Übungsaufgaben

DESKRIPTIVE STATISTIK 1: Häufigkeiten, Maßzahlen und graphische Darstellungen

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  1. Eine Sprinterin nimmt in der Saison 2023/24 an 14 Rennen teil und erzielt dabei folgende Platzierungen:

    Rennen Platz
    1 5
    2 4
    3 1
    4 1
    5 1
    6 2
    7 3
    8 6
    9 4
    10 1
    11 3
    12 1
    13 4
    14 2

    1. Geben Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten, sowie die absoluten und relativen kumulierten Häufigkeiten der Platzierungen (also wie häufig der 1. Platz, der 2. Platz, usw. erzielt wurde) an.

      \(Platz\) \(H\) \(h\) \(H_{kum}\) \(h_{kum}\)
      1 5 0.36 5 0.36
      2 2 0.14 7 0.50
      3 2 0.14 9 0.64
      4 3 0.21 12 0.86
      5 1 0.07 13 0.93
      6 1 0.07 14 1.00

    2. Geben Sie den Modus an.

      Der Modus der Urliste ist: 1. Platz


  1. Eine Mathematikklausur in der 9. Klasse hat folgende Urliste ergeben:

    3, 5, 1, 2, 1, 3, 5, 1, 5

    Berechnen Sie:

    1. \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i}\)

      \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i} = 5 + 1 + 2 + 1 = 9\)

    2. \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)}\)

      \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)} = (3 + 2) + (5 + 2) + (1 + 2) + (2 + 2) = 5+7+3+4 = 19\)

    3. \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2}\)

      \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2} = \frac{{(1 + 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}{2} = \frac{4 + 9}{2} = \frac{13}{2} = 6.5\)

  1. Eine Sprinterin nimmt in der Saison 2023/24 an 14 Rennen teil und erzielt dabei folgende Platzierungen:

    Rennen Platz
    1 5
    2 3
    3 5
    4 6
    5 5
    6 4
    7 5
    8 5
    9 4
    10 3
    11 4
    12 6
    13 6
    14 1

    1. Geben Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten, sowie die absoluten und relativen kumulierten Häufigkeiten der Platzierungen (also wie häufig der 1. Platz, der 2. Platz, usw. erzielt wurde) an.

      \(Platz\) \(H\) \(h\) \(H_{kum}\) \(h_{kum}\)
      1 1 0.07 1 0.07
      2 0 0.00 1 0.07
      3 2 0.14 3 0.21
      4 3 0.21 6 0.43
      5 5 0.36 11 0.79
      6 3 0.21 14 1.00

    2. Geben Sie den Modus an.

      Der Modus der Urliste ist: 5. Platz


  1. Eine Mathematikklausur in der 9. Klasse hat folgende Urliste ergeben:

    4, 1, 5, 2, 1, 6, 4, 1, 2

    Berechnen Sie:

    1. \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i}\)

      \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i} = 1 + 5 + 2 + 1 = 9\)

    2. \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)}\)

      \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)} = (4 + 2) + (1 + 2) + (5 + 2) + (2 + 2) = 6+3+7+4 = 20\)

    3. \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2}\)

      \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2} = \frac{{(5 + 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}}{2} = \frac{36 + 9}{2} = \frac{45}{2} = 22.5\)

  1. Eine Sprinterin nimmt in der Saison 2023/24 an 14 Rennen teil und erzielt dabei folgende Platzierungen:

    Rennen Platz
    1 1
    2 6
    3 3
    4 4
    5 4
    6 3
    7 4
    8 1
    9 6
    10 3
    11 4
    12 3
    13 6
    14 3

    1. Geben Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten, sowie die absoluten und relativen kumulierten Häufigkeiten der Platzierungen (also wie häufig der 1. Platz, der 2. Platz, usw. erzielt wurde) an.

      \(Platz\) \(H\) \(h\) \(H_{kum}\) \(h_{kum}\)
      1 2 0.14 2 0.14
      2 0 0.00 2 0.14
      3 5 0.36 7 0.50
      4 4 0.29 11 0.79
      5 0 0.00 11 0.79
      6 3 0.21 14 1.00

    2. Geben Sie den Modus an.

      Der Modus der Urliste ist: 3. Platz


  1. Eine Mathematikklausur in der 9. Klasse hat folgende Urliste ergeben:

    2, 2, 2, 5, 3, 5, 2, 1, 3

    Berechnen Sie:

    1. \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i}\)

      \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i} = 2 + 2 + 5 + 3 = 12\)

    2. \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)}\)

      \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)} = (2 + 2) + (2 + 2) + (2 + 2) + (5 + 2) = 4+4+4+7 = 19\)

