Übungsaufgaben

Effektstärken, Power und Stichprobenplanung

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Die hier veröffentlichten Übungsaufgaben sind brandneu und deshalb noch nicht auf Herz und Nieren überprüft. Sollten Sie Fehler entdecken, geben Sie uns bitte unbedingt eine Rückmeldung an philipp.sckopke(at)psy.lmu.de, damit wir so bald wie möglich eine verbesserte Version online stellen können.

Aus einem (fiktiven) wissenschaftlichen Artikel zu Unterschieden in der Konzentrationsleistung zwischen Schülern und Studenten entnehmen Sie folgende Daten:

$n_{Schüler} = 47$

$n_{Studenten} = 43$

$\overline{x}_{Schüler} = 50.98$

$\overline{x}_{Studenten} = 42.76$

$s_{Schüler} = 8.43$

$s_{Studenten} = 9.54$

$\alpha = 0.005$, $t = 4.34$ ($df = 88$, $p = 3.792 \times 10^{-5} )$
1. Berechnen Sie ein 91%-Konfidenzintervall für den Unterschied in der durchschnittlichen Konzentrationsleistung zwischen Schülern und Studenten.
  
  Lösung
  
  Konfidenzintervalle für $\mu_1 - \mu_2$ für unabhängige Stichproben:
  
  \[\begin{align*} &I\left( x_{1},\ldots,x_{n} \right) &=& \left\lbrack {(\overline{x}}_{1} - {\overline{x}}_{2}) \pm t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s_{pool}^2}{n_1} + \frac{s_{pool}^2}{n_2}}\right\rbrack \\ \\ &t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - \frac{0.09}{2}} &=& t_{0.955} = 1.71 \\ \\ &s_{pool}^2 &=& \frac{(n_1 - 1) \cdot s_1^2 + (n_2 - 1) \cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \\ & &=& \frac{(47 - 1) \cdot 8.43^2 + (43 - 1) \cdot 9.54^2}{47 + 43 - 2} = 80.58\\ \\ &I\left( x_{1},\ldots,x_{90} \right) &=& \left\lbrack (50.98 - 42.76) \pm 1.71 \cdot \sqrt{ \frac{80.58}{47} + \frac{80.58}{43}}\right\rbrack \\ & &=& \lbrack 8.22 - 1.71 \cdot 1.89,\ 8.22 + 1.71 \cdot 1.89\rbrack \\ & &=& \lbrack 4.99,\ 11.45\rbrack \end{align*}\]
2. Berechnen Sie den Schätzwert für Cohen’s $\delta$.
  
  Lösung
  
  \[{\widehat{\delta}}_{Wert} = \frac{{\overline{x}}_{Schüler} - {\overline{x}}_{Studenten}}{\sqrt{s_{pool}^{2}}} = \frac{50.98 - 42.76}{\sqrt{80.58}} \approx 0.92\]
3. Berechnen Sie das 91%-Konfidenzintervall für Cohen’s $\delta$ und interpretieren Sie es.
  Lösung
  library(MBESS) ci.smd(smd = 0.92, n.1 = 47, n.2 = 43, conf.level = 0.91)
  
  $Lower.Conf.Limit.smd [1] 0.5410045 $smd [1] 0.92 $Upper.Conf.Limit.smd [1] 1.294095
  
  Auf Basis der Daten in der Stichprobe liegen die plausiblen Werte für $\delta$ im Bereich von 0.54 bis 1.29.
4. Würden Sie mit hoher Sicherheit davon ausgehen, dass sich die beiden Populationen mindestens mit einem großen Effekt von $\delta = 0.8$ unterscheiden?
  
  Lösung
  
  Zumindest auf Basis des oben berechneten Konfidenzintervalls für $\delta$ würden wir nicht davon ausgehen, da im Intervall Werte enthalten sind, die im Betrag kleiner sind als $0.8$. (Da es nur um einen Unterschied geht, ist die Richtung - also das Vorzeichen von $\delta$ egal.)
5. Angenommen, der oben berechnete Schätzwert $d$ für $\delta$ würde dem tatsächlichen Wert von $\delta$ entsprechen. Berechnen Sie wie groß die Stichprobe mindestens sein müsste, um ein 91%-Konfidenzintervall für $\delta$ mit einer erwarteten Länge von 0.8 zu erhalten. Würde Ihre erhobene Stichprobengröße theoretisch ausreichen, um maximal diese erwartete Länge zu erreichen?
  Lösung
  ss.aipe.smd(delta = 0.92, conf.level = 0.91, width = 0.8)
  
  [1] 40
  
  In jeder der beiden Stichproben müssten 40 Personen erhoben werden.
  
  Da die Größe beider Gruppen größer ist als 40, reicht die Stichprobengröße dafür aus.

Aus einem (fiktiven) wissenschaftlichen Artikel zu Unterschieden in der Lebensfreude zwischen Psychologen und Physikern entnehmen Sie folgende Daten:

$n_{Psychologen} = 37$

$n_{Physiker} = 36$

$\overline{x}_{Psychologen} = 51.31$

$\overline{x}_{Physiker} = 59.08$

$s_{Psychologen} = 11.43$

$s_{Physiker} = 11.47$

$\alpha = 0.005$, $t = -2.9$ ($df = 71$, $p = 0.004963 )$
1. Berechnen Sie ein 87%-Konfidenzintervall für den Unterschied in der durchschnittlichen Lebensfreude zwischen Psychologen und Physikern.
  
  Lösung
  
  Konfidenzintervalle für $\mu_1 - \mu_2$ für unabhängige Stichproben:
  
  \[\begin{align*} &I\left( x_{1},\ldots,x_{n} \right) &=& \left\lbrack {(\overline{x}}_{1} - {\overline{x}}_{2}) \pm t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s_{pool}^2}{n_1} + \frac{s_{pool}^2}{n_2}}\right\rbrack \\ \\ &t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - \frac{0.13}{2}} &=& t_{0.935} = 1.53 \\ \\ &s_{pool}^2 &=& \frac{(n_1 - 1) \cdot s_1^2 + (n_2 - 1) \cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \\ & &=& \frac{(37 - 1) \cdot 11.43^2 + (36 - 1) \cdot 11.47^2}{37 + 36 - 2} = 131.1\\ \\ &I\left( x_{1},\ldots,x_{73} \right) &=& \left\lbrack (51.31 - 59.08) \pm 1.53 \cdot \sqrt{ \frac{131.1}{37} + \frac{131.1}{36}}\right\rbrack \\ & &=& \lbrack -7.77 - 1.53 \cdot 2.68,\ -7.77 + 1.53 \cdot 2.68\rbrack \\ & &=& \lbrack -11.87,\ -3.67\rbrack \end{align*}\]
2. Berechnen Sie den Schätzwert für Cohen’s $\delta$.
  
