Übungsblatt 04

Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsfunktionen

  1. Füllen Sie die Lücken:

    1. Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments heißen __________.

      Die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments heißen Ergebnisse.

    2. Ereignisse sind ______, deren Elemente __________ sind.

      Ereignisse sind Mengen, deren Elemente Ergebnisse sind.

    3. Elementarereignisse sind Ereignisse, ______________________ enthalten.

      Elementarereignisse sind Ereignisse, die genau ein Ergebnis enthalten.

    4. Die _____________ ist die Menge aller möglichen Ergebnisse.

      Die Ergebnismenge ist die Menge aller möglichen Ergebnisse.

    5. Die _____________ ist die Menge aller möglichen Ereignisse.

      Die Ereignismenge ist die Menge aller möglichen Ereignisse.

    6. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem ________ eine __________________ zu.

      Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu.

    7. Eine Zufallsvariable ordnet jedem ________ eine ___________ zu.

      Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl zu.

    8. Die Elemente des Trägers einer Zufallsvariable werden _____________ genannt.

      Die Elemente des Trägers einer Zufallsvariable werden Realisationen genannt.

    9. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{X}\) einer Zufallsvariable ordnet jedem ________ der Zufallsvariable eine __________________ zu.

      Die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{X}\) einer Zufallsvariable ordnet jedem Ereignis der Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeit zu.

    10. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable ordnet jeder ___________ die __________________________________________________________ zu.

      Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable ordnet jeder Realisation die Wahrscheinlichkeit des entsprechenden Elementarereignisses zu.

    11. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{X}\) einer Zufallsvariable kann aus der dem Zufallsexperiment zugrunde liegenden _________________________________ berechnet werden.

      Die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{X}\) einer Zufallsvariable kann aus der dem Zufallsexperiment zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P\) berechnet werden.

    12. Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable kann die _________________ für jedes ________ der Zufallsvariable bestimmt werden und somit die gesamte _____________________________________ der Zufallsvariable.

      Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable kann die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis der Zufallsvariable bestimmt werden und somit die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{X}\) der Zufallsvariable.

  2. Sie betrachten eine Population, die aus den Personen Paula, Paul und Anna besteht. Aus dieser Population ziehen Sie zufällig eine Person.

    1. Geben Sie alle möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments an.

      Wenn eine Person aus dieser Population gezogen wird, heißt diese also entweder Paula, Paul oder Anna. Die möglichen Ergebnisse wären also Paula, Paul und Anna.

    2. Geben Sie die Ergebnismenge \(\Omega\) an.

      \[\Omega = \left\{ Paula,\ Paul,\ Anna \right\}\]

    3. Geben Sie die Ereignismenge \(\mathcal{A}\) an. Welche Ereignisse sind Elementarereignisse?

      In die Ereignismenge gehören alle Ereignisse, die sich aus der oben definierten Ergebnismenge \(\Omega\) ergeben. Denkbar wäre das Ereignis, dass wir nur Paul ziehen (\(A_1 = \{Paul\}\)) oder dass wir Paul nicht ziehen, dafür aber Anna oder Paula (\(A_2 = \{Anna, Paula\}\)). Sind nur wenige Elemente in \(\Omega\), können wir die Menge aller so denkbaren Ereignisse in der Ereignismenge immer noch übersichtlich aufschreiben. (Bei vielen oder gar unendlich vielen Elementen der Ergebnismenge ist das schnell unübersichtlich groß bzw. gleich ganz unmöglich.) \(\mathcal{A}\) ist so definiert, dass die leere Menge \(\{\}\) (“kein Ergebnis aus der Ergebnismenge tritt auf”) und die Ergebnismenge \(\Omega\) selbst (“irgendein Ergebnis aus der Ergebnismenge tritt auf”) immer enthalten sind:

      \[\mathcal{A =}\left\{ \{\},\left\{ Paula \right\},\ \left\{ Paul \right\},\ \left\{ Anna \right\},\ \left\{ Paula,\ Paul \right\},\ \left\{ Paula,\ Anna \right\},\ \left\{ Paul,\ Anna \right\},\Omega\ \right\}\]

      Elementarereignisse: \(\left\{ Paula \right\}\), \(\left\{ Paul \right\}\) und \(\left\{ Anna \right\}\)

    4. Geben Sie in Form einer Tabelle eine Zufallsvariable X an, die den Wert 1 annimmt, falls der Name der gezogenen Person mit P beginnt, und andernfalls den Wert 0.

      \[\omega\] \[Paula\] \[Paul\] \[Anna\]
      \[X(\omega)\] \[1\] \[1\] \[0\]

    5. Geben Sie den Träger \(T_{X}\) dieser Zufallsvariable an.

      Der Träger enthält (analog zu \(\Omega\) oben) die Werte (Ergebnisse), die die Zufallsvariable annehmen kann.

      \[T_{X} = \left\{ 0,\ 1 \right\}\]

    6. Ist X diskret oder stetig? Begründen Sie.

      Diskret, da der Träger von X endlich viele mögliche Realisationen enthält (0 und 1).

