| Person | Wert |
|---|---|
| 1 | 28 |
| 2 | 34 |
| 3 | 31 |
| 4 | 23 |
| 5 | 36 |
| 6 | 22 |
Übungsaufgaben
Intervallschätzung
Hinweis
Die hier veröffentlichten Übungsaufgaben sind brandneu und deshalb noch nicht auf Herz und Nieren überprüft. Sollten Sie Fehler entdecken, geben Sie uns bitte unbedingt eine Rückmeldung an philipp.sckopke(at)psy.lmu.de, damit wir so bald wie möglich eine verbesserte Version online stellen können.
Sie interessieren sich für den Mittelwert des Stresslevels in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 6 und bestimmen bei allen gezogenen Personen das Stresslevel:
Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\mu\) mit Konfidenzniveau 0.99 und interpretieren Sie dieses.
Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:qnorm(0.005)[1] -2.575829qnorm(0.99)[1] 2.326348qt(0.99, df = 5)[1] 3.36493
pt(0.995, df = 5)[1] 0.8172901pt(0.99, df = 5)[1] 0.8161835qnorm(0.995)[1] 2.575829
qt(0.995, df = 6)[1] 3.707428pnorm(0.995)[1] 0.8401319qt(0.995, df = 5)[1] 4.032143LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\mu\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), \(s^{2}\) und \(t_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 6\).
\[\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{28 + 34 + 31 + 23 + 36 + 22}{6} = 29\]
\[s^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \frac{1}{5}\left( (28 - 29)^{2} + (34 - 29)^{2} + \ldots + (22 - 29)^{2} \right) = 32.8\] \(1 - \alpha = 0.99\)
\(\alpha = 1 - 0.99 = 0.01\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.01}{2} = 0.005\] \[t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - 0.005} = t_{0.995}\] \(t_{0.995}\) ist der Wert, für den \(F\left( t_{0.995} \right) = 0.995\) ist.
Da die Zufallsvariable einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad \(\nu = n - 1 = 6 - 1 = 5\) folgt, benötigen wir die Funktion
qt(0.995, df = 5)
Das richtige Quantil ist somit 4.032143. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 4.03.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{6} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 29 - 4.03 \cdot \sqrt{\frac{32.8}{6}},29 + 4.03 \cdot \sqrt{\frac{32.8}{6}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 19.577,\ 38.423 \rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\mu\) und somit für das durchschnittliche Stresslevel in der Population liegen zwischen 19.577 und 38.423.
Sie interessieren sich für den Mittelwert des Einkommens in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 4 und bestimmen bei allen gezogenen Personen das Einkommen:
Person Wert 1 3053 2 2277 3 2438 4 3626 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\mu\) mit Konfidenzniveau 0.99 und interpretieren Sie dieses.
Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:qnorm(0.005)[1] -2.575829qt(0.995, df = 3)[1] 5.840909qnorm(0.99)[1] 2.326348
qt(0.99, df = 3)[1] 4.540703pt(0.99, df = 3)[1] 0.8024211qnorm(0.995)[1] 2.575829
pt(0.995, df = 3)[1] 0.8034626qt(0.995, df = 4)[1] 4.604095pnorm(0.995)[1] 0.8401319LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\mu\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), \(s^{2}\) und \(t_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 4\).
\[\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{3053 + 2277 + 2438 + 3626 }{4} = 2848.5\]
\[s^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \frac{1}{3}\left( (3053 - 2848.5)^{2} + (2277 - 2848.5)^{2} + \ldots + (3626 - 2848.5)^{2} \right) = 3.80483\times 10^{5}\] \(1 - \alpha = 0.99\)
\(\alpha = 1 - 0.99 = 0.01\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.01}{2} = 0.005\] \[t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - 0.005} = t_{0.995}\] \(t_{0.995}\) ist der Wert, für den \(F\left( t_{0.995} \right) = 0.995\) ist.
Da die Zufallsvariable einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad \(\nu = n - 1 = 4 - 1 = 3\) folgt, benötigen wir die Funktion
qt(0.995, df = 3)
Das richtige Quantil ist somit 5.8409093. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 5.84.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{4} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 2848.5 - 5.84 \cdot \sqrt{\frac{3.80483\times 10^{5}}{4}},2848.5 + 5.84 \cdot \sqrt{\frac{3.80483\times 10^{5}}{4}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 1047.348,\ 4649.652 \rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\mu\) und somit für das durchschnittliche Einkommen in der Population liegen zwischen 1047.348 und 4649.652.
Sie interessieren sich für den Mittelwert des Alters in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 6 und bestimmen bei allen gezogenen Personen das Alter:
Person Wert 1 20 2 27 3 32 4 36 5 28 6 48 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\mu\) mit Konfidenzniveau 0.98 und interpretieren Sie dieses.
Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:pt(0.98, df = 5)[1] 0.8139536qnorm(0.98)[1] 2.053749qnorm(0.99)[1] 2.326348
qt(0.98, df = 5)[1] 2.756509qt(0.99, df = 6)[1] 3.142668pt(0.99, df = 5)[1] 0.8161835
pnorm(0.99)[1] 0.8389129qt(0.99, df = 5)[1] 3.36493qnorm(0.01)[1] -2.326348LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\mu\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), \(s^{2}\) und \(t_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 6\).
\[\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{20 + 27 + 32 + 36 + 28 + 48}{6} = 31.833\]
\[s^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \frac{1}{5}\left( (20 - 31.833)^{2} + (27 - 31.833)^{2} + \ldots + (48 - 31.833)^{2} \right) = 91.367\] \(1 - \alpha = 0.98\)
\(\alpha = 1 - 0.98 = 0.02\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.02}{2} = 0.01\] \[t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - 0.01} = t_{0.99}\] \(t_{0.99}\) ist der Wert, für den \(F\left( t_{0.99} \right) = 0.99\) ist.
Da die Zufallsvariable einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad \(\nu = n - 1 = 6 - 1 = 5\) folgt, benötigen wir die Funktion
qt(0.99, df = 5)
Das richtige Quantil ist somit 3.36493. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 3.36.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{6} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 31.833 - 3.36 \cdot \sqrt{\frac{91.367}{6}},31.833 + 3.36 \cdot \sqrt{\frac{91.367}{6}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 18.721,\ 44.945 \rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\mu\) und somit für das durchschnittliche Alter in der Population liegen zwischen 18.721 und 44.945.
Sie interessieren sich für den Mittelwert des Gewichts in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 6 und bestimmen bei allen gezogenen Personen das Gewicht:
Person Wert 1 72 2 64 3 66 4 70 5 71 6 73 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\mu\) mit Konfidenzniveau 0.95 und interpretieren Sie dieses.
Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:qt(0.95, df = 5)[1] 2.015048qt(0.975, df = 6)[1] 2.446912qnorm(0.95)[1] 1.644854
pt(0.975, df = 5)[1] 0.8128304pt(0.95, df = 5)[1] 0.8071313qnorm(0.975)[1] 1.959964
qnorm(0.025)[1] -1.959964qt(0.975, df = 5)[1] 2.570582pnorm(0.975)[1] 0.8352199LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\mu\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), \(s^{2}\) und \(t_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 6\).
\[\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{72 + 64 + 66 + 70 + 71 + 73}{6} = 69.333\]
\[s^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \frac{1}{5}\left( (72 - 69.333)^{2} + (64 - 69.333)^{2} + \ldots + (73 - 69.333)^{2} \right) = 12.667\] \(1 - \alpha = 0.95\)
\(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.05}{2} = 0.025\] \[t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - 0.025} = t_{0.975}\] \(t_{0.975}\) ist der Wert, für den \(F\left( t_{0.975} \right) = 0.975\) ist.
Da die Zufallsvariable einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad \(\nu = n - 1 = 6 - 1 = 5\) folgt, benötigen wir die Funktion
qt(0.975, df = 5)
Das richtige Quantil ist somit 2.5705818. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 2.57.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{6} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 69.333 - 2.57 \cdot \sqrt{\frac{12.667}{6}},69.333 + 2.57 \cdot \sqrt{\frac{12.667}{6}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 65.599,\ 73.067 \rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\mu\) und somit für das durchschnittliche Gewicht in der Population liegen zwischen 65.599 und 73.067.
Sie interessieren sich für die relative Häufigkeit von Depressionen in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 161. In dieser Stichprobe leiden 36 Personen an einer Depression. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\pi\) mit Konfidenzniveau 0.995 und interpretieren Sie dieses. Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:
qnorm(0.995)[1] 2.575829qnorm(0.0025)[1] -2.807034pnorm(0.0025)[1] 0.5009974
qt(0.9975, df = 161)[1] 2.846238qnorm(0.9975)[1] 2.807034qt(0.9975, df = 160)[1] 2.846486
qt(0.995, df = 160)[1] 2.606906pnorm(0.9975)[1] 0.8407391pnorm(0.995)[1] 0.8401319LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\pi\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), und \(z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 161\).
\[\overline{x} = h(1) = \frac{36}{161} = 0.224\]
\(1 - \alpha = 0.995\)
\(\alpha = 1 - 0.995 = 0.005\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.005}{2} = 0.0025\]
\[z_{1 - \frac{\alpha}{2}} = z_{1 - 0.0025} = z_{0.9975}\]
\(z_{0.9975}\) ist der Wert, für den \(F\left( z_{0.9975} \right) = 0.9975\) ist.
Da z approximativ einer Standardnormalverteilung folgt, benötigen wir den Output der Funktion
qnorm(0.9975)
Das richtige Quantil ist somit 2.8070338. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 2.81.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{161} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 0.224 - 2.81 \cdot \sqrt{\frac{0.224(1 - 0.224)}{161}},0.224 + 2.81 \cdot \sqrt{\frac{0.224(1 - 0.224)}{161}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 0.132,\ 0.316\rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\pi\) und somit für die relative Häufigkeit von Depressionen in der Population liegen zwischen 13.2% und 31.6%.