  Lösung
  
  \[{\widehat{\delta}}_{Wert} = \frac{{\overline{x}}_{Psychologen} - {\overline{x}}_{Physiker}}{\sqrt{s_{pool}^{2}}} = \frac{51.31 - 59.08}{\sqrt{131.1}} \approx -0.68\]
3. Berechnen Sie das 87%-Konfidenzintervall für Cohen’s $\delta$ und interpretieren Sie es.
  Lösung
  library(MBESS) ci.smd(smd = -0.68, n.1 = 37, n.2 = 36, conf.level = 0.87)
  
  $Lower.Conf.Limit.smd [1] -1.042468 $smd [1] -0.68 $Upper.Conf.Limit.smd [1] -0.3128681
  
  Auf Basis der Daten in der Stichprobe liegen die plausiblen Werte für $\delta$ im Bereich von -1.04 bis -0.31.
4. Würden Sie mit hoher Sicherheit davon ausgehen, dass sich die beiden Populationen mindestens mit einem mittleren Effekt von $\delta = 0.5$ unterscheiden?
  
  Lösung
  
  Zumindest auf Basis des oben berechneten Konfidenzintervalls für $\delta$ würden wir nicht davon ausgehen, da im Intervall Werte enthalten sind, die im Betrag kleiner sind als $0.5$. (Da es nur um einen Unterschied geht, ist die Richtung - also das Vorzeichen von $\delta$ egal.)
5. Angenommen, der oben berechnete Schätzwert $d$ für $\delta$ würde dem tatsächlichen Wert von $\delta$ entsprechen. Berechnen Sie wie groß die Stichprobe mindestens sein müsste, um ein 87%-Konfidenzintervall für $\delta$ mit einer erwarteten Länge von 0.7 zu erhalten. Würde Ihre erhobene Stichprobengröße theoretisch ausreichen, um maximal diese erwartete Länge zu erreichen?
  Lösung
  ss.aipe.smd(delta = -0.68, conf.level = 0.87, width = 0.7)
  
  [1] 40
  
  In jeder der beiden Stichproben müssten 40 Personen erhoben werden.
  
  Da die Größe beider Gruppen kleiner ist als 40, reicht die Stichprobengröße nicht aus.

Aus einem (fiktiven) wissenschaftlichen Artikel zu Unterschieden in der Lebensfreude zwischen Frühaufstehern und Langschläfern entnehmen Sie folgende Daten:

$n_{Frühaufsteher} = 583$

$n_{Langschläfer} = 641$

$\overline{x}_{Frühaufsteher} = 50.04$

$\overline{x}_{Langschläfer} = 52.89$

$s_{Frühaufsteher} = 9.78$

$s_{Langschläfer} = 9.55$

$\alpha = 0.005$, $t = -5.16$ ($df = 1222$, $p = 2.879 \times 10^{-7} )$
1. Berechnen Sie ein 86%-Konfidenzintervall für den Unterschied in der durchschnittlichen Lebensfreude zwischen Frühaufstehern und Langschläfern.
  
  Lösung
  
  Konfidenzintervalle für $\mu_1 - \mu_2$ für unabhängige Stichproben:
  
  \[\begin{align*} &I\left( x_{1},\ldots,x_{n} \right) &=& \left\lbrack {(\overline{x}}_{1} - {\overline{x}}_{2}) \pm t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s_{pool}^2}{n_1} + \frac{s_{pool}^2}{n_2}}\right\rbrack \\ \\ &t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - \frac{0.14}{2}} &=& t_{0.93} = 1.48 \\ \\ &s_{pool}^2 &=& \frac{(n_1 - 1) \cdot s_1^2 + (n_2 - 1) \cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \\ & &=& \frac{(583 - 1) \cdot 9.78^2 + (641 - 1) \cdot 9.55^2}{583 + 641 - 2} = 93.32\\ \\ &I\left( x_{1},\ldots,x_{1224} \right) &=& \left\lbrack (50.04 - 52.89) \pm 1.48 \cdot \sqrt{ \frac{93.32}{583} + \frac{93.32}{641}}\right\rbrack \\ & &=& \lbrack -2.85 - 1.48 \cdot 0.55,\ -2.85 + 1.48 \cdot 0.55\rbrack \\ & &=& \lbrack -3.66,\ -2.04\rbrack \end{align*}\]
2. Berechnen Sie den Schätzwert für Cohen’s $\delta$.
  
  Lösung
  
  \[{\widehat{\delta}}_{Wert} = \frac{{\overline{x}}_{Frühaufsteher} - {\overline{x}}_{Langschläfer}}{\sqrt{s_{pool}^{2}}} = \frac{50.04 - 52.89}{\sqrt{93.32}} \approx -0.3\]
3. Berechnen Sie das 86%-Konfidenzintervall für Cohen’s $\delta$ und interpretieren Sie es.
  Lösung
  library(MBESS) ci.smd(smd = -0.3, n.1 = 583, n.2 = 641, conf.level = 0.86)
  
  $Lower.Conf.Limit.smd [1] -0.3848725 $smd [1] -0.3 $Upper.Conf.Limit.smd [1] -0.2150053
  
  Auf Basis der Daten in der Stichprobe liegen die plausiblen Werte für $\delta$ im Bereich von -0.38 bis -0.22.
4. Würden Sie mit hoher Sicherheit davon ausgehen, dass sich die beiden Populationen mindestens mit einem kleinen Effekt von $\delta = 0.2$ unterscheiden?
  
