| Person | Wert |
|---|---|
| 1 | 40 |
| 2 | 36 |
| 3 | 28 |
| 4 | 29 |
| 5 | 36 |
| 6 | 26 |
Weitere Übungsaufgaben 8
Intervallschätzung
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Die hier veröffentlichten Übungsaufgaben sind brandneu und deshalb noch nicht auf Herz und Nieren überprüft. Sollten Sie Fehler entdecken, geben Sie uns bitte unbedingt eine Rückmeldung an philipp.sckopke(at)psy.lmu.de, damit wir so bald wie möglich eine verbesserte Version online stellen können.
Sie interessieren sich für den Mittelwert des Stresslevels in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 6 und bestimmen bei allen gezogenen Personen das Stresslevel:
Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\mu\) mit Konfidenzniveau 0.98 und interpretieren Sie dieses.
Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:qt(0.98, df = 5)[1] 2.756509qt(0.99, df = 6)[1] 3.142668pt(0.98, df = 5)[1] 0.8139536
qnorm(0.01)[1] -2.326348qnorm(0.99)[1] 2.326348qnorm(0.98)[1] 2.053749
qt(0.99, df = 5)[1] 3.36493pt(0.99, df = 5)[1] 0.8161835pnorm(0.99)[1] 0.8389129LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\mu\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), \(s^{2}\) und \(t_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 6\).
\[\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{40 + 36 + 28 + 29 + 36 + 26}{6} = 32.5\]
\[s^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \frac{1}{5}\left( (40 - 32.5)^{2} + (36 - 32.5)^{2} + \ldots + (26 - 32.5)^{2} \right) = 31.1\] \(1 - \alpha = 0.98\)
\(\alpha = 1 - 0.98 = 0.02\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.02}{2} = 0.01\] \[t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - 0.01} = t_{0.99}\] \(t_{0.99}\) ist der Wert, für den \(F\left( t_{0.99} \right) = 0.99\) ist.
Da die Zufallsvariable einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad \(\nu = n - 1 = 6 - 1 = 5\) folgt, benötigen wir die Funktion
qt(0.99, df = 5)
Das richtige Quantil ist somit 3.36493. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 3.36.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{6} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 32.5 - 3.36 \cdot \sqrt{\frac{31.1}{6}},32.5 + 3.36 \cdot \sqrt{\frac{31.1}{6}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 24.85,\ 40.15 \rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\mu\) und somit für das durchschnittliche Stresslevel in der Population liegen zwischen 24.85 und 40.15.
Sie interessieren sich für den Mittelwert des Einkommens in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 4 und bestimmen bei allen gezogenen Personen das Einkommen:
Person Wert 1 3868 2 3680 3 2927 4 3967 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\mu\) mit Konfidenzniveau 0.96 und interpretieren Sie dieses.
Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:qnorm(0.02)[1] -2.053749qnorm(0.96)[1] 1.750686qnorm(0.98)[1] 2.053749
qt(0.98, df = 4)[1] 2.998528qt(0.98, df = 3)[1] 3.481909pnorm(0.98)[1] 0.8364569
pt(0.98, df = 3)[1] 0.8003224pt(0.96, df = 3)[1] 0.7960625qt(0.96, df = 3)[1] 2.605427LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\mu\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), \(s^{2}\) und \(t_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 4\).
\[\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{3868 + 3680 + 2927 + 3967 }{4} = 3610.5\]
\[s^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \frac{1}{3}\left( (3868 - 3610.5)^{2} + (3680 - 3610.5)^{2} + \ldots + (3967 - 3610.5)^{2} \right) = 2.2180033\times 10^{5}\] \(1 - \alpha = 0.96\)
\(\alpha = 1 - 0.96 = 0.04\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.04}{2} = 0.02\] \[t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - 0.02} = t_{0.98}\] \(t_{0.98}\) ist der Wert, für den \(F\left( t_{0.98} \right) = 0.98\) ist.