    3. \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2}\)

      \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2} = \frac{{(2 + 1)}^{2} + {(5 + 1)}^{2}}{2} = \frac{9 + 36}{2} = \frac{45}{2} = 22.5\)

  1. Eine Sprinterin nimmt in der Saison 2023/24 an 14 Rennen teil und erzielt dabei folgende Platzierungen:

    Rennen Platz
    1 3
    2 2
    3 1
    4 4
    5 4
    6 3
    7 4
    8 1
    9 6
    10 6
    11 4
    12 1
    13 1
    14 6

    1. Geben Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten, sowie die absoluten und relativen kumulierten Häufigkeiten der Platzierungen (also wie häufig der 1. Platz, der 2. Platz, usw. erzielt wurde) an.

      \(Platz\) \(H\) \(h\) \(H_{kum}\) \(h_{kum}\)
      1 4 0.29 4 0.29
      2 1 0.07 5 0.36
      3 2 0.14 7 0.50
      4 4 0.29 11 0.79
      5 0 0.00 11 0.79
      6 3 0.21 14 1.00

    2. Geben Sie den Modus an.

      Der Modus der Urliste ist: 1. Platz, 4. Platz


  1. Eine Mathematikklausur in der 9. Klasse hat folgende Urliste ergeben:

    4, 5, 4, 6, 6, 4, 4, 1, 2

    Berechnen Sie:

    1. \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i}\)

      \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i} = 5 + 4 + 6 + 6 = 21\)

    2. \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)}\)

      \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)} = (4 + 2) + (5 + 2) + (4 + 2) + (6 + 2) = 6+7+6+8 = 27\)

    3. \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2}\)

      \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2} = \frac{{(4 + 1)}^{2} + {(6 + 1)}^{2}}{2} = \frac{25 + 49}{2} = \frac{74}{2} = 37\)

  1. Eine Sprinterin nimmt in der Saison 2023/24 an 14 Rennen teil und erzielt dabei folgende Platzierungen:

    Rennen Platz
    1 4
    2 1
    3 5
    4 6
    5 3
    6 1
    7 6
    8 4
    9 2
    10 5
    11 1
    12 2
    13 2
    14 2

    1. Geben Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten, sowie die absoluten und relativen kumulierten Häufigkeiten der Platzierungen (also wie häufig der 1. Platz, der 2. Platz, usw. erzielt wurde) an.

      \(Platz\) \(H\) \(h\) \(H_{kum}\) \(h_{kum}\)
      1 3 0.21 3 0.21
      2 4 0.29 7 0.50
      3 1 0.07 8 0.57
      4 2 0.14 10 0.71
      5 2 0.14 12 0.86
      6 2 0.14 14 1.00

    2. Geben Sie den Modus an.

      Der Modus der Urliste ist: 2. Platz


  1. Eine Mathematikklausur in der 9. Klasse hat folgende Urliste ergeben:

    4, 4, 3, 4, 4, 6, 3, 4, 4

    Berechnen Sie:

    1. \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i}\)

      \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i} = 4 + 3 + 4 + 4 = 15\)

    2. \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)}\)

      \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)} = (4 + 2) + (4 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) = 6+6+5+6 = 23\)

    3. \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2}\)

      \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2} = \frac{{(3 + 1)}^{2} + {(4 + 1)}^{2}}{2} = \frac{16 + 25}{2} = \frac{41}{2} = 20.5\)

  1. Eine Sprinterin nimmt in der Saison 2023/24 an 14 Rennen teil und erzielt dabei folgende Platzierungen:

    Rennen Platz
    1 6
    2 1
    3 4
    4 6
    5 5
    6 4
    7 5
    8 1
    9 6
    10 6
    11 3
    12 3
    13 3
    14 4

    1. Geben Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten, sowie die absoluten und relativen kumulierten Häufigkeiten der Platzierungen (also wie häufig der 1. Platz, der 2. Platz, usw. erzielt wurde) an.

