Übungsaufgaben

Einführung in statistische Hypothesentests

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  1. Aus Ihrer Theorie ergibt sich, dass Raucher nach einer neuartigen therapeutischen Intervention in ihrer (stetigen) Selbstwirksamkeit im Durchschnitt einen Wert von ungleich 40 aufweisen sollten. Sie können davon ausgehen, dass das Histogramm der Werte der Selbstwirksamkeit in der Population durch die Dichte einer Normalverteilung approximiert werden kann und eine einfache Zufallsstichprobe gezogen wird.

    1. Stellen Sie die inhaltlichen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:{\overline{x}}_{S} = 40\]

      \[H_{1}:{\overline{x}}_{S} \neq 40\]

    2. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\mu = 40\]

      \[H_{1}:\mu \neq 40\]

    3. Was wäre in diesem Fall ein Fehler 1. Art und was wäre ein Fehler 2. Art?

      Fehler 1. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Selbstwirksamkeit in der Population der Raucher ungleich 40 ist, obwohl sie gleich 40 ist.

      Fehler 2. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Selbstwirksamkeit in der Population der Raucher gleich 40 ist, obwohl sie ungleich 40 ist.

    4. Geben Sie die Teststatistik in einer allgemeinen Form, sowie deren Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Voraussetzung, dass die \(H_0\) gilt, an.

      \[T = \frac{\overline{X} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{S^{2}}{n}}} \sim t(n - 1)\]

    5. Bestimmen Sie den kritischen Bereich für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) und eine Stichprobengröße von \(n = 4\) mithilfe der Funktion qt in R.

      \(\alpha = 0.005\)

      Da wir 4 Raucher in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 4\) und daher \(\nu = n - 1 = 4 - 1 = 3\).

      \(t_{krit\_links}\) ist derjenige Wert, für den \(F\left(t_{krit\_links}\right) = \frac{\alpha}{2} = \frac{0.005}{2} = 0.0025\) ist.

      Berechnung in R:

      qt(0.0025, 3)
      [1] -7.453319

      also ist \(t_{krit\_links} \approx\) -7.45.

      \(t_{krit\_rechts}\) ist derjenige Wert, für den \(F\left(t_{krit\_rechts}\right) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 0.9975\) ist.Aufgrund der Symmetrie der t-Verteilung um 0 gilt: \(t_{krit\_rechts} = - t_{krit\_links} \approx\) 7.45

      Der kritische Bereich ist

      \[K_{T} = \left\rbrack - \infty,\ t_{krit\_links} \right\rbrack \cup \left\lbrack t_{krit\_rechts},\infty \right\lbrack = \left\rbrack - \infty, -7.45 \right\rbrack \cup \left\lbrack 7.45,\infty \right\lbrack\]

    6. Sie haben folgende Daten aus einer einfachen Zufallsstichprobe vorliegen:

      Person Selbstwirksamkeit
      1 44
      2 43
      3 50
      4 49

      Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik.

      Die Realisation der Teststatistik berechnet sich aus der Formel

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}\]

      \(\mu_{0} = 40\) ergibt sich aus unseren Hypothesen. Da wir 4 Raucher in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 4\).

      Wir müssen also noch \(\overline{x}\) und \(s^{2}\) berechnen.

      \[\begin{align*} \overline{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{44 + 43 + 50 + 49}{4} = 46.5 \\ s^{2} &= \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \\ &=\frac{(44 - 46.5)^2 + (43 - 46.5)^2 + (50 - 46.5)^2 + (49 - 46.5)^2}{3} = 12.33 \end{align*}\]

      Einsetzen ergibt:

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}} = \frac{46.5 - 40}{\sqrt{\frac{12.33}{4}}} \approx 3.702\]

    7. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in der Population der Raucher nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Selbstwirksamkeit einen Wert von ungleich 40 aufweisen?

      Um das beantworten zu können, müssen wir die Testentscheidung treffen:

      Da die Realisation der Teststatistik \(t = 3.702\) nicht im kritischen Bereich \(K_{T} = \left\rbrack - \infty,\ t_{krit\_links} \right\rbrack \cup \left\lbrack t_{krit\_rechts},\infty \right\lbrack = \left\rbrack - \infty, -7.45 \right\rbrack \cup \left\lbrack 7.45,\infty \right\lbrack\) liegt, entscheiden wir uns für die \(H_{0}\). Wir entscheiden uns also dafür, dass \(\mu = 40\) ist, und damit auch, dass die mittlere Selbstwirksamkeit in der Population der Raucher nicht ungleich 40 ist.

