Übungsaufgaben

Wiederholung von Statistik 1

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  1. Es sollen mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben mit \(n_{1} = n_{2} = 36\) die folgenden statistischen Hypothesen überprüft werden:

    \[H_{0}:\mu_{1} - \mu_{2} \leq 0\]

    \[H_{1}:\mu_{1} - \mu_{2} > 0\]

    Es liegen folgende Werte aus den Stichproben vor:

    \[{\bar{x}}_{1} = 98.93\ \ \ \ \ \ \ \ s_{1}^{2} = 39\]

    \[{\bar{x}}_{2} = 96.52\ \ \ \ \ \ \ \ s_{2}^{2} = 34\]

    1. Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik und ermitteln Sie den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\). Entscheiden Sie sich für die Nullhypothese oder für die Alternativhypothese?

      \[t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s_{pool}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{pool}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(98.93 - 96.52) - 0}{\sqrt{\frac{36.5}{36} + \frac{36.5}{36}}} = 1.69\]

      qt(1 - 0.005, df = 70)
      [1] 2.647905

      Da die Realisation der Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, entscheiden wir uns für die Nullhypothese.

    2. Berechnen Sie mit R den p-Wert der in Aufgabe a) berechneten Teststatistik und überprüfen Sie, ob Ihre Testentscheidung mit der in Aufgabe a) getroffenen Entscheidung übereinstimmt.

      1 - pt(1.69, df = 70)
      [1] 0.04773855

      Sollten Sie sich in a) für die Alternativhypothese entschieden haben, müsste der p-Wert nun kleiner als \(\alpha = 0.005\) sein.

     

  2. Ihnen liegt der folgende R-Output vor. Welche Testentscheidung treffen Sie bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\)?

    
    Two Sample t-test

data:  liegestuetz_1 and liegestuetz_2
t = 4.9838, df = 28, p-value = 2.899e-05
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.220745 5.320168
sample estimates:
mean of x mean of y 
 15.41071  11.64025

    Es handelt sich um einen t-Test für unabhängige Stichproben, der eingesetzt wurde, um ungerichtete Hypothesen zu überprüfen. Der mithilfe von R ermittelte \(p\)-Wert beträgt \(p\) = \(2.90 \times 10^{-5}\). Da p = \(2.90 \times 10^{-5}\) < 0.005 entscheiden wir uns für die Alternativhypothese.

  1. Es sollen mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben mit \(n_{1} = n_{2} = 39\) die folgenden statistischen Hypothesen überprüft werden:

    \[H_{0}:\mu_{1} - \mu_{2} = 0\]

    \[H_{1}:\mu_{1} - \mu_{2} \neq 0\]

    Es liegen folgende Werte aus den Stichproben vor:

    \[{\bar{x}}_{1} = 101.43\ \ \ \ \ \ \ \ s_{1}^{2} = 24\]

    \[{\bar{x}}_{2} = 93.62\ \ \ \ \ \ \ \ s_{2}^{2} = 19\]

    1. Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik und ermitteln Sie den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\). Entscheiden Sie sich für die Nullhypothese oder für die Alternativhypothese?

      \[t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s_{pool}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{pool}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(101.43 - 93.62) - 0}{\sqrt{\frac{21.5}{39} + \frac{21.5}{39}}} = 7.44\]

      qt(1 - 0.005 / 2, df = 76)
      [1] 2.891295

      Da die Realisation der Teststatistik größer als der kritische Wert ist, entscheiden wir uns für die Alternativhypothese.

    2. Berechnen Sie mit R den p-Wert der in Aufgabe a) berechneten Teststatistik und überprüfen Sie, ob Ihre Testentscheidung mit der in Aufgabe a) getroffenen Entscheidung übereinstimmt.

      2*(1 - pt(7.44, df = 76))
      [1] 1.289826e-10

      Sollten Sie sich in a) für die Alternativhypothese entschieden haben, müsste der p-Wert nun kleiner als \(\alpha = 0.005\) sein.

     

  2. Ihnen liegt der folgende R-Output vor. Welche Testentscheidung treffen Sie bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\)?

    
    Two Sample t-test

data:  liegestuetz_1 and liegestuetz_2
t = 8.9824, df = 28, p-value = 9.732e-10
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 6.117319 9.731620
sample estimates:
mean of x mean of y 
15.164355  7.239886

    Es handelt sich um einen t-Test für unabhängige Stichproben, der eingesetzt wurde, um ungerichtete Hypothesen zu überprüfen. Der mithilfe von R ermittelte \(p\)-Wert beträgt \(p\) = \(9.73 \times 10^{-10}\). Da p = \(9.73 \times 10^{-10}\) < 0.005 entscheiden wir uns für die Alternativhypothese.