      \(Platz\) \(H\) \(h\) \(H_{kum}\) \(h_{kum}\)
      1 2 0.14 2 0.14
      2 0 0.00 2 0.14
      3 3 0.21 5 0.36
      4 3 0.21 8 0.57
      5 2 0.14 10 0.71
      6 4 0.29 14 1.00

    2. Geben Sie den Modus an.

      Der Modus der Urliste ist: 6. Platz


  1. Eine Mathematikklausur in der 9. Klasse hat folgende Urliste ergeben:

    3, 2, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 5

    Berechnen Sie:

    1. \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i}\)

      \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i} = 2 + 1 + 1 + 5 = 9\)

    2. \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)}\)

      \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)} = (3 + 2) + (2 + 2) + (1 + 2) + (1 + 2) = 5+4+3+3 = 15\)

    3. \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2}\)

      \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2} = \frac{{(1 + 1)}^{2} + {(1 + 1)}^{2}}{2} = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

  1. Eine Sprinterin nimmt in der Saison 2023/24 an 14 Rennen teil und erzielt dabei folgende Platzierungen:

    Rennen Platz
    1 3
    2 4
    3 3
    4 3
    5 3
    6 3
    7 4
    8 4
    9 5
    10 6
    11 4
    12 4
    13 4
    14 6

    1. Geben Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten, sowie die absoluten und relativen kumulierten Häufigkeiten der Platzierungen (also wie häufig der 1. Platz, der 2. Platz, usw. erzielt wurde) an.

      \(Platz\) \(H\) \(h\) \(H_{kum}\) \(h_{kum}\)
      1 0 0.00 0 0.00
      2 0 0.00 0 0.00
      3 5 0.36 5 0.36
      4 6 0.43 11 0.79
      5 1 0.07 12 0.86
      6 2 0.14 14 1.00

    2. Geben Sie den Modus an.

      Der Modus der Urliste ist: 4. Platz


  1. Eine Mathematikklausur in der 9. Klasse hat folgende Urliste ergeben:

    6, 5, 3, 6, 2, 2, 2, 3, 3

    Berechnen Sie:

    1. \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i}\)

      \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i} = 5 + 3 + 6 + 2 = 16\)

    2. \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)}\)

      \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)} = (6 + 2) + (5 + 2) + (3 + 2) + (6 + 2) = 8+7+5+8 = 28\)

    3. \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2}\)

      \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2} = \frac{{(3 + 1)}^{2} + {(6 + 1)}^{2}}{2} = \frac{16 + 49}{2} = \frac{65}{2} = 32.5\)

  1. Eine Sprinterin nimmt in der Saison 2023/24 an 14 Rennen teil und erzielt dabei folgende Platzierungen:

    Rennen Platz
    1 1
    2 6
    3 5
    4 2
    5 1
    6 1
    7 6
    8 2
    9 3
    10 3
    11 6
    12 4
    13 5
    14 1

    1. Geben Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten, sowie die absoluten und relativen kumulierten Häufigkeiten der Platzierungen (also wie häufig der 1. Platz, der 2. Platz, usw. erzielt wurde) an.

      \(Platz\) \(H\) \(h\) \(H_{kum}\) \(h_{kum}\)
      1 4 0.29 4 0.29
      2 2 0.14 6 0.43
      3 2 0.14 8 0.57
      4 1 0.07 9 0.64
      5 2 0.14 11 0.79
      6 3 0.21 14 1.00

    2. Geben Sie den Modus an.

      Der Modus der Urliste ist: 1. Platz


  1. Eine Mathematikklausur in der 9. Klasse hat folgende Urliste ergeben:

    6, 6, 5, 3, 1, 5, 2, 6, 5

    Berechnen Sie:

    1. \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i}\)

      \(\sum_{i = 2}^{5}x_{i} = 6 + 5 + 3 + 1 = 15\)

    2. \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)}\)

      \(\sum_{i = 1}^{4}{{(x}_{i} + 2)} = (6 + 2) + (6 + 2) + (5 + 2) + (3 + 2) = 8+8+7+5 = 28\)

    3. \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2}\)

      \(\sum_{i = 3}^{4}\frac{{(x_{i} + 1)}^{2}}{2} = \frac{{(5 + 1)}^{2} + {(3 + 1)}^{2}}{2} = \frac{36 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26\)

  1. Welche Maße der zentralen Tendenz bieten sich zur Beschreibung der unten dargestellten Variablen besonders an? Begründen Sie.

    Histogramm einer Variable, das eine eingipflige Verteilung von Werten zwischen 9 und 11 zeigt.

    Histogramm einer Variable

    Es liegen keine offensichtlichen Ausreißer vor, daher ist neben Modus und Median auch der Mittelwert ein geeignetes Maß zur Beschreibung der Daten

    Boxplot einer anderen Variable, mit Werten zwischen 5 und 12. Die Box liegt ungefähr in der Mitte der Verteilung und die dicke horizontale Linie liegt ungefähr in der Mitte der Box.

    Boxplot einer anderen Variable

    Mittelwert, Median, Modus, wenn das Boxplot metrische Daten beschreibt. Falls nur Ordinalskalenniveau vorliegt, ist die Berechnung des Mittelwerts nicht sinnvoll. Der Median ist bereits als dicke horizontale Linie dargestellt.