Übungsaufgaben

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert

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  1. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) 25 30 32 40 60 61 75
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.08 0.2 0 0.29 0.11 0.17 0.14

    Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 25 30 32 40 60 61 75
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.08 0.28 0.28 0.58 0.69 0.86 1

  2. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:

    \(x_{j}\) 0 15 40 53 59 69
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.42 0.47 0.56 0.79 0.84 1

    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 0 15 40 53 59 69
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.42 0.05 0.1 0.22 0.06 0.16

  3. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) -3 -2 -1 0 1 2
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.18 0.14 0.18 0.21 0.15 0.14

    1. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

      \[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 \cdot 0.18 ) + ( -2 \cdot 0.14 ) + ( -1 \cdot 0.18 ) + ( 0 \cdot 0.21 ) + ( 1 \cdot 0.15 ) + ( 2 \cdot 0.14 ) \\ &= -0.57 \end{align*}\]

    2. Berechnen Sie die Varianz von \(X\).

      \[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 - ( -0.57 ) )^2 \cdot 0.18 + ( -2 - ( -0.57 ) )^2 \cdot 0.14 + ( -1 - ( -0.57 ) )^2 \cdot 0.18 + ( 0 - ( -0.57 ) )^2 \cdot 0.21 + ( 1 - ( -0.57 ) )^2 \cdot 0.15 + ( 2 - ( -0.57 ) )^2 \cdot 0.14 \\ &\approx 2.75 \end{align*}\]

  1. Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 5 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3, 4, 5 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}+ X_{4}+ X_{5}\).

    1. Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.

      \[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]

    2. Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.

      \(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also

      \[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]

      \[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\]
      \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1

    3. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]

    4. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).

      \[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]

      \[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]

      \[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]

    5. Geben Sie den Träger von \(X\) an.

      \[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 , 4 , 5 \right\}\]

    6. Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.

      \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 5\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also

      \[X\ \sim\ B\left( 5,\ \frac{1}{4} \right)\]

    7. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{5}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - x_{j}}\]

    8. Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{5}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - x_{j}}}\]

    9. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).

      \[E(X) = n\pi = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1.25\]

      \[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{16} \approx 0.9375\]

      \[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{15}{16}} \approx 0.9682458\]

    10. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

      1. Ereignis 1: Sie ziehen 5 Herz-Karten

        \[P(X = 5) = f(5) = \binom{5}{5}\left( \frac{1}{4} \right)^{5}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - 5} \approx 9.765625\times 10^{-4}\]

      2. Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten

        \[P(X = 2) = f(2) = \binom{5}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - 2} \approx 0.2636719\]

      3. Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten

        \[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) + f(4) + f(5) \\ &= \binom{5}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{3} + \\ &\binom{5}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{2} \\ + \binom{5}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} \\ + \binom{5}{5}\left( \frac{1}{4} \right)^{5}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ &= 0.2637 + 0.0879 + 0.0146 + 0.001 \\ &= 0.3672 \end{align*}\]

    11. In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.

      Wahrscheinlichkeitsfunktion:

      dbinom(x, n, pi)

      Verteilungsfunktion:

      pbinom(x, n , pi)

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.

      ## Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n=5 und p=1/4:
n <- 5
p <- 1 / 4
      dbinom(0, n, p)
      [1] 0.2373047
      dbinom(1, n, p)
      [1] 0.3955078
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2636719
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.08789063
      dbinom(4, n, p)
      [1] "0.0146484375"
      dbinom(5, n, p)
      [1] "0.0009765625"
      ## Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:5
dbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.2373046875 0.3955078125 0.2636718750 0.0878906250 0.0146484375
[6] 0.0009765625
      ## Verteilungsfunktion der Binomialvereilung mit n=5 und p=1/4:
n <- 5
p <- 1 / 4
      pbinom(0, n, p)
      [1] 0.4018776
      pbinom(1, n, p)
      [1] 0.8037551
      pbinom(2, n, p)
      [1] 0.9645062
      pbinom(3, n, p)
      [1] 0.9966564
      pbinom(4, n, p)
      [1] "0.999871399176955"
      pbinom(4, n, p)
      [1] "0.999871399176955"
      ## Alle Werte der Verteilungsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:5
pbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.4018776 0.8037551 0.9645062 0.9966564 0.9998714 1.0000000
      ## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j:
n <- 5
p <- 1 / 6
      dbinom(5, n, p)
      [1] 0.0009765625
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2636719
      dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p)  + dbinom(4, n, p)  + dbinom(5, n, p)
      [1] 0.3671875