    8. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in Ihrer Stichprobe nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Selbstwirksamkeit einen Wert von ungleich 40 aufweisen?

      Der oben berechnete Durchschnittswert der Selbstwirksamkeit beträgt in der Stichprobe \(\overline{x} = 46.5\), Wir sehen also, dass dieser Wert ungleich 40 ist.

  1. Aus Ihrer Theorie ergibt sich, dass Diabetiker nach einer neuartigen therapeutischen Intervention in ihrer (stetigen) Resilienz im Durchschnitt einen Wert von kleiner als 34 aufweisen sollten. Sie können davon ausgehen, dass das Histogramm der Werte der Resilienz in der Population durch die Dichte einer Normalverteilung approximiert werden kann und eine einfache Zufallsstichprobe gezogen wird.

    1. Stellen Sie die inhaltlichen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:{\overline{x}}_{R} \geq 34\]

      \[H_{1}:{\overline{x}}_{R} < 34\]

    2. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\mu \geq 34\]

      \[H_{1}:\mu < 34\]

    3. Was wäre in diesem Fall ein Fehler 1. Art und was wäre ein Fehler 2. Art?

      Fehler 1. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Resilienz in der Population der Diabetiker kleiner als 34 ist, obwohl sie größer oder gleich 34 ist.

      Fehler 2. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Resilienz in der Population der Diabetiker größer oder gleich 34 ist, obwohl sie kleiner als 34 ist.

    4. Geben Sie die Teststatistik in einer allgemeinen Form, sowie deren Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Voraussetzung, dass die \(H_0\) gilt, an.

      \[T = \frac{\overline{X} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{S^{2}}{n}}} \sim t(n - 1)\]

    5. Bestimmen Sie den kritischen Bereich für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) und eine Stichprobengröße von \(n = 5\) mithilfe der Funktion qt in R.

      \(\alpha = 0.005\)

      Da wir 5 Diabetiker in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 5\) und daher \(\nu = n - 1 = 5 - 1 = 4\).

      \(t_{krit\_links}\) ist derjenige Wert, für den \(F\left(t_{krit\_links}\right) = \alpha = 0.005\) ist.

      Berechnung in R:

      qt(0.005, 4)
      [1] -4.604095

      also ist \(t_{krit\_links} \approx\) -4.6.

      Der kritische Bereich ist

      \[K_{T} = \left\rbrack - \infty,\ t_{krit\_links} \right\rbrack = \left\rbrack - \infty, -4.6 \right\rbrack\]

    6. Sie haben folgende Daten aus einer einfachen Zufallsstichprobe vorliegen:

      Person Resilienz
      1 31
      2 26
      3 24
      4 26
      5 26

      Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik.

      Die Realisation der Teststatistik berechnet sich aus der Formel

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}\]

      \(\mu_{0} = 34\) ergibt sich aus unseren Hypothesen. Da wir 5 Diabetiker in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 5\).

      Wir müssen also noch \(\overline{x}\) und \(s^{2}\) berechnen.

      \[\begin{align*} \overline{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{31 + 26 + 24 + 26 + 26}{5} = 26.6 \\ s^{2} &= \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \\ &=\frac{(31 - 26.6)^2 + (26 - 26.6)^2 + (24 - 26.6)^2 + (26 - 26.6)^2 + (26 - 26.6)^2}{4} = 6.8 \end{align*}\]

      Einsetzen ergibt:

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}} = \frac{26.6 - 34}{\sqrt{\frac{6.8}{5}}} \approx -6.345\]

    7. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in der Population der Diabetiker nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Resilienz einen Wert von kleiner als 34 aufweisen?

      Um das beantworten zu können, müssen wir die Testentscheidung treffen:

      Da die Realisation der Teststatistik \(t = -6.345\) im kritischen Bereich \(K_{T} = \left\rbrack - \infty,\ t_{krit\_links} \right\rbrack = \left\rbrack - \infty, -4.6 \right\rbrack\) liegt, entscheiden wir uns für die \(H_{1}\). Wir entscheiden uns also dafür, dass \(\mu < 34\) ist, und damit auch, dass die mittlere Resilienz in der Population der Diabetiker kleiner als 34 ist.

    8. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in Ihrer Stichprobe nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Resilienz einen Wert von kleiner als 34 aufweisen?

      Der oben berechnete Durchschnittswert der Resilienz beträgt in der Stichprobe \(\overline{x} = 26.6\), Wir sehen also, dass dieser Wert kleiner als 34 ist.