  1. Es sollen mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben mit \(n_{1} = n_{2} = 32\) die folgenden statistischen Hypothesen überprüft werden:

    \[H_{0}:\mu_{1} - \mu_{2} \geq 0\]

    \[H_{1}:\mu_{1} - \mu_{2} < 0\]

    Es liegen folgende Werte aus den Stichproben vor:

    \[{\bar{x}}_{1} = 100.92\ \ \ \ \ \ \ \ s_{1}^{2} = 30\]

    \[{\bar{x}}_{2} = 108.54\ \ \ \ \ \ \ \ s_{2}^{2} = 41\]

    1. Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik und ermitteln Sie den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\). Entscheiden Sie sich für die Nullhypothese oder für die Alternativhypothese?

      \[t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s_{pool}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{pool}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(100.92 - 108.54) - 0}{\sqrt{\frac{35.5}{32} + \frac{35.5}{32}}} = -5.12\]

      qt(0.005, df = 62)
      [1] -2.657479

      Da die Realisation der Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, entscheiden wir uns für die Alternativhypothese.

    2. Berechnen Sie mit R den p-Wert der in Aufgabe a) berechneten Teststatistik und überprüfen Sie, ob Ihre Testentscheidung mit der in Aufgabe a) getroffenen Entscheidung übereinstimmt.

      pt(-5.12, df = 62)
      [1] 1.599789e-06

      Sollten Sie sich in a) für die Alternativhypothese entschieden haben, müsste der p-Wert nun kleiner als \(\alpha = 0.005\) sein.

     

  2. Ihnen liegt der folgende R-Output vor. Welche Testentscheidung treffen Sie bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\)?

    
    Two Sample t-test

data:  liegestuetz_1 and liegestuetz_2
t = 1.8679, df = 28, p-value = 0.07227
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.1455924  3.1595725
sample estimates:
mean of x mean of y 
 15.93954  14.43255

    Es handelt sich um einen t-Test für unabhängige Stichproben, der eingesetzt wurde, um ungerichtete Hypothesen zu überprüfen. Der mithilfe von R ermittelte \(p\)-Wert beträgt \(p\) = \(72.27 \times 10^{-3}\). Da p = \(72.27 \times 10^{-3}\) > 0.005 entscheiden wir uns für die Nullhypothese.

  1. Es sollen mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben mit \(n_{1} = n_{2} = 49\) die folgenden statistischen Hypothesen überprüft werden:

    \[H_{0}:\mu_{1} - \mu_{2} \leq 0\]

    \[H_{1}:\mu_{1} - \mu_{2} > 0\]

    Es liegen folgende Werte aus den Stichproben vor:

    \[{\bar{x}}_{1} = 100.09\ \ \ \ \ \ \ \ s_{1}^{2} = 10\]

    \[{\bar{x}}_{2} = 95.05\ \ \ \ \ \ \ \ s_{2}^{2} = 9\]

    1. Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik und ermitteln Sie den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\). Entscheiden Sie sich für die Nullhypothese oder für die Alternativhypothese?

      \[t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s_{pool}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{pool}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(100.09 - 95.05) - 0}{\sqrt{\frac{9.5}{49} + \frac{9.5}{49}}} = 8.09\]

      qt(1 - 0.005, df = 96)
      [1] 2.628016

      Da die Realisation der Teststatistik größer als der kritische Wert ist, entscheiden wir uns für die Alternativhypothese.

    2. Berechnen Sie mit R den p-Wert der in Aufgabe a) berechneten Teststatistik und überprüfen Sie, ob Ihre Testentscheidung mit der in Aufgabe a) getroffenen Entscheidung übereinstimmt.

      1 - pt(8.09, df = 96)
      [1] 9.15934e-13

      Sollten Sie sich in a) für die Alternativhypothese entschieden haben, müsste der p-Wert nun kleiner als \(\alpha = 0.005\) sein.

     

  2. Ihnen liegt der folgende R-Output vor. Welche Testentscheidung treffen Sie bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\)?

    
    Two Sample t-test

data:  liegestuetz_1 and liegestuetz_2
t = -2.2541, df = 28, p-value = 0.03221
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -2.9713169 -0.1420295
sample estimates:
mean of x mean of y 
 14.78880  16.34547

    Es handelt sich um einen t-Test für unabhängige Stichproben, der eingesetzt wurde, um ungerichtete Hypothesen zu überprüfen. Der mithilfe von R ermittelte \(p\)-Wert beträgt \(p\) = \(32.21 \times 10^{-3}\). Da p = \(32.21 \times 10^{-3}\) > 0.005 entscheiden wir uns für die Nullhypothese.