  1. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) 1 5 32 65 81 96
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.26 0.15 0.27 0.07 0.02 0.24

    Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 1 5 32 65 81 96
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.26 0.41 0.68 0.74 0.76 1

  2. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:

    \(x_{j}\) 1 46 49 72 77
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.09 0.49 0.55 0.59 1

    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 1 46 49 72 77
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.09 0.4 0.06 0.04 0.41

  3. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) -3 -2 -1 1 3
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.14 0.12 0.26 0.21 0.26

    1. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

      \[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 \cdot 0.14 ) + ( -2 \cdot 0.12 ) + ( -1 \cdot 0.26 ) + ( 1 \cdot 0.21 ) + ( 3 \cdot 0.26 ) \\ &= 0.07 \end{align*}\]

    2. Berechnen Sie die Varianz von \(X\).

      \[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 - 0.07 )^2 \cdot 0.14 + ( -2 - 0.07 )^2 \cdot 0.12 + ( -1 - 0.07 )^2 \cdot 0.26 + ( 1 - 0.07 )^2 \cdot 0.21 + ( 3 - 0.07 )^2 \cdot 0.26 \\ &\approx 4.55 \end{align*}\]

  1. Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 5 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3, 4, 5 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}+ X_{4}+ X_{5}\).

    1. Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.

      \[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]

    2. Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.

      \(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also

      \[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]

      \[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\]
      \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1

    3. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]

    4. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).

      \[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]

      \[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]

      \[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]

    5. Geben Sie den Träger von \(X\) an.

      \[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 , 4 , 5 \right\}\]

    6. Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.

      \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 5\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also

      \[X\ \sim\ B\left( 5,\ \frac{1}{4} \right)\]

    7. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{5}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - x_{j}}\]

    8. Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{5}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - x_{j}}}\]

    9. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).

      \[E(X) = n\pi = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1.25\]

      \[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{16} \approx 0.9375\]

      \[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{15}{16}} \approx 0.9682458\]

    10. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

      1. Ereignis 1: Sie ziehen 5 Herz-Karten

        \[P(X = 5) = f(5) = \binom{5}{5}\left( \frac{1}{4} \right)^{5}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - 5} \approx 9.765625\times 10^{-4}\]

      2. Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten

        \[P(X = 2) = f(2) = \binom{5}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{5 - 2} \approx 0.2636719\]

      3. Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten

        \[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) + f(4) + f(5) \\ &= \binom{5}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{3} + \\ &\binom{5}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{2} \\ + \binom{5}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} \\ + \binom{5}{5}\left( \frac{1}{4} \right)^{5}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ &= 0.2637 + 0.0879 + 0.0146 + 0.001 \\ &= 0.3672 \end{align*}\]

    11. In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.

      Wahrscheinlichkeitsfunktion:

      dbinom(x, n, pi)

      Verteilungsfunktion:

      pbinom(x, n , pi)

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.

      ## Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n=5 und p=1/4:
n <- 5
p <- 1 / 4
      dbinom(0, n, p)
      [1] 0.2373047
      dbinom(1, n, p)
      [1] 0.3955078
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2636719
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.08789063
      dbinom(4, n, p)
      [1] "0.0146484375"
      dbinom(5, n, p)
      [1] "0.0009765625"
      ## Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:5
dbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.2373046875 0.3955078125 0.2636718750 0.0878906250 0.0146484375
[6] 0.0009765625
      ## Verteilungsfunktion der Binomialvereilung mit n=5 und p=1/4:
n <- 5
p <- 1 / 4
      pbinom(0, n, p)
      [1] 0.4018776
      pbinom(1, n, p)
      [1] 0.8037551
      pbinom(2, n, p)
      [1] 0.9645062
      pbinom(3, n, p)
      [1] 0.9966564
      pbinom(4, n, p)
      [1] "0.999871399176955"
      pbinom(4, n, p)
      [1] "0.999871399176955"
      ## Alle Werte der Verteilungsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:5
pbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.4018776 0.8037551 0.9645062 0.9966564 0.9998714 1.0000000
      ## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j:
n <- 5
p <- 1 / 6
      dbinom(5, n, p)
      [1] 0.0009765625
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2636719
      dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p)  + dbinom(4, n, p)  + dbinom(5, n, p)
      [1] 0.3671875