Sie interessieren sich für die relative Häufigkeit von Angststörungen in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 222. In dieser Stichprobe leiden 95 Personen an einer Angststörung. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\pi\) mit Konfidenzniveau 0.995 und interpretieren Sie dieses. Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:
pnorm(0.0025)[1] 0.5009974qnorm(0.0025)[1] -2.807034qt(0.995, df = 221)[1] 2.598258
qnorm(0.995)[1] 2.575829qt(0.9975, df = 221)[1] 2.835494qt(0.9975, df = 222)[1] 2.835365
qnorm(0.9975)[1] 2.807034pnorm(0.9975)[1] 0.8407391pnorm(0.995)[1] 0.8401319LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\pi\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), und \(z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 222\).
\[\overline{x} = h(1) = \frac{95}{222} = 0.428\]
\(1 - \alpha = 0.995\)
\(\alpha = 1 - 0.995 = 0.005\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.005}{2} = 0.0025\]
\[z_{1 - \frac{\alpha}{2}} = z_{1 - 0.0025} = z_{0.9975}\]
\(z_{0.9975}\) ist der Wert, für den \(F\left( z_{0.9975} \right) = 0.9975\) ist.
Da z approximativ einer Standardnormalverteilung folgt, benötigen wir den Output der Funktion
qnorm(0.9975)
Das richtige Quantil ist somit 2.8070338. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 2.81.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{222} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 0.428 - 2.81 \cdot \sqrt{\frac{0.428(1 - 0.428)}{222}},0.428 + 2.81 \cdot \sqrt{\frac{0.428(1 - 0.428)}{222}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 0.335,\ 0.521\rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\pi\) und somit für die relative Häufigkeit von Angststörungen in der Population liegen zwischen 33.5% und 52.1%.
Sie interessieren sich für die relative Häufigkeit von Herzerkrankungen in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 370. In dieser Stichprobe leiden 82 Personen an einer Herzerkrankung. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\pi\) mit Konfidenzniveau 0.9 und interpretieren Sie dieses. Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:
qt(0.95, df = 369)[1] 1.648994pnorm(0.9)[1] 0.8159399qnorm(0.95)[1] 1.644854
qt(0.9, df = 369)[1] 1.28385pnorm(0.05)[1] 0.5199388qnorm(0.9)[1] 1.281552
pnorm(0.95)[1] 0.8289439qt(0.95, df = 370)[1] 1.648982qnorm(0.05)[1] -1.644854LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\pi\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), und \(z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 370\).
\[\overline{x} = h(1) = \frac{82}{370} = 0.222\]
\(1 - \alpha = 0.9\)
\(\alpha = 1 - 0.9 = 0.1\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05\]
\[z_{1 - \frac{\alpha}{2}} = z_{1 - 0.05} = z_{0.95}\]
\(z_{0.95}\) ist der Wert, für den \(F\left( z_{0.95} \right) = 0.95\) ist.
Da z approximativ einer Standardnormalverteilung folgt, benötigen wir den Output der Funktion
qnorm(0.95)
Das richtige Quantil ist somit 1.6448536. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 1.64.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{370} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 0.222 - 1.64 \cdot \sqrt{\frac{0.222(1 - 0.222)}{370}},0.222 + 1.64 \cdot \sqrt{\frac{0.222(1 - 0.222)}{370}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 0.187,\ 0.257\rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\pi\) und somit für die relative Häufigkeit von Herzerkrankungen in der Population liegen zwischen 18.7% und 25.7%.
Sie interessieren sich für die relative Häufigkeit von Alkoholvergiftungen in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 197. In dieser Stichprobe leiden 30 Personen an einer Alkoholvergiftung. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\pi\) mit Konfidenzniveau 0.9 und interpretieren Sie dieses. Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:
pnorm(0.05)[1] 0.5199388pnorm(0.9)[1] 0.8159399qt(0.95, df = 196)[1] 1.652665
qnorm(0.05)[1] -1.644854qnorm(0.9)[1] 1.281552pnorm(0.95)[1] 0.8289439
qnorm(0.95)[1] 1.644854qt(0.95, df = 197)[1] 1.652625qt(0.9, df = 196)[1] 1.285886LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\pi\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), und \(z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 197\).
\[\overline{x} = h(1) = \frac{30}{197} = 0.152\]
\(1 - \alpha = 0.9\)
\(\alpha = 1 - 0.9 = 0.1\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05\]
\[z_{1 - \frac{\alpha}{2}} = z_{1 - 0.05} = z_{0.95}\]
\(z_{0.95}\) ist der Wert, für den \(F\left( z_{0.95} \right) = 0.95\) ist.
Da z approximativ einer Standardnormalverteilung folgt, benötigen wir den Output der Funktion
qnorm(0.95)
Das richtige Quantil ist somit 1.6448536. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 1.64.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{197} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 0.152 - 1.64 \cdot \sqrt{\frac{0.152(1 - 0.152)}{197}},0.152 + 1.64 \cdot \sqrt{\frac{0.152(1 - 0.152)}{197}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 0.11,\ 0.194\rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\pi\) und somit für die relative Häufigkeit von Alkoholvergiftungen in der Population liegen zwischen 11% und 19.4%.