  1. Aus Ihrer Theorie ergibt sich, dass Studentinnen nach einer neuartigen therapeutischen Intervention in ihrer (stetigen) Achtsamkeit im Durchschnitt einen Wert von kleiner als 44 aufweisen sollten. Sie können davon ausgehen, dass das Histogramm der Werte der Achtsamkeit in der Population durch die Dichte einer Normalverteilung approximiert werden kann und eine einfache Zufallsstichprobe gezogen wird.

    1. Stellen Sie die inhaltlichen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:{\overline{x}}_{A} \geq 44\]

      \[H_{1}:{\overline{x}}_{A} < 44\]

    2. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\mu \geq 44\]

      \[H_{1}:\mu < 44\]

    3. Was wäre in diesem Fall ein Fehler 1. Art und was wäre ein Fehler 2. Art?

      Fehler 1. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Achtsamkeit in der Population der Studentinnen kleiner als 44 ist, obwohl sie größer oder gleich 44 ist.

      Fehler 2. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Achtsamkeit in der Population der Studentinnen größer oder gleich 44 ist, obwohl sie kleiner als 44 ist.

    4. Geben Sie die Teststatistik in einer allgemeinen Form, sowie deren Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Voraussetzung, dass die \(H_0\) gilt, an.

      \[T = \frac{\overline{X} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{S^{2}}{n}}} \sim t(n - 1)\]

    5. Bestimmen Sie den kritischen Bereich für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) und eine Stichprobengröße von \(n = 4\) mithilfe der Funktion qt in R.

      \(\alpha = 0.005\)

      Da wir 4 Studentinnen in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 4\) und daher \(\nu = n - 1 = 4 - 1 = 3\).

      \(t_{krit\_links}\) ist derjenige Wert, für den \(F\left(t_{krit\_links}\right) = \alpha = 0.005\) ist.

      Berechnung in R:

      qt(0.005, 3)
      [1] -5.840909

      also ist \(t_{krit\_links} \approx\) -5.84.

      Der kritische Bereich ist

      \[K_{T} = \left\rbrack - \infty,\ t_{krit\_links} \right\rbrack = \left\rbrack - \infty, -5.84 \right\rbrack\]

    6. Sie haben folgende Daten aus einer einfachen Zufallsstichprobe vorliegen:

      Person Achtsamkeit
      1 35
      2 38
      3 36
      4 37

      Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik.

      Die Realisation der Teststatistik berechnet sich aus der Formel

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}\]

      \(\mu_{0} = 44\) ergibt sich aus unseren Hypothesen. Da wir 4 Studentinnen in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 4\).

      Wir müssen also noch \(\overline{x}\) und \(s^{2}\) berechnen.

      \[\begin{align*} \overline{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{35 + 38 + 36 + 37}{4} = 36.5 \\ s^{2} &= \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \\ &=\frac{(35 - 36.5)^2 + (38 - 36.5)^2 + (36 - 36.5)^2 + (37 - 36.5)^2}{3} = 1.67 \end{align*}\]

      Einsetzen ergibt:

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}} = \frac{36.5 - 44}{\sqrt{\frac{1.67}{4}}} \approx -11.607\]

    7. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in der Population der Studentinnen nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Achtsamkeit einen Wert von kleiner als 44 aufweisen?

      Um das beantworten zu können, müssen wir die Testentscheidung treffen:

      Da die Realisation der Teststatistik \(t = -11.607\) im kritischen Bereich \(K_{T} = \left\rbrack - \infty,\ t_{krit\_links} \right\rbrack = \left\rbrack - \infty, -5.84 \right\rbrack\) liegt, entscheiden wir uns für die \(H_{1}\). Wir entscheiden uns also dafür, dass \(\mu < 44\) ist, und damit auch, dass die mittlere Achtsamkeit in der Population der Studentinnen kleiner als 44 ist.

    8. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in Ihrer Stichprobe nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Achtsamkeit einen Wert von kleiner als 44 aufweisen?

      Der oben berechnete Durchschnittswert der Achtsamkeit beträgt in der Stichprobe \(\overline{x} = 36.5\), Wir sehen also, dass dieser Wert kleiner als 44 ist.

  1. Aus Ihrer Theorie ergibt sich, dass Senioren nach einer neuartigen therapeutischen Intervention in ihrer (stetigen) Lebenszufriedenheit im Durchschnitt einen Wert von ungleich 44 aufweisen sollten. Sie können davon ausgehen, dass das Histogramm der Werte der Lebenszufriedenheit in der Population durch die Dichte einer Normalverteilung approximiert werden kann und eine einfache Zufallsstichprobe gezogen wird.