    7. Geben Sie die Ereignismenge \(\mathcal{A}_{X}\) der Zufallsvariable X an.

      So wie oben überlegen wir uns dafür alle Ereignisse, die wir uns ausgehend vom Träger \(T_X\) vorstellen können. Bei zwei Elementen im Träger sind das neben den beiden Elementarereignissen nur noch die leere Menge und der Träger selbst, die laut Definition von \(\mathcal{A}_{X}\) immer enthalten sind.

      \[\mathcal{A}_{X} = \left\{ \{\},\ \left\{ 0 \right\},\ \left\{ 1 \right\},T_{X}\ \right\}\]

    8. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion f von X in Form einer Tabelle an.

      \[f\left( x_{j} \right) = P\left( X = x_{j} \right) = P_{X}\left( \left\{ x_{j} \right\} \right)\]

      \[f\left( x_{1} \right) = P\left( X = x_{1} \right) = P_{X}\left( \left\{ x_{1} \right\} \right) = P_{X}\left( \left\{ 0 \right\} \right) = \frac{1}{3}\]

      \[f\left( x_{2} \right) = P\left( X = x_{2} \right) = P_{X}\left( \left\{ x_{2} \right\} \right) = P_{X}\left( \left\{ 1 \right\} \right) = \frac{2}{3}\]

      Also:

      \[x_{j}\] \[0\] \[1\]
      \[f\left( x_{j} \right)\] \[\frac{1}{3}\] \[\frac{2}{3}\].

  3. Sie werfen einen fairen sechsseitigen Würfel einmal. Die Zufallsvariable X stehe für die Anzahl der Augen auf der Seite, die nach dem Wurf oben landet.

    1. Geben Sie den Träger \(T_{X}\) von X an.

      \[T_{X} = \left\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \right\}\]

    2. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X an.

      Ein fairer Würfel ist deswegen fair, weil alle Seiten gleich wahrscheinlich sind. Bei sechs Seiten ergibt sich also für unsere Zufallsvariable (deren sechs Ergebnisse jeweils genau einer Seite zugeordnet sind):

      \(f\left( x_{j} \right) = \frac{1}{6}\) für alle \(x_{j}\)

    3. Geben Sie die folgenden Ereignisse jeweils als Menge an:

      • \(A_{X1}\): „Augenzahl 3”

      \[A_{X1} = \left\{ 3 \right\}\]

      • \(A_{X2}\): „Augenzahl 1, 2 oder 6”

      \[A_{X2} = \left\{ 1,\ 2,\ 6 \right\}\]

      • \(A_{X3}\): „ungerade Augenzahl”

      \[A_{X3} = \left\{ 1,\ 3,\ 5 \right\}\]

      • \(A_{X4}\): „Augenzahl größer oder gleich 2”

      \[A_{X4} = \left\{ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \right\}\]

      • \(A_{X5}\): „Augenzahl 2 oder Augenzahl größer als 4”

      \[A_{X5} = \left\{ 2,\ 5,\ 6 \right\}\]

    4. Interpretieren Sie die Aussage \(P_{X}\left( A_{X4} \right) = \frac{5}{6}\)
      (Hinweis: frequentistische Wahrscheinlichkeitsinterpretation).

      Wenn man den Würfel unendlich oft unter identischen Bedingungen werfen würde, würde in 5/6 der Fälle eine Augenzahl größer oder gleich 2 oben landen.

  4. Sie wollen an einem sportlichen Wettkampf teilnehmen, bei dem Sie die Plätze 1 bis 10 erreichen können.

    1. Erläutern Sie, warum Ihr Abschneiden bei diesem Wettkampf als Zufallsexperiment aufgefasst werden kann.

      1. es kann mehr als einen möglichen Ausgang geben (Platz 1 bis 10) und
      2. Sie wissen vorher nicht, auf welchem Platz Sie landen werden.