  Lösung
  
  Zumindest auf Basis des oben berechneten Konfidenzintervalls für $\delta$ würden wir davon ausgehen, da im Intervall nur Werte enthalten sind, die im Betrag größer sind als $0.2$. (Da es nur um einen Unterschied geht, ist die Richtung - also das Vorzeichen von $\delta$ egal.)
5. Angenommen, der oben berechnete Schätzwert $d$ für $\delta$ würde dem tatsächlichen Wert von $\delta$ entsprechen. Berechnen Sie wie groß die Stichprobe mindestens sein müsste, um ein 86%-Konfidenzintervall für $\delta$ mit einer erwarteten Länge von 0.2 zu erhalten. Würde Ihre erhobene Stichprobengröße theoretisch ausreichen, um maximal diese erwartete Länge zu erreichen?
  Lösung
  ss.aipe.smd(delta = -0.3, conf.level = 0.86, width = 0.2)
  
  [1] 441
  
  In jeder der beiden Stichproben müssten 441 Personen erhoben werden.
  
  Da die Größe beider Gruppen größer ist als 441, reicht die Stichprobengröße dafür aus.

Aus einem (fiktiven) wissenschaftlichen Artikel zu Unterschieden in der Konzentrationsleistung zwischen Künstlern und Angestellten entnehmen Sie folgende Daten:

$n_{Künstler} = 40$

$n_{Angestellte} = 37$

$\overline{x}_{Künstler} = 53.87$

$\overline{x}_{Angestellte} = 40.02$

$s_{Künstler} = 8.46$

$s_{Angestellte} = 9.16$

$\alpha = 0.005$, $t = 6.9$ ($df = 75$, $p = 1.429 \times 10^{-9} )$
1. Berechnen Sie ein 93%-Konfidenzintervall für den Unterschied in der durchschnittlichen Konzentrationsleistung zwischen Künstlern und Angestellten.
  
  Lösung
  
  Konfidenzintervalle für $\mu_1 - \mu_2$ für unabhängige Stichproben:
  
  \[\begin{align*} &I\left( x_{1},\ldots,x_{n} \right) &=& \left\lbrack {(\overline{x}}_{1} - {\overline{x}}_{2}) \pm t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s_{pool}^2}{n_1} + \frac{s_{pool}^2}{n_2}}\right\rbrack \\ \\ &t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - \frac{0.07}{2}} &=& t_{0.965} = 1.84 \\ \\ &s_{pool}^2 &=& \frac{(n_1 - 1) \cdot s_1^2 + (n_2 - 1) \cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \\ & &=& \frac{(40 - 1) \cdot 8.46^2 + (37 - 1) \cdot 9.16^2}{40 + 37 - 2} = 77.49\\ \\ &I\left( x_{1},\ldots,x_{77} \right) &=& \left\lbrack (53.87 - 40.02) \pm 1.84 \cdot \sqrt{ \frac{77.49}{40} + \frac{77.49}{37}}\right\rbrack \\ & &=& \lbrack 13.85 - 1.84 \cdot 2.01,\ 13.85 + 1.84 \cdot 2.01\rbrack \\ & &=& \lbrack 10.15,\ 17.55\rbrack \end{align*}\]
2. Berechnen Sie den Schätzwert für Cohen’s $\delta$.
  
  Lösung
  
  \[{\widehat{\delta}}_{Wert} = \frac{{\overline{x}}_{Künstler} - {\overline{x}}_{Angestellte}}{\sqrt{s_{pool}^{2}}} = \frac{53.87 - 40.02}{\sqrt{77.49}} \approx 1.57\]
3. Berechnen Sie das 93%-Konfidenzintervall für Cohen’s $\delta$ und interpretieren Sie es.
  Lösung
  library(MBESS) ci.smd(smd = 1.57, n.1 = 40, n.2 = 37, conf.level = 0.93)
  
  $Lower.Conf.Limit.smd [1] 1.091846 $smd [1] 1.57 $Upper.Conf.Limit.smd [1] 2.039626
  
  Auf Basis der Daten in der Stichprobe liegen die plausiblen Werte für $\delta$ im Bereich von 1.09 bis 2.04.
4. Würden Sie mit hoher Sicherheit davon ausgehen, dass sich die beiden Populationen mindestens mit einem großen Effekt von $\delta = 0.8$ unterscheiden?
  
  Lösung
  
  Zumindest auf Basis des oben berechneten Konfidenzintervalls für $\delta$ würden wir davon ausgehen, da im Intervall nur Werte enthalten sind, die im Betrag größer sind als $0.8$. (Da es nur um einen Unterschied geht, ist die Richtung - also das Vorzeichen von $\delta$ egal.)
5. Angenommen, der oben berechnete Schätzwert $d$ für $\delta$ würde dem tatsächlichen Wert von $\delta$ entsprechen. Berechnen Sie wie groß die Stichprobe mindestens sein müsste, um ein 93%-Konfidenzintervall für $\delta$ mit einer erwarteten Länge von 0.9 zu erhalten. Würde Ihre erhobene Stichprobengröße theoretisch ausreichen, um maximal diese erwartete Länge zu erreichen?
  Lösung
  ss.aipe.smd(delta = 1.57, conf.level = 0.93, width = 0.9)
  
  [1] 43
  
  In jeder der beiden Stichproben müssten 43 Personen erhoben werden.
  
  Da die Größe beider Gruppen kleiner ist als 43, reicht die Stichprobengröße nicht aus.

Aus einem (fiktiven) wissenschaftlichen Artikel zu Unterschieden in der Lebensfreude zwischen Schülern und Studenten entnehmen Sie folgende Daten:

$n_{Schüler} = 49$

$n_{Studenten} = 52$

$\overline{x}_{Schüler} = 50.89$

$\overline{x}_{Studenten} = 42.04$

$s_{Schüler} = 9.99$

$s_{Studenten} = 10.52$

$\alpha = 0.005$, $t = 4.33$ ($df = 99$, $p = 3.575 \times 10^{-5} )$
1. Berechnen Sie ein 89%-Konfidenzintervall für den Unterschied in der durchschnittlichen Lebensfreude zwischen Schülern und Studenten.
  