  1. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) 5 24 34 48 86
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.14 0.33 0.03 0.16 0.34

    Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 5 24 34 48 86
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.14 0.47 0.51 0.66 1

  2. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:

    \(x_{j}\) 9 21 32 69 72
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.11 0.13 0.22 0.73 1

    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 9 21 32 69 72
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.11 0.02 0.09 0.51 0.27

  3. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) -2 -1 0 2
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.47 0.38 0.07 0.08

    1. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

      \[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -2 \cdot 0.47 ) + ( -1 \cdot 0.38 ) + ( 0 \cdot 0.07 ) + ( 2 \cdot 0.08 ) \\ &= -1.16 \end{align*}\]

    2. Berechnen Sie die Varianz von \(X\).

      \[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -2 - ( -1.16 ) )^2 \cdot 0.47 + ( -1 - ( -1.16 ) )^2 \cdot 0.38 + ( 0 - ( -1.16 ) )^2 \cdot 0.07 + ( 2 - ( -1.16 ) )^2 \cdot 0.08 \\ &\approx 1.23 \end{align*}\]

  1. Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 4 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3, 4 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}+ X_{4}\).

    1. Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.

      \[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]

    2. Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.

      \(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also

      \[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]

      \[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\]
      \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1

    3. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]

    4. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).

      \[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]

      \[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]

      \[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]

    5. Geben Sie den Träger von \(X\) an.

      \[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 , 4 \right\}\]

    6. Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.

      \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 4\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also

      \[X\ \sim\ B\left( 4,\ \frac{1}{4} \right)\]

    7. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{4}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - x_{j}}\]

    8. Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{4}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - x_{j}}}\]

    9. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).

      \[E(X) = n\pi = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\]

      \[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{16} \approx 0.75\]

      \[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{12}{16}} \approx 0.8660254\]

    10. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

      1. Ereignis 1: Sie ziehen 4 Herz-Karten

        \[P(X = 4) = f(4) = \binom{4}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 4} \approx 0.0039063\]

      2. Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten

        \[P(X = 2) = f(2) = \binom{4}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 2} \approx 0.2109375\]

      3. Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten

        \[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) + f(4) \\ &= \binom{4}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{2} + \\ &\binom{4}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} \\ + \binom{4}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ \\ &= 0.2109 + 0.0469 + 0.0039 \\ &= 0.2617 \end{align*}\]

    11. In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.

      Wahrscheinlichkeitsfunktion:

      dbinom(x, n, pi)

      Verteilungsfunktion:

      pbinom(x, n , pi)

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.

      ## Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n=4 und p=1/4:
n <- 4
p <- 1 / 4
      dbinom(0, n, p)
      [1] 0.3164062
      dbinom(1, n, p)
      [1] 0.421875
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2109375
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.046875
      dbinom(4, n, p)
      [1] "0.00390625"
      [1] "0"
      ## Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:4
dbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.31640625 0.42187500 0.21093750 0.04687500 0.00390625
      ## Verteilungsfunktion der Binomialvereilung mit n=4 und p=1/4:
n <- 4
p <- 1 / 4
      pbinom(0, n, p)
      [1] 0.4822531
      pbinom(1, n, p)
      [1] 0.8680556
      pbinom(2, n, p)
      [1] 0.9837963
      pbinom(3, n, p)
      [1] 0.9992284
      pbinom(4, n, p)
      [1] "1"
      [1] ""
      ## Alle Werte der Verteilungsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:4
pbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.4822531 0.8680556 0.9837963 0.9992284 1.0000000
      ## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j:
n <- 4
p <- 1 / 6
      dbinom(4, n, p)
      [1] 0.00390625
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2109375
      dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p)  + dbinom(4, n, p) 
      [1] 0.2617187

  1. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) 5 9 42 48 59 99
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.09 0.18 0.14 0.14 0.09 0.35

    Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 5 9 42 48 59 99
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.09 0.28 0.42 0.56 0.65 1

  2. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:

    \(x_{j}\) -5 5 38 45 55 60 65
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.02 0.15 0.31 0.45 0.51 0.58 1

    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) -5 5 38 45 55 60 65
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.02 0.12 0.16 0.14 0.06 0.06 0.42