Da die Zufallsvariable einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad \(\nu = n - 1 = 4 - 1 = 3\) folgt, benötigen wir die Funktion
qt(0.98, df = 3)
Das richtige Quantil ist somit 3.4819088. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 3.48.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{4} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 3610.5 - 3.48 \cdot \sqrt{\frac{2.2180033\times 10^{5}}{4}},3610.5 + 3.48 \cdot \sqrt{\frac{2.2180033\times 10^{5}}{4}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 2791.035,\ 4429.965 \rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\mu\) und somit für das durchschnittliche Einkommen in der Population liegen zwischen 2791.035 und 4429.965.
Sie interessieren sich für den Mittelwert des Alters in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 5 und bestimmen bei allen gezogenen Personen das Alter:
Person Wert 1 36 2 49 3 22 4 20 5 43 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\mu\) mit Konfidenzniveau 0.96 und interpretieren Sie dieses.
Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:pnorm(0.98)[1] 0.8364569qt(0.98, df = 4)[1] 2.998528pt(0.96, df = 4)[1] 0.8042904
pt(0.98, df = 4)[1] 0.8087132qt(0.98, df = 5)[1] 2.756509qnorm(0.98)[1] 2.053749
qnorm(0.02)[1] -2.053749qt(0.96, df = 4)[1] 2.332873qnorm(0.96)[1] 1.750686LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\mu\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), \(s^{2}\) und \(t_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 5\).
\[\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{36 + 49 + 22 + 20 + 43 }{5} = 34\]
\[s^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \frac{1}{4}\left( (36 - 34)^{2} + (49 - 34)^{2} + \ldots + (43 - 34)^{2} \right) = 162.5\] \(1 - \alpha = 0.96\)
\(\alpha = 1 - 0.96 = 0.04\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.04}{2} = 0.02\] \[t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - 0.02} = t_{0.98}\] \(t_{0.98}\) ist der Wert, für den \(F\left( t_{0.98} \right) = 0.98\) ist.
Da die Zufallsvariable einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad \(\nu = n - 1 = 5 - 1 = 4\) folgt, benötigen wir die Funktion
qt(0.98, df = 4)
Das richtige Quantil ist somit 2.9985279. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 3.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{5} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 34 - 3 \cdot \sqrt{\frac{162.5}{5}},34 + 3 \cdot \sqrt{\frac{162.5}{5}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 16.897,\ 51.103 \rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\mu\) und somit für das durchschnittliche Alter in der Population liegen zwischen 16.897 und 51.103.
Sie interessieren sich für den Mittelwert des Gewichts in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 5 und bestimmen bei allen gezogenen Personen das Gewicht:
Person Wert 1 64 2 70 3 62 4 73 5 60 Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\mu\) mit Konfidenzniveau 0.97 und interpretieren Sie dieses.
Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:qt(0.985, df = 4)[1] 3.29763qt(0.97, df = 4)[1] 2.600762pt(0.97, df = 4)[1] 0.8065127
pnorm(0.985)[1] 0.837688pt(0.985, df = 4)[1] 0.8098054qnorm(0.97)[1] 1.880794
qnorm(0.985)[1] 2.17009qt(0.985, df = 5)[1] 3.002875qnorm(0.015)[1] -2.17009LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\mu\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), \(s^{2}\) und \(t_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 5\).
\[\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i} = \frac{64 + 70 + 62 + 73 + 60 }{5} = 65.8\]
\[s^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2} = \frac{1}{4}\left( (64 - 65.8)^{2} + (70 - 65.8)^{2} + \ldots + (60 - 65.8)^{2} \right) = 30.2\] \(1 - \alpha = 0.97\)
\(\alpha = 1 - 0.97 = 0.03\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.03}{2} = 0.015\] \[t_{1 - \frac{\alpha}{2}} = t_{1 - 0.015} = t_{0.985}\] \(t_{0.985}\) ist der Wert, für den \(F\left( t_{0.985} \right) = 0.985\) ist.