  Lösung
  
  Konfidenzintervalle für $\mu_1 - \mu_2$ für unabhängige Stichproben:
  
  \[\begin{align*} &I\left( x_{1},\ldots,x_{n} \right) &=& \left\lbrack {(\overline{x}}_{1} - {\overline{x}}_{2}) \pm t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s_{pool}^2}{n_1} + \frac{s_{pool}^2}{n_2}}\right\rbrack \\ \\ &t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - \frac{0.11}{2}} &=& t_{0.945} = 1.61 \\ \\ &s_{pool}^2 &=& \frac{(n_1 - 1) \cdot s_1^2 + (n_2 - 1) \cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \\ & &=& \frac{(49 - 1) \cdot 9.99^2 + (52 - 1) \cdot 10.52^2}{49 + 52 - 2} = 105.4\\ \\ &I\left( x_{1},\ldots,x_{101} \right) &=& \left\lbrack (50.89 - 42.04) \pm 1.61 \cdot \sqrt{ \frac{105.4}{49} + \frac{105.4}{52}}\right\rbrack \\ & &=& \lbrack 8.85 - 1.61 \cdot 2.04,\ 8.85 + 1.61 \cdot 2.04\rbrack \\ & &=& \lbrack 5.57,\ 12.13\rbrack \end{align*}\]
2. Berechnen Sie den Schätzwert für Cohen’s $\delta$.
  
  Lösung
  
  \[{\widehat{\delta}}_{Wert} = \frac{{\overline{x}}_{Schüler} - {\overline{x}}_{Studenten}}{\sqrt{s_{pool}^{2}}} = \frac{50.89 - 42.04}{\sqrt{105.4}} \approx 0.86\]
3. Berechnen Sie das 89%-Konfidenzintervall für Cohen’s $\delta$ und interpretieren Sie es.
  Lösung
  library(MBESS) ci.smd(smd = 0.86, n.1 = 49, n.2 = 52, conf.level = 0.89)
  
  $Lower.Conf.Limit.smd [1] 0.525117 $smd [1] 0.86 $Upper.Conf.Limit.smd [1] 1.190739
  
  Auf Basis der Daten in der Stichprobe liegen die plausiblen Werte für $\delta$ im Bereich von 0.53 bis 1.19.
4. Würden Sie mit hoher Sicherheit davon ausgehen, dass sich die beiden Populationen mindestens mit einem großen Effekt von $\delta = 0.8$ unterscheiden?
  
  Lösung
  
  Zumindest auf Basis des oben berechneten Konfidenzintervalls für $\delta$ würden wir nicht davon ausgehen, da im Intervall Werte enthalten sind, die im Betrag kleiner sind als $0.8$. (Da es nur um einen Unterschied geht, ist die Richtung - also das Vorzeichen von $\delta$ egal.)
5. Angenommen, der oben berechnete Schätzwert $d$ für $\delta$ würde dem tatsächlichen Wert von $\delta$ entsprechen. Berechnen Sie wie groß die Stichprobe mindestens sein müsste, um ein 89%-Konfidenzintervall für $\delta$ mit einer erwarteten Länge von 0.7 zu erhalten. Würde Ihre erhobene Stichprobengröße theoretisch ausreichen, um maximal diese erwartete Länge zu erreichen?
  Lösung
  ss.aipe.smd(delta = 0.86, conf.level = 0.89, width = 0.7)
  
  [1] 46
  
  In jeder der beiden Stichproben müssten 46 Personen erhoben werden.
  
  Da die Größe beider Gruppen größer ist als 46, reicht die Stichprobengröße dafür aus.

Aus einem (fiktiven) wissenschaftlichen Artikel zu Unterschieden in der Kreativität zwischen Psychologen und Physikern entnehmen Sie folgende Daten:

$n_{Psychologen} = 67$

$n_{Physiker} = 71$

$\overline{x}_{Psychologen} = 51.94$

$\overline{x}_{Physiker} = 59.96$

$s_{Psychologen} = 9.76$

$s_{Physiker} = 12.74$

$\alpha = 0.005$, $t = -4.13$ ($df = 136$, $p = 6.299 \times 10^{-5} )$
1. Berechnen Sie ein 97%-Konfidenzintervall für den Unterschied in der durchschnittlichen Kreativität zwischen Psychologen und Physikern.
  
  Lösung
  
  Konfidenzintervalle für $\mu_1 - \mu_2$ für unabhängige Stichproben:
  
  \[\begin{align*} &I\left( x_{1},\ldots,x_{n} \right) &=& \left\lbrack {(\overline{x}}_{1} - {\overline{x}}_{2}) \pm t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s_{pool}^2}{n_1} + \frac{s_{pool}^2}{n_2}}\right\rbrack \\ \\ &t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - \frac{0.03}{2}} &=& t_{0.985} = 2.19 \\ \\ &s_{pool}^2 &=& \frac{(n_1 - 1) \cdot s_1^2 + (n_2 - 1) \cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \\ & &=& \frac{(67 - 1) \cdot 9.76^2 + (71 - 1) \cdot 12.74^2}{67 + 71 - 2} = 129.77\\ \\ &I\left( x_{1},\ldots,x_{138} \right) &=& \left\lbrack (51.94 - 59.96) \pm 2.19 \cdot \sqrt{ \frac{129.77}{67} + \frac{129.77}{71}}\right\rbrack \\ & &=& \lbrack -8.02 - 2.19 \cdot 1.94,\ -8.02 + 2.19 \cdot 1.94\rbrack \\ & &=& \lbrack -12.27,\ -3.77\rbrack \end{align*}\]
2. Berechnen Sie den Schätzwert für Cohen’s $\delta$.
  
  Lösung
  
  \[{\widehat{\delta}}_{Wert} = \frac{{\overline{x}}_{Psychologen} - {\overline{x}}_{Physiker}}{\sqrt{s_{pool}^{2}}} = \frac{51.94 - 59.96}{\sqrt{129.77}} \approx -0.7\]
3. Berechnen Sie das 97%-Konfidenzintervall für Cohen’s $\delta$ und interpretieren Sie es.
  Lösung
  library(MBESS) ci.smd(smd = -0.7, n.1 = 67, n.2 = 71, conf.level = 0.97)
  
  $Lower.Conf.Limit.smd [1] -1.079707 $smd [1] -0.7 $Upper.Conf.Limit.smd [1] -0.3179087
  
  Auf Basis der Daten in der Stichprobe liegen die plausiblen Werte für $\delta$ im Bereich von -1.08 bis -0.32.
4. Würden Sie mit hoher Sicherheit davon ausgehen, dass sich die beiden Populationen mindestens mit einem mittleren Effekt von $\delta = 0.5$ unterscheiden?
  