  3. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) -2 -1 0 1 2
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.22 0.09 0.32 0.22 0.15

    1. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

      \[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -2 \cdot 0.22 ) + ( -1 \cdot 0.09 ) + ( 0 \cdot 0.32 ) + ( 1 \cdot 0.22 ) + ( 2 \cdot 0.15 ) \\ &= -0.01 \end{align*}\]

    2. Berechnen Sie die Varianz von \(X\).

      \[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -2 - ( -0.0100000000000001 ) )^2 \cdot 0.22 + ( -1 - ( -0.0100000000000001 ) )^2 \cdot 0.09 + ( 0 - ( -0.0100000000000001 ) )^2 \cdot 0.32 + ( 1 - ( -0.0100000000000001 ) )^2 \cdot 0.22 + ( 2 - ( -0.0100000000000001 ) )^2 \cdot 0.15 \\ &\approx 1.79 \end{align*}\]

  1. Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 4 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3, 4 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}+ X_{4}\).

    1. Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.

      \[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]

    2. Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.

      \(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also

      \[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]

      \[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\]
      \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1

    3. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]

    4. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).

      \[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]

      \[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]

      \[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]

    5. Geben Sie den Träger von \(X\) an.

      \[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 , 4 \right\}\]

    6. Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.

      \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 4\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also

      \[X\ \sim\ B\left( 4,\ \frac{1}{4} \right)\]

    7. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{4}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - x_{j}}\]

    8. Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{4}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - x_{j}}}\]

    9. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).

      \[E(X) = n\pi = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\]

      \[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{16} \approx 0.75\]

      \[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{12}{16}} \approx 0.8660254\]

    10. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

      1. Ereignis 1: Sie ziehen 4 Herz-Karten

        \[P(X = 4) = f(4) = \binom{4}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 4} \approx 0.0039063\]

      2. Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten

        \[P(X = 2) = f(2) = \binom{4}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 2} \approx 0.2109375\]

      3. Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten

        \[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) + f(4) \\ &= \binom{4}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{2} + \\ &\binom{4}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} \\ + \binom{4}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ \\ &= 0.2109 + 0.0469 + 0.0039 \\ &= 0.2617 \end{align*}\]

    11. In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.

      Wahrscheinlichkeitsfunktion:

      dbinom(x, n, pi)

      Verteilungsfunktion:

      pbinom(x, n , pi)

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.

      ## Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n=4 und p=1/4:
n <- 4
p <- 1 / 4
      dbinom(0, n, p)
      [1] 0.3164062
      dbinom(1, n, p)
      [1] 0.421875
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2109375
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.046875
      dbinom(4, n, p)
      [1] "0.00390625"
      [1] "0"
      ## Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:4
dbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.31640625 0.42187500 0.21093750 0.04687500 0.00390625
      ## Verteilungsfunktion der Binomialvereilung mit n=4 und p=1/4:
n <- 4
p <- 1 / 4
      pbinom(0, n, p)
      [1] 0.4822531
      pbinom(1, n, p)
      [1] 0.8680556
      pbinom(2, n, p)
      [1] 0.9837963
      pbinom(3, n, p)
      [1] 0.9992284
      pbinom(4, n, p)
      [1] "1"
      [1] ""
      ## Alle Werte der Verteilungsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:4
pbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.4822531 0.8680556 0.9837963 0.9992284 1.0000000
      ## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j:
n <- 4
p <- 1 / 6
      dbinom(4, n, p)
      [1] 0.00390625
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2109375
      dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p)  + dbinom(4, n, p) 
      [1] 0.2617187

  1. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) 25 30 57 61 84
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.08 0.17 0.32 0.02 0.41

    Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 25 30 57 61 84
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.08 0.25 0.57 0.59 1

  2. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:

    \(x_{j}\) -4 8 33 39 48 67 68
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.1 0.16 0.33 0.36 0.5 0.62 1

    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) -4 8 33 39 48 67 68
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.1 0.07 0.17 0.03 0.13 0.12 0.38

  3. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) -3 -2 1 2 3
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.38 0.12 0.17 0.32 0.01

    1. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

      \[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 \cdot 0.38 ) + ( -2 \cdot 0.12 ) + ( 1 \cdot 0.17 ) + ( 2 \cdot 0.32 ) + ( 3 \cdot 0.01 ) \\ &= -0.54 \end{align*}\]

    2. Berechnen Sie die Varianz von \(X\).

      \[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 - ( -0.54 ) )^2 \cdot 0.38 + ( -2 - ( -0.54 ) )^2 \cdot 0.12 + ( 1 - ( -0.54 ) )^2 \cdot 0.17 + ( 2 - ( -0.54 ) )^2 \cdot 0.32 + ( 3 - ( -0.54 ) )^2 \cdot 0.01 \\ &\approx 5.15 \end{align*}\]

  1. Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 4 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3, 4 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}+ X_{4}\).