  1. Es sollen mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben mit \(n_{1} = n_{2} = 49\) die folgenden statistischen Hypothesen überprüft werden:

    \[H_{0}:\mu_{1} - \mu_{2} \geq 0\]

    \[H_{1}:\mu_{1} - \mu_{2} < 0\]

    Es liegen folgende Werte aus den Stichproben vor:

    \[{\bar{x}}_{1} = 100.31\ \ \ \ \ \ \ \ s_{1}^{2} = 20\]

    \[{\bar{x}}_{2} = 100.63\ \ \ \ \ \ \ \ s_{2}^{2} = 19\]

    1. Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik und ermitteln Sie den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\). Entscheiden Sie sich für die Nullhypothese oder für die Alternativhypothese?

      \[t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s_{pool}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{pool}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(100.31 - 100.63) - 0}{\sqrt{\frac{19.5}{49} + \frac{19.5}{49}}} = -0.36\]

      qt(0.005, df = 96)
      [1] -2.628016

      Da die Realisation der Teststatistik größer als der kritische Wert ist, entscheiden wir uns für die Nullhypothese.

    2. Berechnen Sie mit R den p-Wert der in Aufgabe a) berechneten Teststatistik und überprüfen Sie, ob Ihre Testentscheidung mit der in Aufgabe a) getroffenen Entscheidung übereinstimmt.

      pt(-0.36, df = 96)
      [1] 0.359819

      Sollten Sie sich in a) für die Alternativhypothese entschieden haben, müsste der p-Wert nun kleiner als \(\alpha = 0.005\) sein.

     

  2. Ihnen liegt der folgende R-Output vor. Welche Testentscheidung treffen Sie bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\)?

    
    Two Sample t-test

data:  liegestuetz_1 and liegestuetz_2
t = 5.6954, df = 28, p-value = 4.166e-06
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 2.471747 5.248345
sample estimates:
mean of x mean of y 
 15.04129  11.18124

    Es handelt sich um einen t-Test für unabhängige Stichproben, der eingesetzt wurde, um ungerichtete Hypothesen zu überprüfen. Der mithilfe von R ermittelte \(p\)-Wert beträgt \(p\) = \(4.17 \times 10^{-6}\). Da p = \(4.17 \times 10^{-6}\) < 0.005 entscheiden wir uns für die Alternativhypothese.

  1. Es sollen mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben mit \(n_{1} = n_{2} = 31\) die folgenden statistischen Hypothesen überprüft werden:

    \[H_{0}:\mu_{1} - \mu_{2} \leq 0\]

    \[H_{1}:\mu_{1} - \mu_{2} > 0\]

    Es liegen folgende Werte aus den Stichproben vor:

    \[{\bar{x}}_{1} = 101.14\ \ \ \ \ \ \ \ s_{1}^{2} = 38\]

    \[{\bar{x}}_{2} = 97.32\ \ \ \ \ \ \ \ s_{2}^{2} = 53\]

    1. Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik und ermitteln Sie den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\). Entscheiden Sie sich für die Nullhypothese oder für die Alternativhypothese?

      \[t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s_{pool}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{pool}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(101.14 - 97.32) - 0}{\sqrt{\frac{45.5}{31} + \frac{45.5}{31}}} = 2.23\]

      qt(1 - 0.005, df = 60)
      [1] 2.660283

      Da die Realisation der Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, entscheiden wir uns für die Nullhypothese.

    2. Berechnen Sie mit R den p-Wert der in Aufgabe a) berechneten Teststatistik und überprüfen Sie, ob Ihre Testentscheidung mit der in Aufgabe a) getroffenen Entscheidung übereinstimmt.

      1 - pt(2.23, df = 60)
      [1] 0.0147503

      Sollten Sie sich in a) für die Alternativhypothese entschieden haben, müsste der p-Wert nun kleiner als \(\alpha = 0.005\) sein.

     

  2. Ihnen liegt der folgende R-Output vor. Welche Testentscheidung treffen Sie bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\)?

    
    Two Sample t-test

data:  liegestuetz_1 and liegestuetz_2
t = -3.4153, df = 28, p-value = 0.001964
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -4.321028 -1.081012
sample estimates:
mean of x mean of y 
 15.20118  17.90220

    Es handelt sich um einen t-Test für unabhängige Stichproben, der eingesetzt wurde, um ungerichtete Hypothesen zu überprüfen. Der mithilfe von R ermittelte \(p\)-Wert beträgt \(p\) = \(1.964 \times 10^{-3}\). Da p = \(1.964 \times 10^{-3}\) < 0.005 entscheiden wir uns für die Alternativhypothese.