    2. Geben Sie die Ergebnismenge \(\Omega\) dieses Zufallsexperiments an.

      \[\Omega = \left\{ 1.Platz,\ 2.Platz,\ \ldots,\ 10.\ Platz \right\}\]

    3. Geben Sie das Ereignis A, dass Sie eine Gold-, Silber- oder Bronze-Medaille gewinnen, als Menge an.

      \[A = \left\{ 1.Platz,\ 2.Platz,\ 3.Platz \right\}\]

    4. Geben Sie in Form einer Tabelle eine Zufallsvariable X an, die den Wert 1 annimmt, falls Sie eine Medaille gewinnen, den Wert -1, falls Sie auf den letzten drei Plätzen landen und ansonsten den Wert 0.

      \[\omega\] \[1.Platz \] \[2.Platz \] \[3.Platz \] \[4.Platz \] \[5.Platz \] \[6.Platz \] \[7.Platz \] \[8.Platz \] \[9.Platz \] \[10.Platz \]
      \[X(\omega)\] \[1.\]. \[1 \] \[1 \] \[0 \] \[0 \] \[0 \] \[0 \] \[-1 \] \[-1 \] \[-1 \]

    5. Geben Sie den Träger \(T_{X}\) von X an.

      \[T_{X} = \left\{ - 1,\ 0,\ 1 \right\}\]

    6. Geben Sie die Ereignismenge \(\mathcal{A}_{X}\) von X an.

      \[\mathcal{A}_{X} = \left\{ \{\},\ \left\{ - 1 \right\},\ \left\{ 0 \right\},\ \left\{ 1 \right\},\ \left\{ - 1,\ 0 \right\},\ \left\{ - 1,\ 1 \right\},\ \{ 0,\ 1\},T_{X}\ \right\}\]

    7. Seien \(x_{1}\), \(x_{2}\) und \(x_{3}\) die aufsteigend der Größe nach geordneten möglichen Realisationen der Zufallsvariable X. Für die folgenden Berechnungen nehmen wir an, die Zufallsvariable X besitzt die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:

      \[f\left( x_{1} \right) = 0.97\] \[f\left( x_{2} \right) = 0.02\] \[f\left( x_{3} \right) = 0.01\]

      Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten aller möglicher Ereignisse von X in Form einer Tabelle an.

      \[x_{1} = - 1\] \[x_{2} = 0\] \[x_{3} = 1\]

      Allgemeine Formel:

      \[P_{X}\left( A_{X} \right) = \sum_{x_{j}\epsilon A_{X}}^{}{f\left( x_{j} \right)}\]

      In Worten: Die Wahrscheinlichkeit \(P_{X}\left( A_{X} \right)\) eines Ereignisses \(A_{X}\) entspricht der Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion aller Realisationen, die in \(A_{X}\) enthalten sind.

      Berechnung für alle Ereignisse:

      \[P_{X}\left( \{\} \right) = 0\] \[P_{X}\left( \left\{ - 1 \right\} \right) = f( - 1) = 0.97\] \[P_{X}\left( \left\{ 0 \right\} \right) = f(0) = 0.02\] \[P_{X}\left( \left\{ 1 \right\} \right) = f(1) = 0.01\] \[P_{X}\left( \left\{ - 1,\ 0 \right\} \right) = f( - 1) + f(0) = 0.97 + 0.02 = 0.99\] \[P_{X}\left( \left\{ - 1,\ 1 \right\} \right) = f( - 1) + f(1) = 0.97 + 0.01 = 0.98\] \[P_{X}\left( \left\{ 0,\ 1 \right\} \right) = f(0) + f(1) = 0.02 + 0.01 = 0.03\] \[P_{X}\left( \{ - 1,\ 0,\ 1\} \right) = f( - 1) + f(0) + f(1) = 0.97 + 0.02 + 0.01 = 1\]

      Also ergibt sich für alle möglichen Ereignisse die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

      \[A_{X}\] \[\{\}\] \[\left\{ - 1 \right\}\] \[\left\{ 0 \right\}\] \[\left\{ 1 \right\}\] \[\left\{ - 1,\ 0 \right\}\] \[\left\{ - 1,\ 1 \right\}\] \[\{ 0,\ 1\}\] \[\{ - 1,\ 0,\ 1\}\]
      \[P_{X}\left( A_{X} \right)\] \[0 \] \[0.97 \] \[0.02 \] \[0.01 \] \[0.99 \] \[0.98 \] \[0.03 \] \[1\]

    8. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Medaille gewinnen? Interpretieren Sie diese (Hinweis: frequentistische Wahrscheinlichkeitsinterpretation).

      \[P(X = 1) = 0.01\]

      Falls Sie unendlich oft unter identischen Bedingungen an dem Wettkampf teilnehmen würden, würden Sie in 1% der Fälle eine Medaille gewinnen.