    1. Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.

      \[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]

    2. Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.

      \(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also

      \[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]

      \[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\]
      \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1

    3. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]

    4. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).

      \[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]

      \[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]

      \[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]

    5. Geben Sie den Träger von \(X\) an.

      \[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 , 4 \right\}\]

    6. Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.

      \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 4\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also

      \[X\ \sim\ B\left( 4,\ \frac{1}{4} \right)\]

    7. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{4}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - x_{j}}\]

    8. Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{4}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - x_{j}}}\]

    9. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).

      \[E(X) = n\pi = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1\]

      \[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{16} \approx 0.75\]

      \[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{12}{16}} \approx 0.8660254\]

    10. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

      1. Ereignis 1: Sie ziehen 4 Herz-Karten

        \[P(X = 4) = f(4) = \binom{4}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 4} \approx 0.0039063\]

      2. Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten

        \[P(X = 2) = f(2) = \binom{4}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{4 - 2} \approx 0.2109375\]

      3. Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten

        \[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) + f(4) \\ &= \binom{4}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{2} + \\ &\binom{4}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} \\ + \binom{4}{4}\left( \frac{1}{4} \right)^{4}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ \\ &= 0.2109 + 0.0469 + 0.0039 \\ &= 0.2617 \end{align*}\]

    11. In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.

      Wahrscheinlichkeitsfunktion:

      dbinom(x, n, pi)

      Verteilungsfunktion:

      pbinom(x, n , pi)

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.

      ## Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n=4 und p=1/4:
n <- 4
p <- 1 / 4
      dbinom(0, n, p)
      [1] 0.3164062
      dbinom(1, n, p)
      [1] 0.421875
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2109375
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.046875
      dbinom(4, n, p)
      [1] "0.00390625"
      [1] "0"
      ## Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:4
dbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.31640625 0.42187500 0.21093750 0.04687500 0.00390625
      ## Verteilungsfunktion der Binomialvereilung mit n=4 und p=1/4:
n <- 4
p <- 1 / 4
      pbinom(0, n, p)
      [1] 0.4822531
      pbinom(1, n, p)
      [1] 0.8680556
      pbinom(2, n, p)
      [1] 0.9837963
      pbinom(3, n, p)
      [1] 0.9992284
      pbinom(4, n, p)
      [1] "1"
      [1] ""
      ## Alle Werte der Verteilungsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:4
pbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.4822531 0.8680556 0.9837963 0.9992284 1.0000000
      ## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j:
n <- 4
p <- 1 / 6
      dbinom(4, n, p)
      [1] 0.00390625
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.2109375
      dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p)  + dbinom(4, n, p) 
      [1] 0.2617187

  1. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) -2 13 18 22 43 92
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.26 0.33 0.02 0.14 0.09 0.15

    Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) -2 13 18 22 43 92
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.26 0.6 0.61 0.75 0.85 1

  2. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:

    \(x_{j}\) -6 18 34 50 63 68
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.11 0.45 0.57 0.74 0.86 1

    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) -6 18 34 50 63 68
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.11 0.34 0.12 0.17 0.12 0.14

  3. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) -3 -2 -1 0 2 3
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.13 0.07 0.07 0.31 0.34 0.09

    1. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

      \[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 \cdot 0.13 ) + ( -2 \cdot 0.07 ) + ( -1 \cdot 0.07 ) + ( 0 \cdot 0.31 ) + ( 2 \cdot 0.34 ) + ( 3 \cdot 0.09 ) \\ &= 0.35 \end{align*}\]

    2. Berechnen Sie die Varianz von \(X\).

      \[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 - 0.35 )^2 \cdot 0.13 + ( -2 - 0.35 )^2 \cdot 0.07 + ( -1 - 0.35 )^2 \cdot 0.07 + ( 0 - 0.35 )^2 \cdot 0.31 + ( 2 - 0.35 )^2 \cdot 0.34 + ( 3 - 0.35 )^2 \cdot 0.09 \\ &\approx 3.57 \end{align*}\]

  1. Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 3 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}\).