Da die Zufallsvariable einer t-Verteilung mit Freiheitsgrad \(\nu = n - 1 = 5 - 1 = 4\) folgt, benötigen wir die Funktion
qt(0.985, df = 4)
Das richtige Quantil ist somit 3.2976297. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 3.3.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{5} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}},\overline{x} + t_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{s^{2}}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 65.8 - 3.3 \cdot \sqrt{\frac{30.2}{5}},65.8 + 3.3 \cdot \sqrt{\frac{30.2}{5}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 57.69,\ 73.91 \rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\mu\) und somit für das durchschnittliche Gewicht in der Population liegen zwischen 57.69 und 73.91.
Sie interessieren sich für die relative Häufigkeit von Depressionen in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 311. In dieser Stichprobe leiden 43 Personen an einer Depression. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\pi\) mit Konfidenzniveau 0.95 und interpretieren Sie dieses. Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:
qnorm(0.95)[1] 1.644854pnorm(0.95)[1] 0.8289439qnorm(0.025)[1] -1.959964
qt(0.975, df = 310)[1] 1.967646pnorm(0.975)[1] 0.8352199qt(0.975, df = 311)[1] 1.967621
pnorm(0.025)[1] 0.5099725qnorm(0.975)[1] 1.959964qt(0.95, df = 310)[1] 1.649784LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\pi\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), und \(z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 311\).
\[\overline{x} = h(1) = \frac{43}{311} = 0.138\]
\(1 - \alpha = 0.95\)
\(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.05}{2} = 0.025\]
\[z_{1 - \frac{\alpha}{2}} = z_{1 - 0.025} = z_{0.975}\]
\(z_{0.975}\) ist der Wert, für den \(F\left( z_{0.975} \right) = 0.975\) ist.
Da z approximativ einer Standardnormalverteilung folgt, benötigen wir den Output der Funktion
qnorm(0.975)
Das richtige Quantil ist somit 1.959964. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 1.96.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{311} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 0.138 - 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.138(1 - 0.138)}{311}},0.138 + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.138(1 - 0.138)}{311}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 0.1,\ 0.176\rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\pi\) und somit für die relative Häufigkeit von Depressionen in der Population liegen zwischen 10% und 17.6%.
Sie interessieren sich für die relative Häufigkeit von Angststörungen in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 292. In dieser Stichprobe leiden 28 Personen an einer Angststörung. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\pi\) mit Konfidenzniveau 0.95 und interpretieren Sie dieses. Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:
qnorm(0.95)[1] 1.644854qnorm(0.025)[1] -1.959964qt(0.975, df = 291)[1] 1.96815
qt(0.95, df = 291)[1] 1.650107qt(0.975, df = 292)[1] 1.968121qnorm(0.975)[1] 1.959964
pnorm(0.025)[1] 0.5099725pnorm(0.95)[1] 0.8289439pnorm(0.975)[1] 0.8352199LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\pi\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), und \(z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 292\).
\[\overline{x} = h(1) = \frac{28}{292} = 0.096\]
\(1 - \alpha = 0.95\)
\(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.05}{2} = 0.025\]
\[z_{1 - \frac{\alpha}{2}} = z_{1 - 0.025} = z_{0.975}\]
\(z_{0.975}\) ist der Wert, für den \(F\left( z_{0.975} \right) = 0.975\) ist.
Da z approximativ einer Standardnormalverteilung folgt, benötigen wir den Output der Funktion
qnorm(0.975)
Das richtige Quantil ist somit 1.959964. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 1.96.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{292} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 0.096 - 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.096(1 - 0.096)}{292}},0.096 + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.096(1 - 0.096)}{292}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 0.062,\ 0.13\rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\pi\) und somit für die relative Häufigkeit von Angststörungen in der Population liegen zwischen 6.2% und 13%.