  Lösung
  
  Zumindest auf Basis des oben berechneten Konfidenzintervalls für $\delta$ würden wir nicht davon ausgehen, da im Intervall Werte enthalten sind, die im Betrag kleiner sind als $0.5$. (Da es nur um einen Unterschied geht, ist die Richtung - also das Vorzeichen von $\delta$ egal.)
5. Angenommen, der oben berechnete Schätzwert $d$ für $\delta$ würde dem tatsächlichen Wert von $\delta$ entsprechen. Berechnen Sie wie groß die Stichprobe mindestens sein müsste, um ein 97%-Konfidenzintervall für $\delta$ mit einer erwarteten Länge von 0.8 zu erhalten. Würde Ihre erhobene Stichprobengröße theoretisch ausreichen, um maximal diese erwartete Länge zu erreichen?
  Lösung
  ss.aipe.smd(delta = -0.7, conf.level = 0.97, width = 0.8)
  
  [1] 63
  
  In jeder der beiden Stichproben müssten 63 Personen erhoben werden.
  
  Da die Größe beider Gruppen größer ist als 63, reicht die Stichprobengröße dafür aus.

Aus einem (fiktiven) wissenschaftlichen Artikel zu Unterschieden in der Aufnahmefähigkeit zwischen Frühaufstehern und Langschläfern entnehmen Sie folgende Daten:

$n_{Frühaufsteher} = 92$

$n_{Langschläfer} = 101$

$\overline{x}_{Frühaufsteher} = 51.47$

$\overline{x}_{Langschläfer} = 45.17$

$s_{Frühaufsteher} = 9.34$

$s_{Langschläfer} = 9.62$

$\alpha = 0.005$, $t = 4.61$ ($df = 191$, $p = 7.355 \times 10^{-6} )$
1. Berechnen Sie ein 88%-Konfidenzintervall für den Unterschied in der durchschnittlichen Aufnahmefähigkeit zwischen Frühaufstehern und Langschläfern.
  
  Lösung
  
  Konfidenzintervalle für $\mu_1 - \mu_2$ für unabhängige Stichproben:
  
  \[\begin{align*} &I\left( x_{1},\ldots,x_{n} \right) &=& \left\lbrack {(\overline{x}}_{1} - {\overline{x}}_{2}) \pm t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s_{pool}^2}{n_1} + \frac{s_{pool}^2}{n_2}}\right\rbrack \\ \\ &t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - \frac{0.12}{2}} &=& t_{0.94} = 1.56 \\ \\ &s_{pool}^2 &=& \frac{(n_1 - 1) \cdot s_1^2 + (n_2 - 1) \cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \\ & &=& \frac{(92 - 1) \cdot 9.34^2 + (101 - 1) \cdot 9.62^2}{92 + 101 - 2} = 90.02\\ \\ &I\left( x_{1},\ldots,x_{193} \right) &=& \left\lbrack (51.47 - 45.17) \pm 1.56 \cdot \sqrt{ \frac{90.02}{92} + \frac{90.02}{101}}\right\rbrack \\ & &=& \lbrack 6.3 - 1.56 \cdot 1.37,\ 6.3 + 1.56 \cdot 1.37\rbrack \\ & &=& \lbrack 4.16,\ 8.44\rbrack \end{align*}\]
2. Berechnen Sie den Schätzwert für Cohen’s $\delta$.
  
  Lösung
  
  \[{\widehat{\delta}}_{Wert} = \frac{{\overline{x}}_{Frühaufsteher} - {\overline{x}}_{Langschläfer}}{\sqrt{s_{pool}^{2}}} = \frac{51.47 - 45.17}{\sqrt{90.02}} \approx 0.66\]
3. Berechnen Sie das 88%-Konfidenzintervall für Cohen’s $\delta$ und interpretieren Sie es.
  Lösung
  library(MBESS) ci.smd(smd = 0.66, n.1 = 92, n.2 = 101, conf.level = 0.88)
  
  $Lower.Conf.Limit.smd [1] 0.4290233 $smd [1] 0.66 $Upper.Conf.Limit.smd [1] 0.8892927
  
  Auf Basis der Daten in der Stichprobe liegen die plausiblen Werte für $\delta$ im Bereich von 0.43 bis 0.89.
4. Würden Sie mit hoher Sicherheit davon ausgehen, dass sich die beiden Populationen mindestens mit einem mittleren Effekt von $\delta = 0.5$ unterscheiden?
  
  Lösung
  
  Zumindest auf Basis des oben berechneten Konfidenzintervalls für $\delta$ würden wir nicht davon ausgehen, da im Intervall Werte enthalten sind, die im Betrag kleiner sind als $0.5$. (Da es nur um einen Unterschied geht, ist die Richtung - also das Vorzeichen von $\delta$ egal.)
5. Angenommen, der oben berechnete Schätzwert $d$ für $\delta$ würde dem tatsächlichen Wert von $\delta$ entsprechen. Berechnen Sie wie groß die Stichprobe mindestens sein müsste, um ein 88%-Konfidenzintervall für $\delta$ mit einer erwarteten Länge von 0.5 zu erhalten. Würde Ihre erhobene Stichprobengröße theoretisch ausreichen, um maximal diese erwartete Länge zu erreichen?
  Lösung
  ss.aipe.smd(delta = 0.66, conf.level = 0.88, width = 0.5)
  
  [1] 82
  
  In jeder der beiden Stichproben müssten 82 Personen erhoben werden.
  
  Da die Größe beider Gruppen größer ist als 82, reicht die Stichprobengröße dafür aus.

Aus einem (fiktiven) wissenschaftlichen Artikel zu Unterschieden in der Konzentrationsleistung zwischen Frühaufstehern und Langschläfern entnehmen Sie folgende Daten:

$n_{Frühaufsteher} = 69$

$n_{Langschläfer} = 63$

$\overline{x}_{Frühaufsteher} = 48.81$

$\overline{x}_{Langschläfer} = 41.62$

$s_{Frühaufsteher} = 10.14$

$s_{Langschläfer} = 11.82$

$\alpha = 0.005$, $t = 3.76$ ($df = 130$, $p = 0.0002558 )$
1. Berechnen Sie ein 92%-Konfidenzintervall für den Unterschied in der durchschnittlichen Konzentrationsleistung zwischen Frühaufstehern und Langschläfern.
  