    1. Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.

      \[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]

    2. Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.

      \(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also

      \[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]

      \[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\]
      \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1

    3. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]

    4. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).

      \[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]

      \[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]

      \[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]

    5. Geben Sie den Träger von \(X\) an.

      \[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \right\}\]

    6. Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.

      \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 3\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also

      \[X\ \sim\ B\left( 3,\ \frac{1}{4} \right)\]

    7. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{3}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - x_{j}}\]

    8. Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{3}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - x_{j}}}\]

    9. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).

      \[E(X) = n\pi = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0.75\]

      \[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \approx 0.5625\]

      \[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{9}{16}} \approx 0.75\]

    10. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

      1. Ereignis 1: Sie ziehen 3 Herz-Karten

        \[P(X = 3) = f(3) = \binom{3}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - 3} \approx 0.015625\]

      2. Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten

        \[P(X = 2) = f(2) = \binom{3}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - 2} \approx 0.140625\]

      3. Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten

        \[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) \\ &= \binom{3}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} + \\ &\binom{3}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ \\ \\ &= 0.1406 + 0.0156 \\ &= 0.1562 \end{align*}\]

    11. In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.

      Wahrscheinlichkeitsfunktion:

      dbinom(x, n, pi)

      Verteilungsfunktion:

      pbinom(x, n , pi)

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.

      ## Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n=3 und p=1/4:
n <- 3
p <- 1 / 4
      dbinom(0, n, p)
      [1] 0.421875
      dbinom(1, n, p)
      [1] 0.421875
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.140625
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.015625
      [1] ""
      [1] ""
      ## Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:3
dbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.421875 0.421875 0.140625 0.015625
      ## Verteilungsfunktion der Binomialvereilung mit n=3 und p=1/4:
n <- 3
p <- 1 / 4
      pbinom(0, n, p)
      [1] 0.5787037
      pbinom(1, n, p)
      [1] 0.9259259
      pbinom(2, n, p)
      [1] 0.9953704
      pbinom(3, n, p)
      [1] 1
      [1] ""
      [1] ""
      ## Alle Werte der Verteilungsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:3
pbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.5787037 0.9259259 0.9953704 1.0000000
      ## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j:
n <- 3
p <- 1 / 6
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.015625
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.140625
      dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p)  
      [1] 0.15625

  1. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) 2 12 29 60 96
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.2 0.26 0.03 0.43 0.08

    Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 2 12 29 60 96
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.2 0.47 0.5 0.92 1

  2. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:

    \(x_{j}\) -1 14 45 46 54 58 64
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.23 0.3 0.39 0.66 0.79 0.94 1

    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) -1 14 45 46 54 58 64
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.23 0.07 0.09 0.27 0.13 0.15 0.06

  3. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) -2 -1 1 3
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.13 0.52 0.22 0.13

    1. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

      \[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -2 \cdot 0.13 ) + ( -1 \cdot 0.52 ) + ( 1 \cdot 0.22 ) + ( 3 \cdot 0.13 ) \\ &= -0.17 \end{align*}\]

    2. Berechnen Sie die Varianz von \(X\).

      \[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -2 - ( -0.17 ) )^2 \cdot 0.13 + ( -1 - ( -0.17 ) )^2 \cdot 0.52 + ( 1 - ( -0.17 ) )^2 \cdot 0.22 + ( 3 - ( -0.17 ) )^2 \cdot 0.13 \\ &\approx 2.4 \end{align*}\]

  1. Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 3 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}\).

    1. Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.

      \[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]

    2. Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.

      \(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also

      \[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]

      \[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\]
      \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1

    3. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]

    4. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).

      \[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]

      \[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]

      \[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]

    5. Geben Sie den Träger von \(X\) an.

      \[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \right\}\]

    6. Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.

