gezogen und ihr wahrer Wert auf Item 4 wird erfasst: \(\mathbf{\tau_{4}}\)
    2. Eine Person wird zufällig gezogen und antwortet auf Item 4: \(\mathbf{X_{4}}\)
    3. Eine schon gezogene Person antwortet auf Item 4: \(\mathbf{X_{4Person}}\)

  13. Erläutern Sie die Grafiken auf den Folien 24 und 25 der Vorlesung in eigenen Worten.

    Folie 24: Ein möglicher Ausgang des doppelten Zufallsexperiments. Das obere Histogramm zeigt die Verteilung der wahren Werte in der Population. Eine Person wird zufällig aus dieser Population gezogen. Der wahre Wert dieser Person auf dem Item \(i\) ist \(\tau_{iPerson} = 3.7\). Damit hat sich die Zufallsvariable \(\tau_{i}\) in dem Wert \(\tau_{iPerson} = 3.7\) realisiert. Das untere Histogramm zeigt nun die Verteilung der Itemantworten der gezogenen Person, falls diese Person unendlich oft auf das Item \(i\) antworten würde. Der Mittelwert dieser Itemantworten wäre \(\tau_{iPerson} = 3.7\). Tatsächlich kreuzt die Person auf dem Item \(i\) die 2 an. Damit haben sich die Zufallsvariablen \(X_{i}\) und \(X_{iPerson}\) beide in dem Wert \(x_{i} = x_{iPerson} = 2\) realisiert.

    Folie 25: Ein weiterer möglicher Ausgang des doppelten Zufallsexperiments. Hier wurde aus der gleichen Population wie auf Folie 24 eine Person mit einem wahren Wert von \(\tau_{iPerson} = 1.4\) gezogen, die dann auf dem Item \(i\) die 1 angekreuzt hat.