| \(x_{j}\) | 25 | 30 | 32 | 40 | 60 | 61 | 75 |
| \(f(x_{j})\) | 0.09 | 0.22 | 0 | 0.33 | 0.12 | 0.19 | 0.05 |
Weitere Übungsaufgaben 5
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert
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Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 25 30 32 40 60 61 75 \(F(x_j)\) 0.09 0.31 0.31 0.64 0.76 0.95 1 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:
\(x_{j}\) 0 15 35 40 53 59 69 \(F(x_{j})\) 0.24 0.43 0.57 0.67 0.87 0.98 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 0 15 35 40 53 59 69 \(f(x_{j})\) 0.24 0.19 0.14 0.1 0.2 0.11 0.02 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) -10 -3 -2 2 36 82 96 \(f(x_{j})\) 0.06 0.19 0.15 0.19 0.23 0.16 0.02 Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -10 \cdot 0.06 ) + ( -3 \cdot 0.19 ) + ( -2 \cdot 0.15 ) + ( 2 \cdot 0.19 ) + ( 36 \cdot 0.23 ) + ( 82 \cdot 0.16 ) + ( 96 \cdot 0.02 ) \\ &= 22.23 \end{align*}\]
Berechnen Sie die Varianz von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -10 - 22.23 )^2 \cdot 0.06 + ( -3 - 22.23 )^2 \cdot 0.19 + ( -2 - 22.23 )^2 \cdot 0.15 + ( 2 - 22.23 )^2 \cdot 0.19 + ( 36 - 22.23 )^2 \cdot 0.23 + ( 82 - 22.23 )^2 \cdot 0.16 + ( 96 - 22.23 )^2 \cdot 0.02 \\ &\approx 1073.14 \end{align*}\]
Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) 1 65 81 92 96 \(f(x_{j})\) 0.19 0.06 0.66 0.01 0.08 Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 1 65 81 92 96 \(F(x_j)\) 0.19 0.25 0.91 0.92 1 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:
\(x_{j}\) 12 18 25 63 82 \(F(x_{j})\) 0.27 0.47 0.57 0.94 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 12 18 25 63 82 \(f(x_{j})\) 0.27 0.2 0.1 0.37 0.06 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) -8 8 9 35 49 54 70 \(f(x_{j})\) 0.23 0.15 0.23 0.18 0.04 0.15 0.02 Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -8 \cdot 0.23 ) + ( 8 \cdot 0.15 ) + ( 9 \cdot 0.23 ) + ( 35 \cdot 0.18 ) + ( 49 \cdot 0.04 ) + ( 54 \cdot 0.15 ) + ( 70 \cdot 0.02 ) \\ &= 19.19 \end{align*}\]
Berechnen Sie die Varianz von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -8 - 19.19 )^2 \cdot 0.23 + ( 8 - 19.19 )^2 \cdot 0.15 + ( 9 - 19.19 )^2 \cdot 0.23 + ( 35 - 19.19 )^2 \cdot 0.18 + ( 49 - 19.19 )^2 \cdot 0.04 + ( 54 - 19.19 )^2 \cdot 0.15 + ( 70 - 19.19 )^2 \cdot 0.02 \\ &\approx 526.63 \end{align*}\]
Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) 0 29 34 48 49 70 77 \(f(x_{j})\) 0.03 0.11 0.32 0.01 0.15 0.34 0.04 Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 0 29 34 48 49 70 77 \(F(x_j)\) 0.03 0.14 0.46 0.47 0.62 0.96 1 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:
\(x_{j}\) 9 21 25 32 44 54 69 \(F(x_{j})\) 0.03 0.09 0.19 0.51 0.56 0.97 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 9 21 25 32 44 54 69 \(f(x_{j})\) 0.03 0.06 0.1 0.32 0.05 0.41 0.03 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) -1 17 44 65 83 \(f(x_{j})\) 0.53 0.1 0.11 0.19 0.07 Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -1 \cdot 0.53 ) + ( 17 \cdot 0.1 ) + ( 44 \cdot 0.11 ) + ( 65 \cdot 0.19 ) + ( 83 \cdot 0.07 ) \\ &= 24.17 \end{align*}\]
Berechnen Sie die Varianz von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -1 - 24.17 )^2 \cdot 0.53 + ( 17 - 24.17 )^2 \cdot 0.1 + ( 44 - 24.17 )^2 \cdot 0.11 + ( 65 - 24.17 )^2 \cdot 0.19 + ( 83 - 24.17 )^2 \cdot 0.07 \\ &\approx 943.18 \end{align*}\]
Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) 5 9 42 48 59 99 \(f(x_{j})\) 0.14 0.27 0.2 0.21 0.13 0.05 Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 5 9 42 48 59 99 \(F(x_j)\) 0.14 0.41 0.61 0.82 0.95 1 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:
\(x_{j}\) -5 38 45 60 65 80 85 \(F(x_{j})\) 0.09 0.14 0.37 0.66 0.8 0.96 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) -5 38 45 60 65 80 85 \(f(x_{j})\) 0.09 0.05 0.23 0.29 0.14 0.16 0.04 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) 16 19 25 39 56 65 83 \(f(x_{j})\) 0 0.21 0.09 0.31 0.21 0.14 0.04 Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( 16 \cdot 0 ) + ( 19 \cdot 0.21 ) + ( 25 \cdot 0.09 ) + ( 39 \cdot 0.31 ) + ( 56 \cdot 0.21 ) + ( 65 \cdot 0.14 ) + ( 83 \cdot 0.04 ) \\ &= 42.51 \end{align*}\]
Berechnen Sie die Varianz von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( 16 - 42.51 )^2 \cdot 0 + ( 19 - 42.51 )^2 \cdot 0.21 + ( 25 - 42.51 )^2 \cdot 0.09 + ( 39 - 42.51 )^2 \cdot 0.31 + ( 56 - 42.51 )^2 \cdot 0.21 + ( 65 - 42.51 )^2 \cdot 0.14 + ( 83 - 42.51 )^2 \cdot 0.04 \\ &\approx 322.09 \end{align*}\]
Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) 25 30 57 61 84 94 \(f(x_{j})\) 0.15 0.28 0.02 0.35 0.16 0.04 Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 25 30 57 61 84 94 \(F(x_j)\) 0.15 0.43 0.45 0.8 0.96 1 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:
\(x_{j}\) -4 8 33 39 48 78 87 \(F(x_{j})\) 0.32 0.35 0.41 0.44 0.61 0.96 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) -4 8 33 39 48 78 87 \(f(x_{j})\) 0.32 0.03 0.06 0.03 0.17 0.35 0.04 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) -9 9 44 51 58 79 99 \(f(x_{j})\) 0.12 0.32 0.1 0.15 0.27 0.01 0.03 Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -9 \cdot 0.12 ) + ( 9 \cdot 0.32 ) + ( 44 \cdot 0.1 ) + ( 51 \cdot 0.15 ) + ( 58 \cdot 0.27 ) + ( 79 \cdot 0.01 ) + ( 99 \cdot 0.03 ) \\ &= 33.27 \end{align*}\]
Berechnen Sie die Varianz von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -9 - 33.27 )^2 \cdot 0.12 + ( 9 - 33.27 )^2 \cdot 0.32 + ( 44 - 33.27 )^2 \cdot 0.1 + ( 51 - 33.27 )^2 \cdot 0.15 + ( 58 - 33.27 )^2 \cdot 0.27 + ( 79 - 33.27 )^2 \cdot 0.01 + ( 99 - 33.27 )^2 \cdot 0.03 \\ &\approx 777.22 \end{align*}\]
Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) -2 13 18 22 43 47 \(f(x_{j})\) 0.01 0.22 0.31 0.4 0.02 0.04 Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) -2 13 18 22 43 47 \(F(x_j)\) 0.01 0.23 0.54 0.94 0.96 1 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:
\(x_{j}\) 27 34 60 63 68 \(F(x_{j})\) 0.32 0.56 0.64 0.96 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 27 34 60 63 68 \(f(x_{j})\) 0.32 0.24 0.08 0.32 0.04 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) 5 46 51 76 85 \(f(x_{j})\) 0.08 0.48 0.03 0.34 0.07 Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( 5 \cdot 0.08 ) + ( 46 \cdot 0.48 ) + ( 51 \cdot 0.03 ) + ( 76 \cdot 0.34 ) + ( 85 \cdot 0.07 ) \\ &= 55.8 \end{align*}\]
Berechnen Sie die Varianz von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( 5 - 55.8 )^2 \cdot 0.08 + ( 46 - 55.8 )^2 \cdot 0.48 + ( 51 - 55.8 )^2 \cdot 0.03 + ( 76 - 55.8 )^2 \cdot 0.34 + ( 85 - 55.8 )^2 \cdot 0.07 \\ &\approx 451.66 \end{align*}\]
Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) -2 27 40 42 63 \(f(x_{j})\) 0.3 0.33 0.08 0.25 0.04 Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) -2 27 40 42 63 \(F(x_j)\) 0.3 0.63 0.71 0.96 1 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:
\(x_{j}\) 2 12 29 60 96 \(F(x_{j})\) 0.21 0.48 0.51 0.95 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.
Lösung\(x_{j}\) 2 12 29 60 96 \(f(x_{j})\) 0.21 0.27 0.03 0.44 0.05 Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:
\(x_{j}\) -1 45 46 54 58 64 84 \(f(x_{j})\) 0 0.3 0.21 0.07 0.25 0.12 0.05 Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -1 \cdot 0 ) + ( 45 \cdot 0.3 ) + ( 46 \cdot 0.21 ) + ( 54 \cdot 0.07 ) + ( 58 \cdot 0.25 ) + ( 64 \cdot 0.12 ) + ( 84 \cdot 0.05 ) \\ &= 53.32 \end{align*}\]
Berechnen Sie die Varianz von \(X\).
Lösung\[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -1 - 53.32 )^2 \cdot 0 + ( 45 - 53.32 )^2 \cdot 0.3 + ( 46 - 53.32 )^2 \cdot 0.21 + ( 54 - 53.32 )^2 \cdot 0.07 + ( 58 - 53.32 )^2 \cdot 0.25 + ( 64 - 53.32 )^2 \cdot 0.12 + ( 84 - 53.32 )^2 \cdot 0.05 \\ &\approx 98.28 \end{align*}\]
Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 3 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}\).
Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.
Lösung\[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]
Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.
Lösung\(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also
\[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]
\[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\] \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.
Lösung\[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]
Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).
Lösung\[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]
\[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]
\[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]
Geben Sie den Träger von \(X\) an.
Lösung\[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \right\}\]
Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.
Lösung\(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 3\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also
\[X\ \sim\ B\left( 3,\ \frac{1}{4} \right)\]
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.
Lösung\[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{3}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - x_{j}}\]
Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.
Lösung\[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{3}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - x_{j}}}\]
Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).
Lösung\[E(X) = n\pi = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0.75\]
\[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \approx 0.5625\]
\[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{9}{16}} \approx 0.75\]
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
Ereignis 1: Sie ziehen 3 Herz-Karten
Lösung\[P(X = 3) = f(3) = \binom{3}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - 3} \approx 0.015625\]
Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten
Lösung\[P(X = 2) = f(2) = \binom{3}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - 2} \approx 0.140625\]
Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten
Lösung\[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) \\ &= \binom{3}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} \\ &+ \binom{3}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ \\ \\ &= 0.1406 + 0.0156 \\ &= 0.1562 \end{align*}\]
In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
dbinom(x, n, pi)Verteilungsfunktion:
pbinom(x, n , pi)Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.