      \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 3\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also

      \[X\ \sim\ B\left( 3,\ \frac{1}{4} \right)\]

    7. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{3}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - x_{j}}\]

    8. Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{3}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - x_{j}}}\]

    9. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).

      \[E(X) = n\pi = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0.75\]

      \[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \approx 0.5625\]

      \[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{9}{16}} \approx 0.75\]

    10. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

      1. Ereignis 1: Sie ziehen 3 Herz-Karten

        \[P(X = 3) = f(3) = \binom{3}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - 3} \approx 0.015625\]

      2. Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten

        \[P(X = 2) = f(2) = \binom{3}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - 2} \approx 0.140625\]

      3. Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten

        \[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) \\ &= \binom{3}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} + \\ &\binom{3}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ \\ \\ &= 0.1406 + 0.0156 \\ &= 0.1562 \end{align*}\]

    11. In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.

      Wahrscheinlichkeitsfunktion:

      dbinom(x, n, pi)

      Verteilungsfunktion:

      pbinom(x, n , pi)

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.

      ## Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n=3 und p=1/4:
n <- 3
p <- 1 / 4
      dbinom(0, n, p)
      [1] 0.421875
      dbinom(1, n, p)
      [1] 0.421875
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.140625
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.015625
      [1] ""
      [1] ""
      ## Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:3
dbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.421875 0.421875 0.140625 0.015625
      ## Verteilungsfunktion der Binomialvereilung mit n=3 und p=1/4:
n <- 3
p <- 1 / 4
      pbinom(0, n, p)
      [1] 0.5787037
      pbinom(1, n, p)
      [1] 0.9259259
      pbinom(2, n, p)
      [1] 0.9953704
      pbinom(3, n, p)
      [1] 1
      [1] ""
      [1] ""
      ## Alle Werte der Verteilungsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:3
pbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.5787037 0.9259259 0.9953704 1.0000000
      ## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j:
n <- 3
p <- 1 / 6
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.015625
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.140625
      dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p)  
      [1] 0.15625

  1. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) 14 38 54 56 69 83
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.07 0.09 0.18 0.24 0.08 0.35

    Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) 14 38 54 56 69 83
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.07 0.16 0.34 0.57 0.65 1

  2. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilungsfunktion:

    \(x_{j}\) -9 -7 -1 16 28 58 67
    \(F\left( x_{j} \right)\) 0.23 0.23 0.26 0.77 0.97 0.97 1

    Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Tabelle an.

    \(x_{j}\) -9 -7 -1 16 28 58 67
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.23 0 0.02 0.51 0.2 0.01 0.03

  3. Sei \(X\) eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsfunktion:

    \(x_{j}\) -3 -1 0 1
    \(f\left( x_{j} \right)\) 0.26 0.37 0.09 0.29

    1. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).

      \[\begin{align*} E(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{x_{j} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 \cdot 0.26 ) + ( -1 \cdot 0.37 ) + ( 0 \cdot 0.09 ) + ( 1 \cdot 0.29 ) \\ &= -0.86 \end{align*}\]

    2. Berechnen Sie die Varianz von \(X\).

      \[\begin{align*} Var(X) &= \sum_{j = 1}^{m}{( x_{j} - E(X) )^{2} \cdot f( x_{j} )} \\ &= ( -3 - ( -0.86 ) )^2 \cdot 0.26 + ( -1 - ( -0.86 ) )^2 \cdot 0.37 + ( 0 - ( -0.86 ) )^2 \cdot 0.09 + ( 1 - ( -0.86 ) )^2 \cdot 0.29 \\ &\approx 2.27 \end{align*}\]

  1. Sie ziehen aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten (mit jeweils 13 Karten in den vier Farben Herz, Karo, Kreuz und Pik) zufällig 3 Karten mit Zurücklegen (d.h. Sie mischen alle 52 Karten erneut, bevor Sie die nächste Karte ziehen). Hierbei nehmen die Bernoulli-Variablen \(X_{i}\) für i = 1, 2, 3 jeweils den Wert 1 an, falls Sie im i-ten Zug die Farbe Herz ziehen, und den Wert 0, falls nicht. Die Zufallsvariable \(X\) steht für die Anzahl an gezogenen Herz-Karten, also \(X = X_{1} + X_{2} + X_{3}\).

    1. Geben Sie den Träger \(T_{X_{1}}\) von \(X_{1}\) an.

      \[T_{X_{1}} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]

    2. Benennen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{1}\) eindeutig und geben Sie die Verteilung zusätzlich in Form einer Tabelle an.