  Lösung
  
  Konfidenzintervalle für $\mu_1 - \mu_2$ für unabhängige Stichproben:
  
  \[\begin{align*} &I\left( x_{1},\ldots,x_{n} \right) &=& \left\lbrack {(\overline{x}}_{1} - {\overline{x}}_{2}) \pm t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s_{pool}^2}{n_1} + \frac{s_{pool}^2}{n_2}}\right\rbrack \\ \\ &t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - \frac{0.08}{2}} &=& t_{0.96} = 1.76 \\ \\ &s_{pool}^2 &=& \frac{(n_1 - 1) \cdot s_1^2 + (n_2 - 1) \cdot s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \\ & &=& \frac{(69 - 1) \cdot 10.14^2 + (63 - 1) \cdot 11.82^2}{69 + 63 - 2} = 120.41\\ \\ &I\left( x_{1},\ldots,x_{132} \right) &=& \left\lbrack (48.81 - 41.62) \pm 1.76 \cdot \sqrt{ \frac{120.41}{69} + \frac{120.41}{63}}\right\rbrack \\ & &=& \lbrack 7.19 - 1.76 \cdot 1.91,\ 7.19 + 1.76 \cdot 1.91\rbrack \\ & &=& \lbrack 3.83,\ 10.55\rbrack \end{align*}\]
2. Berechnen Sie den Schätzwert für Cohen’s $\delta$.
  
  Lösung
  
  \[{\widehat{\delta}}_{Wert} = \frac{{\overline{x}}_{Frühaufsteher} - {\overline{x}}_{Langschläfer}}{\sqrt{s_{pool}^{2}}} = \frac{48.81 - 41.62}{\sqrt{120.41}} \approx 0.66\]
3. Berechnen Sie das 92%-Konfidenzintervall für Cohen’s $\delta$ und interpretieren Sie es.
  Lösung
  library(MBESS) ci.smd(smd = 0.66, n.1 = 69, n.2 = 63, conf.level = 0.92)
  
  $Lower.Conf.Limit.smd [1] 0.34542 $smd [1] 0.66 $Upper.Conf.Limit.smd [1] 0.9721355
  
  Auf Basis der Daten in der Stichprobe liegen die plausiblen Werte für $\delta$ im Bereich von 0.35 bis 0.97.
4. Würden Sie mit hoher Sicherheit davon ausgehen, dass sich die beiden Populationen mindestens mit einem mittleren Effekt von $\delta = 0.5$ unterscheiden?
  
  Lösung
  
  Zumindest auf Basis des oben berechneten Konfidenzintervalls für $\delta$ würden wir nicht davon ausgehen, da im Intervall Werte enthalten sind, die im Betrag kleiner sind als $0.5$. (Da es nur um einen Unterschied geht, ist die Richtung - also das Vorzeichen von $\delta$ egal.)
5. Angenommen, der oben berechnete Schätzwert $d$ für $\delta$ würde dem tatsächlichen Wert von $\delta$ entsprechen. Berechnen Sie wie groß die Stichprobe mindestens sein müsste, um ein 92%-Konfidenzintervall für $\delta$ mit einer erwarteten Länge von 0.6 zu erhalten. Würde Ihre erhobene Stichprobengröße theoretisch ausreichen, um maximal diese erwartete Länge zu erreichen?
  Lösung
  ss.aipe.smd(delta = 0.66, conf.level = 0.92, width = 0.6)
  
  [1] 72
  
  In jeder der beiden Stichproben müssten 72 Personen erhoben werden.
  
  Da die Größe beider Gruppen kleiner ist als 72, reicht die Stichprobengröße nicht aus.

Sie planen eine Studie, die den Einfluss der Ernährung auf die Lebensfreude untersucht. Sie vermuten, dass Personen, die wenig Obst essen im Mittel eine höhere Lebensfreude haben als Personen, die viel Obst essen. Bisherige Ergebnisse zeigen, dass bei einem tatsächlichen Vorliegen des Einflusses der Ernährung mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 4.5$ zwischen den Populationen auszugehen ist und das Merkmal Lebensfreude in der Population eine Standardabweichung von $\sqrt{s^2_{emp}} = 5$ aufweist. Die Untersuchung soll mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben durchgeführt werden, der folgende Eigenschaften aufweisen soll: $\alpha = 0.005$, $1 - \beta = 0.7$.

Ermitteln Sie den notwendigen Mindeststichprobenumfang.
Lösung
- Die Hypothesen sind: \[\begin{align*} H_0&: \mu_1 - \mu_2 \leq 0 \\ H_1&: \mu_1 - \mu_2 > 0 \end{align*}\]
- Bei Geltung der $H_1$ gehen wir mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 4.5$ aus, also wäre auch $\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} = 4.5$.
- Wenn in der Population gilt $\sqrt{s^2_{emp}} = 5$, dann ist auch $\sqrt{\sigma^2} = 5$.
Also ist

$\delta_{H_1} = \frac{\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{4.5 - 0}{5} = 0.9$
library(pwr) pwr.t.test(power = 0.7, d = 0.9, sig.level = 0.005, type = "two.sample", alternative = "greater")
Two-sample t test power calculation n = 25.43538 d = 0.9 sig.level = 0.005 power = 0.7 alternative = greater NOTE: n is number in *each* group
Es werden 26 Personen in jeder der beiden Stichproben benötigt. Insgesamt benötigen Sie also 26 + 26 = 52 Personen.

Sie planen eine Studie, die den Einfluss der Ernährung auf die Gelassenheit untersucht. Sie vermuten, dass Personen, die wenig Obst essen im Mittel eine geringere Gelassenheit haben als Personen, die viel Obst essen. Bisherige Ergebnisse zeigen, dass bei einem tatsächlichen Vorliegen des Einflusses der Ernährung mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -2.5$ zwischen den Populationen auszugehen ist und das Merkmal Gelassenheit in der Population eine Standardabweichung von $\sqrt{s^2_{emp}} = 5$ aufweist. Die Untersuchung soll mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben durchgeführt werden, der folgende Eigenschaften aufweisen soll: $\alpha = 0.03$, $1 - \beta = 0.9$.