  1. Es sollen mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben mit \(n_{1} = n_{2} = 34\) die folgenden statistischen Hypothesen überprüft werden:

    \[H_{0}:\mu_{1} - \mu_{2} = 0\]

    \[H_{1}:\mu_{1} - \mu_{2} \neq 0\]

    Es liegen folgende Werte aus den Stichproben vor:

    \[{\bar{x}}_{1} = 100.46\ \ \ \ \ \ \ \ s_{1}^{2} = 30\]

    \[{\bar{x}}_{2} = 101.03\ \ \ \ \ \ \ \ s_{2}^{2} = 22\]

    1. Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik und ermitteln Sie den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\). Entscheiden Sie sich für die Nullhypothese oder für die Alternativhypothese?

      \[t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s_{pool}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{pool}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(100.46 - 101.03) - 0}{\sqrt{\frac{26}{34} + \frac{26}{34}}} = -0.46\]

      qt(0.005 / 2, df = 66)
      [1] -2.904468

      Da die Realisation der Teststatistik größer als der kritische Wert ist, entscheiden wir uns für die Nullhypothese.

    2. Berechnen Sie mit R den p-Wert der in Aufgabe a) berechneten Teststatistik und überprüfen Sie, ob Ihre Testentscheidung mit der in Aufgabe a) getroffenen Entscheidung übereinstimmt.

      2*(pt(-0.46, df = 66))
      [1] 0.6470281

      Sollten Sie sich in a) für die Alternativhypothese entschieden haben, müsste der p-Wert nun kleiner als \(\alpha = 0.005\) sein.

     

  2. Ihnen liegt der folgende R-Output vor. Welche Testentscheidung treffen Sie bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\)?

    
    Two Sample t-test

data:  liegestuetz_1 and liegestuetz_2
t = 0.11034, df = 28, p-value = 0.9129
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -1.235024  1.375647
sample estimates:
mean of x mean of y 
 14.98937  14.91906

    Es handelt sich um einen t-Test für unabhängige Stichproben, der eingesetzt wurde, um ungerichtete Hypothesen zu überprüfen. Der mithilfe von R ermittelte \(p\)-Wert beträgt \(p\) = \(0.9129\). Da p = \(0.9129\) > 0.005 entscheiden wir uns für die Nullhypothese.

  1. Es sollen mithilfe eines t-Tests für unabhängige Stichproben mit \(n_{1} = n_{2} = 51\) die folgenden statistischen Hypothesen überprüft werden:

    \[H_{0}:\mu_{1} - \mu_{2} \leq 0\]

    \[H_{1}:\mu_{1} - \mu_{2} > 0\]

    Es liegen folgende Werte aus den Stichproben vor:

    \[{\bar{x}}_{1} = 100.08\ \ \ \ \ \ \ \ s_{1}^{2} = 17\]

    \[{\bar{x}}_{2} = 99.03\ \ \ \ \ \ \ \ s_{2}^{2} = 11\]

    1. Berechnen Sie die Realisation der Teststatistik und ermitteln Sie den kritischen Wert für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\). Entscheiden Sie sich für die Nullhypothese oder für die Alternativhypothese?

      \[t = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - \mu_{0}}{\sqrt{\frac{s_{pool}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{pool}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(100.08 - 99.03) - 0}{\sqrt{\frac{14}{51} + \frac{14}{51}}} = 1.42\]

      qt(1 - 0.005, df = 100)
      [1] 2.625891

      Da die Realisation der Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, entscheiden wir uns für die Nullhypothese.

    2. Berechnen Sie mit R den p-Wert der in Aufgabe a) berechneten Teststatistik und überprüfen Sie, ob Ihre Testentscheidung mit der in Aufgabe a) getroffenen Entscheidung übereinstimmt.

      1 - pt(1.42, df = 100)
      [1] 0.07935891

      Sollten Sie sich in a) für die Alternativhypothese entschieden haben, müsste der p-Wert nun kleiner als \(\alpha = 0.005\) sein.

     

  2. Ihnen liegt der folgende R-Output vor. Welche Testentscheidung treffen Sie bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\)?

    
    Two Sample t-test

data:  liegestuetz_1 and liegestuetz_2
t = -3.6372, df = 28, p-value = 0.001101
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -5.230997 -1.461776
sample estimates:
mean of x mean of y 
 15.86323  19.20962

    Es handelt sich um einen t-Test für unabhängige Stichproben, der eingesetzt wurde, um ungerichtete Hypothesen zu überprüfen. Der mithilfe von R ermittelte \(p\)-Wert beträgt \(p\) = \(1.101 \times 10^{-3}\). Da p = \(1.101 \times 10^{-3}\) < 0.005 entscheiden wir uns für die Alternativhypothese.