    1. Stellen Sie die inhaltlichen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:{\overline{x}}_{L} = 44\]

      \[H_{1}:{\overline{x}}_{L} \neq 44\]

    2. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\mu = 44\]

      \[H_{1}:\mu \neq 44\]

    3. Was wäre in diesem Fall ein Fehler 1. Art und was wäre ein Fehler 2. Art?

      Fehler 1. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Lebenszufriedenheit in der Population der Senioren ungleich 44 ist, obwohl sie gleich 44 ist.

      Fehler 2. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Lebenszufriedenheit in der Population der Senioren gleich 44 ist, obwohl sie ungleich 44 ist.

    4. Geben Sie die Teststatistik in einer allgemeinen Form, sowie deren Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Voraussetzung, dass die \(H_0\) gilt, an.

      \[T = \frac{\overline{X} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{S^{2}}{n}}} \sim t(n - 1)\]

    5. Bestimmen Sie den kritischen Bereich für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) und eine Stichprobengröße von \(n = 5\) mithilfe der Funktion qt in R.

      \(\alpha = 0.005\)

      Da wir 5 Senioren in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 5\) und daher \(\nu = n - 1 = 5 - 1 = 4\).

      \(t_{krit\_links}\) ist derjenige Wert, für den \(F\left(t_{krit\_links}\right) = \frac{\alpha}{2} = \frac{0.005}{2} = 0.0025\) ist.

      Berechnung in R:

      qt(0.0025, 4)
      [1] -5.597568

      also ist \(t_{krit\_links} \approx\) -5.6.

      \(t_{krit\_rechts}\) ist derjenige Wert, für den \(F\left(t_{krit\_rechts}\right) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 0.9975\) ist.Aufgrund der Symmetrie der t-Verteilung um 0 gilt: \(t_{krit\_rechts} = - t_{krit\_links} \approx\) 5.6

      Der kritische Bereich ist

      \[K_{T} = \left\rbrack - \infty,\ t_{krit\_links} \right\rbrack \cup \left\lbrack t_{krit\_rechts},\infty \right\lbrack = \left\rbrack - \infty, -5.6 \right\rbrack \cup \left\lbrack 5.6,\infty \right\lbrack\]

    6. Sie haben folgende Daten aus einer einfachen Zufallsstichprobe vorliegen:

      Person Lebenszufriedenheit
      1 47
      2 48
      3 47
      4 49
      5 54

      Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik.

      Die Realisation der Teststatistik berechnet sich aus der Formel

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}\]

      \(\mu_{0} = 44\) ergibt sich aus unseren Hypothesen. Da wir 5 Senioren in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 5\).

      Wir müssen also noch \(\overline{x}\) und \(s^{2}\) berechnen.

      \[\begin{align*} \overline{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{47 + 48 + 47 + 49 + 54}{5} = 49 \\ s^{2} &= \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \\ &=\frac{(47 - 49)^2 + (48 - 49)^2 + (47 - 49)^2 + (49 - 49)^2 + (54 - 49)^2}{4} = 8.5 \end{align*}\]

      Einsetzen ergibt:

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}} = \frac{49 - 44}{\sqrt{\frac{8.5}{5}}} \approx 3.835\]

    7. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in der Population der Senioren nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Lebenszufriedenheit einen Wert von ungleich 44 aufweisen?

      Um das beantworten zu können, müssen wir die Testentscheidung treffen:

      Da die Realisation der Teststatistik \(t = 3.835\) nicht im kritischen Bereich \(K_{T} = \left\rbrack - \infty,\ t_{krit\_links} \right\rbrack \cup \left\lbrack t_{krit\_rechts},\infty \right\lbrack = \left\rbrack - \infty, -5.6 \right\rbrack \cup \left\lbrack 5.6,\infty \right\lbrack\) liegt, entscheiden wir uns für die \(H_{0}\). Wir entscheiden uns also dafür, dass \(\mu = 44\) ist, und damit auch, dass die mittlere Lebenszufriedenheit in der Population der Senioren nicht ungleich 44 ist.

    8. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in Ihrer Stichprobe nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Lebenszufriedenheit einen Wert von ungleich 44 aufweisen?