Ermitteln Sie den notwendigen Mindeststichprobenumfang.
Lösung
- Die Hypothesen sind: \[\begin{align*} H_0&: \mu_1 - \mu_2 \geq 0 \\ H_1&: \mu_1 - \mu_2 < 0 \end{align*}\]
- Bei Geltung der $H_1$ gehen wir mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -2.5$ aus, also wäre auch $\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} = -2.5$.
- Wenn in der Population gilt $\sqrt{s^2_{emp}} = 5$, dann ist auch $\sqrt{\sigma^2} = 5$.
Also ist

$\delta_{H_1} = \frac{\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{-2.5 - 0}{5} = -0.5$
library(pwr) pwr.t.test(power = 0.9, d = -0.5, sig.level = 0.03, type = "two.sample", alternative = "less")
Two-sample t test power calculation n = 80.89915 d = -0.5 sig.level = 0.03 power = 0.9 alternative = less NOTE: n is number in *each* group
Es werden 81 Personen in jeder der beiden Stichproben benötigt. Insgesamt benötigen Sie also 81 + 81 = 162 Personen.

Sie planen eine Studie, die den Einfluss der körperliche Aktivität auf die allgemeine Zufriedenheit untersucht. Sie vermuten, dass Personen, die selten Sport machen im Mittel eine höhere allgemeine Zufriedenheit haben als Personen, die regelmäßig Sport machen. Bisherige Ergebnisse zeigen, dass bei einem tatsächlichen Vorliegen des Einflusses der körperliche Aktivität mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 5$ zwischen den Populationen auszugehen ist und das Merkmal allgemeine Zufriedenheit in der Population eine Standardabweichung von $\sqrt{s^2_{emp}} = 10$ aufweist. Die Untersuchung soll mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben durchgeführt werden, der folgende Eigenschaften aufweisen soll: $\alpha = 0.035$, $1 - \beta = 0.9$.

Ermitteln Sie den notwendigen Mindeststichprobenumfang.
Lösung
- Die Hypothesen sind: \[\begin{align*} H_0&: \mu_1 - \mu_2 \leq 0 \\ H_1&: \mu_1 - \mu_2 > 0 \end{align*}\]
- Bei Geltung der $H_1$ gehen wir mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 5$ aus, also wäre auch $\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} = 5$.
- Wenn in der Population gilt $\sqrt{s^2_{emp}} = 10$, dann ist auch $\sqrt{\sigma^2} = 10$.
Also ist

$\delta_{H_1} = \frac{\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{5 - 0}{10} = 0.5$
library(pwr) pwr.t.test(power = 0.9, d = 0.5, sig.level = 0.035, type = "two.sample", alternative = "greater")
Two-sample t test power calculation n = 77.38803 d = 0.5 sig.level = 0.035 power = 0.9 alternative = greater NOTE: n is number in *each* group
Es werden 78 Personen in jeder der beiden Stichproben benötigt. Insgesamt benötigen Sie also 78 + 78 = 156 Personen.

Sie planen eine Studie, die den Einfluss der Urlaubsdauer auf die Belastbarkeit untersucht. Sie vermuten, dass Personen, die eine Woche Urlaub machen im Mittel eine geringere Belastbarkeit haben als Personen, die sechs Wochen Urlaub machen. Bisherige Ergebnisse zeigen, dass bei einem tatsächlichen Vorliegen des Einflusses der Urlaubsdauer mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -16$ zwischen den Populationen auszugehen ist und das Merkmal Belastbarkeit in der Population eine Standardabweichung von $\sqrt{s^2_{emp}} = 20$ aufweist. Die Untersuchung soll mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben durchgeführt werden, der folgende Eigenschaften aufweisen soll: $\alpha = 0.015$, $1 - \beta = 0.8$.

Ermitteln Sie den notwendigen Mindeststichprobenumfang.
Lösung
- Die Hypothesen sind: \[\begin{align*} H_0&: \mu_1 - \mu_2 \geq 0 \\ H_1&: \mu_1 - \mu_2 < 0 \end{align*}\]
- Bei Geltung der $H_1$ gehen wir mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -16$ aus, also wäre auch $\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} = -16$.
- Wenn in der Population gilt $\sqrt{s^2_{emp}} = 20$, dann ist auch $\sqrt{\sigma^2} = 20$.
Also ist

$\delta_{H_1} = \frac{\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{-16 - 0}{20} = -0.8$
library(pwr) pwr.t.test(power = 0.8, d = -0.8, sig.level = 0.015, type = "two.sample", alternative = "less")
Two-sample t test power calculation n = 29.5583 d = -0.8 sig.level = 0.015 power = 0.8 alternative = less NOTE: n is number in *each* group
Es werden 30 Personen in jeder der beiden Stichproben benötigt. Insgesamt benötigen Sie also 30 + 30 = 60 Personen.

Sie planen eine Studie, die den Einfluss der Schlafdauer auf die allgemeine Zufriedenheit untersucht. Sie vermuten, dass Personen, die fünf Stunden schlafen im Mittel eine geringere allgemeine Zufriedenheit haben als Personen, die acht Stunden schlafen. Bisherige Ergebnisse zeigen, dass bei einem tatsächlichen Vorliegen des Einflusses der Schlafdauer mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -1$ zwischen den Populationen auszugehen ist und das Merkmal allgemeine Zufriedenheit in der Population eine Standardabweichung von $\sqrt{s^2_{emp}} = 5$ aufweist. Die Untersuchung soll mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben durchgeführt werden, der folgende Eigenschaften aufweisen soll: $\alpha = 0.045$, $1 - \beta = 0.6$.