Lösung## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j: n <- 3 p <- 1 / 6dbinom(3, n, p)[1] 0.015625dbinom(2, n, p)[1] 0.140625dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p)[1] 0.15625
Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 4 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3, 4 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}+ X_{4}\).
Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.
Lösung\[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]
Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.
Lösung\(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also
\[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]
\[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\] \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.
Lösung\[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]
Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).
Lösung\[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]
\[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]
\[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]
Geben Sie den Träger von \(X\) an.
Lösung\[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 , 4 \right\}\]
Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.
Lösung\(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 4\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also
\[X\ \sim\ B\left( 4,\ \frac{1}{4} \right)\]
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.
Lösung\[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{4}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - x_{j}}\]
Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.
Lösung\[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{4}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - x_{j}}}\]
Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).
Lösung\[E(X) = n\pi = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\]
\[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{16} \approx 0.75\]
\[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{12}{16}} \approx 0.8660254\]
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
Ereignis 1: Sie ziehen 4 Herz-Karten
Lösung\[P(X = 4) = f(4) = \binom{4}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 4} \approx 0.0039063\]
Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten
Lösung\[P(X = 2) = f(2) = \binom{4}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 2} \approx 0.2109375\]
Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten
Lösung\[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) + f(4) \\ &= \binom{4}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{2} \\ &+ \binom{4}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} \\ &+ \binom{4}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ \\ &= 0.2109 + 0.0469 + 0.0039 \\ &= 0.2617 \end{align*}\]
In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
dbinom(x, n, pi)Verteilungsfunktion:
pbinom(x, n , pi)Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.
Lösung## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j: n <- 4 p <- 1 / 6dbinom(4, n, p)[1] 0.00390625dbinom(2, n, p)[1] 0.2109375dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p) + dbinom(4, n, p)[1] 0.2617187
Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 5 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3, 4, 5 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}+ X_{4}+ X_{5}\).
Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.
Lösung\[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]
Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.
Lösung\(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also
\[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]
\[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\] \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.
Lösung\[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]
Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).
Lösung\[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]
\[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]
\[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]
Geben Sie den Träger von \(X\) an.
Lösung\[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 , 4 , 5 \right\}\]
Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.
Lösung\(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 5\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also
\[X\ \sim\ B\left( 5,\ \frac{1}{4} \right)\]
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.
Lösung\[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{5}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - x_{j}}\]
Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.
Lösung\[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{5}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - x_{j}}}\]
Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).
Lösung\[E(X) = n\pi = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1.25\]
\[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{16} \approx 0.9375\]
\[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{15}{16}} \approx 0.9682458\]
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
Ereignis 1: Sie ziehen 5 Herz-Karten
Lösung\[P(X = 5) = f(5) = \binom{5}{5}\left( \frac{1}{4} \right)^{5}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - 5} \approx 9.765625\times 10^{-4}\]
Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten
Lösung\[P(X = 2) = f(2) = \binom{5}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - 2} \approx 0.2636719\]
Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten
Lösung\[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) + f(4) + f(5) \\ &= \binom{5}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{3} \\ &+ \binom{5}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{2} \\ &+ \binom{5}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} \\ &+ \binom{5}{5}\left( \frac{1}{4} \right)^{5}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ &= 0.2637 + 0.0879 + 0.0146 + 0.001 \\ &= 0.3672 \end{align*}\]
In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
dbinom(x, n, pi)Verteilungsfunktion:
pbinom(x, n , pi)Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.
Lösung## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j: n <- 5 p <- 1 / 6dbinom(5, n, p)[1] 0.0009765625dbinom(2, n, p)[1] 0.2636719dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p) + dbinom(4, n, p) + dbinom(5, n, p)[1] 0.3671875