      Der oben berechnete Durchschnittswert der Lebenszufriedenheit beträgt in der Stichprobe \(\overline{x} = 49\), Wir sehen also, dass dieser Wert ungleich 44 ist.

  1. Aus Ihrer Theorie ergibt sich, dass Schülerinnen nach einer neuartigen therapeutischen Intervention in ihrer (stetigen) Emotionsregulation im Durchschnitt einen Wert von größer als 27 aufweisen sollten. Sie können davon ausgehen, dass das Histogramm der Werte der Emotionsregulation in der Population durch die Dichte einer Normalverteilung approximiert werden kann und eine einfache Zufallsstichprobe gezogen wird.

    1. Stellen Sie die inhaltlichen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:{\overline{x}}_{E} \leq 27\]

      \[H_{1}:{\overline{x}}_{E} > 27\]

    2. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\mu \leq 27\]

      \[H_{1}:\mu > 27\]

    3. Was wäre in diesem Fall ein Fehler 1. Art und was wäre ein Fehler 2. Art?

      Fehler 1. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Emotionsregulation in der Population der Schülerinnen größer als 27 ist, obwohl sie kleiner oder gleich 27 ist.

      Fehler 2. Art: Wir entscheiden uns dafür, dass die mittlere Emotionsregulation in der Population der Schülerinnen kleiner oder gleich 27 ist, obwohl sie größer als 27 ist.

    4. Geben Sie die Teststatistik in einer allgemeinen Form, sowie deren Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Voraussetzung, dass die \(H_0\) gilt, an.

      \[T = \frac{\overline{X} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{S^{2}}{n}}} \sim t(n - 1)\]

    5. Bestimmen Sie den kritischen Bereich für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) und eine Stichprobengröße von \(n = 3\) mithilfe der Funktion qt in R.

      \(\alpha = 0.005\)

      Da wir 3 Schülerinnen in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 3\) und daher \(\nu = n - 1 = 3 - 1 = 2\).

      \(t_{krit\_rechts}\) ist derjenige Wert, für den \(F\left(t_{krit\_rechts}\right) = 1 - \alpha = 0.995\) ist.

      Berechnung in R:

      qt(1 - 0.005, 2)
      [1] 9.924843

      also ist \(t_{krit\_rechts} \approx\) 9.92.

      Der kritische Bereich ist

      \[K_{T} = \left\lbrack t_{krit\_rechts}, + \infty \right\lbrack = \left\lbrack9.92, + \infty \right\lbrack\]

    6. Sie haben folgende Daten aus einer einfachen Zufallsstichprobe vorliegen:

      Person Emotionsregulation
      1 32
      2 32
      3 30

      Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik.

      Die Realisation der Teststatistik berechnet sich aus der Formel

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}}\]

      \(\mu_{0} = 27\) ergibt sich aus unseren Hypothesen. Da wir 3 Schülerinnen in unserer Stichprobe haben, ist \(n = 3\).

      Wir müssen also noch \(\overline{x}\) und \(s^{2}\) berechnen.

      \[\begin{align*} \overline{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{32 + 32 + 30}{3} = 31.33 \\ s^{2} &= \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \\ &=\frac{(32 - 31.33)^2 + (32 - 31.33)^2 + (30 - 31.33)^2}{2} = 1.33 \end{align*}\]

      Einsetzen ergibt:

      \[t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s^{2}}{n}}} = \frac{31.33 - 27}{\sqrt{\frac{1.33}{3}}} \approx 6.503\]

    7. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in der Population der Schülerinnen nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Emotionsregulation einen Wert von größer als 27 aufweisen?

      Um das beantworten zu können, müssen wir die Testentscheidung treffen:

      Da die Realisation der Teststatistik \(t = 6.503\) nicht im kritischen Bereich \(K_{T} = \left\lbrack t_{krit\_rechts}, + \infty \right\lbrack = \left\lbrack9.92, + \infty \right\lbrack\) liegt, entscheiden wir uns für die \(H_{0}\). Wir entscheiden uns also dafür, dass \(\mu \leq 27\) ist, und damit auch, dass die mittlere Emotionsregulation in der Population der Schülerinnen nicht größer als 27 ist.

    8. Können Sie davon ausgehen, dass die Personen in Ihrer Stichprobe nach der Intervention im Durchschnitt in ihrer Emotionsregulation einen Wert von größer als 27 aufweisen?

      Der oben berechnete Durchschnittswert der Emotionsregulation beträgt in der Stichprobe \(\overline{x} = 31.33\), Wir sehen also, dass dieser Wert größer als 27 ist.