      \(X_{1}\) folgt einer Bernoulli-Verteilung mit \(\pi = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) , also

      \[X_{1}\ \sim\ Be\left( \frac{1}{4} \right)\]

      \[A_{X_{1}}\] \[\{\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[T_{X_{1}}\]
      \[P_{X_{1}}\left( A_{X_{1}} \right)\] 0 \[\frac{3}{4}\] \[\frac{1}{4}\] 1

    3. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X_{1}\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{1 - x_{j}} = \left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{1 - x_{j}}\]

    4. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X_{1}\).

      \[E\left( X_{1} \right) = \pi = \frac{1}{4}\]

      \[Var\left( X_{1} \right) = \pi(1 - \pi) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16} \approx 0.1875\]

      \[SD\left( X_{1} \right) = \sqrt{Var\left( X_{1} \right)} = \sqrt{\frac{3}{16}} \approx 0.4330127\]

    5. Geben Sie den Träger von \(X\) an.

      \[T_{X} = \left\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \right\}\]

    6. Benennen Sie Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) eindeutig.

      \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 3\) und \(\pi = \frac{1}{4}\) , also

      \[X\ \sim\ B\left( 3,\ \frac{1}{4} \right)\]

    7. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[f\left( x_{j} \right) = \binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}} = \binom{3}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - x_{j}}\]

    8. Geben Sie die Verteilungsfunktion von \(X\) in Form einer Gleichung an.

      \[F\left( x_{k} \right) = \sum_{j = 1}^{k}{f\left( x_{j} \right) =}\sum_{j = 1}^{k}{\binom{n}{x_{j}}\pi^{x_{j}}(1 - \pi)^{n - x_{j}}} = \sum_{j = 1}^{k}{\binom{3}{x_{j}}\left( \frac{1}{4} \right)^{x_{j}}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - x_{j}}}\]

    9. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von \(X\).

      \[E(X) = n\pi = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0.75\]

      \[Var(X) = n\pi(1 - \pi) = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \approx 0.5625\]

      \[SD(X) = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{9}{16}} \approx 0.75\]

    10. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

      1. Ereignis 1: Sie ziehen 3 Herz-Karten

        \[P(X = 3) = f(3) = \binom{3}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - 3} \approx 0.015625\]

      2. Ereignis 2: Sie ziehen 2 Herz-Karten

        \[P(X = 2) = f(2) = \binom{3}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{3 - 2} \approx 0.140625\]

      3. Ereignis 3: Sie ziehen mindestens 2 Herz-Karten

        \[\begin{align*} P(X \geq 2) &= f(2) + f(3) \\ &= \binom{3}{2}\left( \frac{1}{4} \right)^{2}\left( \frac{3}{4} \right)^{1} + \\ &\binom{3}{3}\left( \frac{1}{4} \right)^{3}\left( \frac{3}{4} \right)^{0} \\ \\ \\ &= 0.1406 + 0.0156 \\ &= 0.1562 \end{align*}\]

    11. In R können Sie sich die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion beliebiger binomialverteilter Zufallsvariablen ausgeben lassen.

      Wahrscheinlichkeitsfunktion:

      dbinom(x, n, pi)

      Verteilungsfunktion:

      pbinom(x, n , pi)

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j mithilfe dieser Funktionen in R.

      ## Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n=3 und p=1/4:
n <- 3
p <- 1 / 4
      dbinom(0, n, p)
      [1] 0.421875
      dbinom(1, n, p)
      [1] 0.421875
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.140625
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.015625
      [1] ""
      [1] ""
      ## Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:3
dbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.421875 0.421875 0.140625 0.015625
      ## Verteilungsfunktion der Binomialvereilung mit n=3 und p=1/4:
n <- 3
p <- 1 / 4
      pbinom(0, n, p)
      [1] 0.5787037
      pbinom(1, n, p)
      [1] 0.9259259
      pbinom(2, n, p)
      [1] 0.9953704
      pbinom(3, n, p)
      [1] 1
      [1] ""
      [1] ""
      ## Alle Werte der Verteilungsfunktion als Vektor:
x_j <- 0:3
pbinom(x_j, n, p)
      [1] 0.5787037 0.9259259 0.9953704 1.0000000
      ## Berechnung der Wahrscheinlichkeiten aus Teilaufgabe j:
n <- 3
p <- 1 / 6
      dbinom(3, n, p)
      [1] 0.015625
      dbinom(2, n, p)
      [1] 0.140625
      dbinom(2, n, p) + dbinom(3, n, p)  
      [1] 0.15625