Sie interessieren sich für die relative Häufigkeit von Herzerkrankungen in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 276. In dieser Stichprobe leiden 59 Personen an einer Herzerkrankung. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\pi\) mit Konfidenzniveau 0.9 und interpretieren Sie dieses. Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:
pnorm(0.95)[1] 0.8289439qt(0.95, df = 275)[1] 1.650413qnorm(0.05)[1] -1.644854
qt(0.9, df = 275)[1] 1.284638pnorm(0.9)[1] 0.8159399pnorm(0.05)[1] 0.5199388
qnorm(0.95)[1] 1.644854qnorm(0.9)[1] 1.281552qt(0.95, df = 276)[1] 1.650393LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\pi\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), und \(z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 276\).
\[\overline{x} = h(1) = \frac{59}{276} = 0.214\]
\(1 - \alpha = 0.9\)
\(\alpha = 1 - 0.9 = 0.1\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05\]
\[z_{1 - \frac{\alpha}{2}} = z_{1 - 0.05} = z_{0.95}\]
\(z_{0.95}\) ist der Wert, für den \(F\left( z_{0.95} \right) = 0.95\) ist.
Da z approximativ einer Standardnormalverteilung folgt, benötigen wir den Output der Funktion
qnorm(0.95)
Das richtige Quantil ist somit 1.6448536. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 1.64.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{276} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 0.214 - 1.64 \cdot \sqrt{\frac{0.214(1 - 0.214)}{276}},0.214 + 1.64 \cdot \sqrt{\frac{0.214(1 - 0.214)}{276}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 0.174,\ 0.254\rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\pi\) und somit für die relative Häufigkeit von Herzerkrankungen in der Population liegen zwischen 17.4% und 25.4%.
Sie interessieren sich für die relative Häufigkeit von Alkoholvergiftungen in einer Population. Hierfür ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 206. In dieser Stichprobe leiden 67 Personen an einer Alkoholvergiftung. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Parameter \(\pi\) mit Konfidenzniveau 0.95 und interpretieren Sie dieses. Wählen Sie hierfür den richtigen R-Code aus:
qnorm(0.025)[1] -1.959964qnorm(0.975)[1] 1.959964qt(0.95, df = 205)[1] 1.652321
pnorm(0.95)[1] 0.8289439qnorm(0.95)[1] 1.644854qt(0.975, df = 206)[1] 1.971547
qt(0.975, df = 205)[1] 1.971603pnorm(0.975)[1] 0.8352199pnorm(0.025)[1] 0.5099725LösungFormel für das konkrete Konfidenzintervall für \(\pi\):
\[I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} \right) = \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack\]
Um dieses zu berechnen, benötigen wir \(n\), \(\overline{x}\), und \(z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\).
\(n\) ist die Größe der Stichprobe, daher: \(n = 206\).
\[\overline{x} = h(1) = \frac{67}{206} = 0.325\]
\(1 - \alpha = 0.95\)
\(\alpha = 1 - 0.95 = 0.05\)
\[\frac{\alpha}{2} = \frac{0.05}{2} = 0.025\]
\[z_{1 - \frac{\alpha}{2}} = z_{1 - 0.025} = z_{0.975}\]
\(z_{0.975}\) ist der Wert, für den \(F\left( z_{0.975} \right) = 0.975\) ist.
Da z approximativ einer Standardnormalverteilung folgt, benötigen wir den Output der Funktion
qnorm(0.975)
Das richtige Quantil ist somit 1.959964. Wir runden auf zwei Nachkommastellen und erhalten den Wert 1.96.
Einsetzen aller Werte in die Formel für das konkrete Konfidenzintervall:
\[\begin{align*} I\left( x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{206} \right) &= \left\lbrack \overline{x} - z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}},\overline{x} + z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\overline{x}\left( 1 - \overline{x} \right)}{n}} \right\rbrack \\ &= \left\lbrack 0.325 - 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.325(1 - 0.325)}{206}},0.325 + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.325(1 - 0.325)}{206}} \right\rbrack \\ &= \lbrack 0.261,\ 0.389\rbrack \end{align*}\]
Die plausiblen Werte für den Parameter \(\pi\) und somit für die relative Häufigkeit von Alkoholvergiftungen in der Population liegen zwischen 26.1% und 38.9%.