Ermitteln Sie den notwendigen Mindeststichprobenumfang.
Lösung
- Die Hypothesen sind: \[\begin{align*} H_0&: \mu_1 - \mu_2 \geq 0 \\ H_1&: \mu_1 - \mu_2 < 0 \end{align*}\]
- Bei Geltung der $H_1$ gehen wir mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -1$ aus, also wäre auch $\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} = -1$.
- Wenn in der Population gilt $\sqrt{s^2_{emp}} = 5$, dann ist auch $\sqrt{\sigma^2} = 5$.
Also ist

$\delta_{H_1} = \frac{\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{-1 - 0}{5} = -0.2$
library(pwr) pwr.t.test(power = 0.6, d = -0.2, sig.level = 0.045, type = "two.sample", alternative = "less")
Two-sample t test power calculation n = 190.6024 d = -0.2 sig.level = 0.045 power = 0.6 alternative = less NOTE: n is number in *each* group
Es werden 191 Personen in jeder der beiden Stichproben benötigt. Insgesamt benötigen Sie also 191 + 191 = 382 Personen.

Sie planen eine Studie, die den Einfluss der Schlafdauer auf die Gelassenheit untersucht. Sie vermuten, dass Personen, die fünf Stunden schlafen im Mittel eine höhere Gelassenheit haben als Personen, die acht Stunden schlafen. Bisherige Ergebnisse zeigen, dass bei einem tatsächlichen Vorliegen des Einflusses der Schlafdauer mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 10$ zwischen den Populationen auszugehen ist und das Merkmal Gelassenheit in der Population eine Standardabweichung von $\sqrt{s^2_{emp}} = 20$ aufweist. Die Untersuchung soll mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben durchgeführt werden, der folgende Eigenschaften aufweisen soll: $\alpha = 0.04$, $1 - \beta = 0.9$.

Ermitteln Sie den notwendigen Mindeststichprobenumfang.
Lösung
- Die Hypothesen sind: \[\begin{align*} H_0&: \mu_1 - \mu_2 \leq 0 \\ H_1&: \mu_1 - \mu_2 > 0 \end{align*}\]
- Bei Geltung der $H_1$ gehen wir mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = 10$ aus, also wäre auch $\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} = 10$.
- Wenn in der Population gilt $\sqrt{s^2_{emp}} = 20$, dann ist auch $\sqrt{\sigma^2} = 20$.
Also ist

$\delta_{H_1} = \frac{\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{10 - 0}{20} = 0.5$
library(pwr) pwr.t.test(power = 0.9, d = 0.5, sig.level = 0.04, type = "two.sample", alternative = "greater")
Two-sample t test power calculation n = 74.33297 d = 0.5 sig.level = 0.04 power = 0.9 alternative = greater NOTE: n is number in *each* group
Es werden 75 Personen in jeder der beiden Stichproben benötigt. Insgesamt benötigen Sie also 75 + 75 = 150 Personen.

Sie planen eine Studie, die den Einfluss der Urlaubsdauer auf die Lebensfreude untersucht. Sie vermuten, dass Personen, die eine Woche Urlaub machen im Mittel eine geringere Lebensfreude haben als Personen, die sechs Wochen Urlaub machen. Bisherige Ergebnisse zeigen, dass bei einem tatsächlichen Vorliegen des Einflusses der Urlaubsdauer mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -6$ zwischen den Populationen auszugehen ist und das Merkmal Lebensfreude in der Population eine Standardabweichung von $\sqrt{s^2_{emp}} = 20$ aufweist. Die Untersuchung soll mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben durchgeführt werden, der folgende Eigenschaften aufweisen soll: $\alpha = 0.05$, $1 - \beta = 0.7$.

Ermitteln Sie den notwendigen Mindeststichprobenumfang.
Lösung
- Die Hypothesen sind: \[\begin{align*} H_0&: \mu_1 - \mu_2 \geq 0 \\ H_1&: \mu_1 - \mu_2 < 0 \end{align*}\]
- Bei Geltung der $H_1$ gehen wir mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -6$ aus, also wäre auch $\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} = -6$.
- Wenn in der Population gilt $\sqrt{s^2_{emp}} = 20$, dann ist auch $\sqrt{\sigma^2} = 20$.
Also ist

$\delta_{H_1} = \frac{\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{-6 - 0}{20} = -0.3$
library(pwr) pwr.t.test(power = 0.7, d = -0.3, sig.level = 0.05, type = "two.sample", alternative = "less")
Two-sample t test power calculation n = 105.253 d = -0.3 sig.level = 0.05 power = 0.7 alternative = less NOTE: n is number in *each* group
Es werden 106 Personen in jeder der beiden Stichproben benötigt. Insgesamt benötigen Sie also 106 + 106 = 212 Personen.

Sie planen eine Studie, die den Einfluss der Ernährung auf die allgemeine Zufriedenheit untersucht. Sie vermuten, dass Personen, die wenig Obst essen im Mittel eine geringere allgemeine Zufriedenheit haben als Personen, die viel Obst essen. Bisherige Ergebnisse zeigen, dass bei einem tatsächlichen Vorliegen des Einflusses der Ernährung mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -8$ zwischen den Populationen auszugehen ist und das Merkmal allgemeine Zufriedenheit in der Population eine Standardabweichung von $\sqrt{s^2_{emp}} = 20$ aufweist. Die Untersuchung soll mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben durchgeführt werden, der folgende Eigenschaften aufweisen soll: $\alpha = 0.035$, $1 - \beta = 0.7$.

Ermitteln Sie den notwendigen Mindeststichprobenumfang.
Lösung
- Die Hypothesen sind: \[\begin{align*} H_0&: \mu_1 - \mu_2 \geq 0 \\ H_1&: \mu_1 - \mu_2 < 0 \end{align*}\]
- Bei Geltung der $H_1$ gehen wir mindestens von einem Unterschied von $\overline{x}_1 - \overline{x}_2 = -8$ aus, also wäre auch $\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} = -8$.
- Wenn in der Population gilt $\sqrt{s^2_{emp}} = 20$, dann ist auch $\sqrt{\sigma^2} = 20$.
Also ist

$\delta_{H_1} = \frac{\mu_{1_{H1}} - \mu_{2_{H1}} - \mu_0}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{-8 - 0}{20} = -0.4$
library(pwr) pwr.t.test(power = 0.7, d = -0.4, sig.level = 0.035, type = "two.sample", alternative = "less")
Two-sample t test power calculation n = 69.06132 d = -0.4 sig.level = 0.035 power = 0.7 alternative = less NOTE: n is number in *each* group
Es werden 70 Personen in jeder der beiden Stichproben benötigt. Insgesamt benötigen Sie also 70 + 70 = 140 Personen.