Übungsaufgaben

Zusammengesetzte Hypothesentests

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  1. Sie untersuchen die (stetige) Extraversion von Studierenden der drei Fächer Psychologie, Chemie und Physik in Deutschland. Sie vermuten, dass im Fach Psychologie die durchschnittliche Extraversion in der Population höher ist als in mindestens einem der beiden naturwissenschaftlichen Fächer.

    1. Stellen Sie die zusammengesetzten statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} \leq 0\ \text{und}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} \leq 0\] \[H_{1}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} > 0\ \text{oder}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} > 0\]

    2. Bei der Überprüfung der einzelnen Hypothesen erhalten Sie folgende outputs.

      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and chemie
t = 4.655, df = 28, p-value = 3.561e-05
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.716205      Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 17.11430  14.40972 
      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and physik
t = 3.3692, df = 28, p-value = 0.001106
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.069361      Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 17.11430  14.95436

      Geben Sie die unkorrigierten p-Werte der einzelnen Hypothesentests an.

      \[p_{1} = 3.56 \times 10^{-5} \] \[p_{2} = 1.106 \times 10^{-3} \]

    3. Begründen Sie die Testentscheidung für die zusammengesetzten Hypothesen bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha^* = 0.005\) und interpretieren Sie das Ergebnis. Falls eine Korrektur notwendig ist, korrigieren Sie die p-Werte der einzelnen Hypothesentests.

      Eine Korrektur von \(\alpha\) oder der einzelnen \(p\)-Werte ist notwendig, da eine ‘oder’-Verknüpfung in der zusammengesetzten Alternativhypothese vorliegt.

      \[p_{1\ Bonferroni} = 3.56 \times 10^{-5} \cdot 2 = 7.12 \times 10^{-5} \] \[p_{2\ Bonferroni} = 1.106 \times 10^{-3} \cdot 2 = 2.211 \times 10^{-3} \]

      Da einer der beiden korrigierten p-Werte kleiner ist als \(\alpha = 0.005\), entscheiden wir uns für die zusammengesetzte Alternativhypothese.

  1. Sie untersuchen die (stetige) Extraversion von Studierenden der drei Fächer Psychologie, Chemie und Physik in Deutschland. Sie vermuten, dass im Fach Psychologie die durchschnittliche Extraversion in der Population höher ist als in mindestens einem der beiden naturwissenschaftlichen Fächer.

    1. Stellen Sie die zusammengesetzten statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} \leq 0\ \text{und}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} \leq 0\] \[H_{1}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} > 0\ \text{oder}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} > 0\]

    2. Bei der Überprüfung der einzelnen Hypothesen erhalten Sie folgende outputs.

      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and chemie
t = 1.5468, df = 28, p-value = 0.06657
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 -0.1257418        Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 16.16638  14.90642 
      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and physik
t = 2.1929, df = 28, p-value = 0.01839
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 0.3766865       Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 16.16638  14.48658

      Geben Sie die unkorrigierten p-Werte der einzelnen Hypothesentests an.

      \[p_{1} = 66.57 \times 10^{-3} \] \[p_{2} = 18.39 \times 10^{-3} \]

    3. Begründen Sie die Testentscheidung für die zusammengesetzten Hypothesen bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha^* = 0.005\) und interpretieren Sie das Ergebnis. Falls eine Korrektur notwendig ist, korrigieren Sie die p-Werte der einzelnen Hypothesentests.

      Eine Korrektur von \(\alpha\) oder der einzelnen \(p\)-Werte ist notwendig, da eine ‘oder’-Verknüpfung in der zusammengesetzten Alternativhypothese vorliegt.

      \[p_{1\ Bonferroni} = 66.57 \times 10^{-3} \cdot 2 = 0.1331 \] \[p_{2\ Bonferroni} = 18.39 \times 10^{-3} \cdot 2 = 36.79 \times 10^{-3} \]

      Keiner der beiden korrigierten p-Werte ist kleiner als \(\alpha = 0.005\). Damit entscheiden wir uns für die zusammengesetzte Nullhypothese.

  1. Sie untersuchen die (stetige) Extraversion von Studierenden der drei Fächer Psychologie, Chemie und Physik in Deutschland. Sie vermuten, dass im Fach Psychologie die durchschnittliche Extraversion in der Population höher ist als in jeweils beiden naturwissenschaftlichen Fächern.

    1. Stellen Sie die zusammengesetzten statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} \leq 0\ \text{oder}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} \leq 0\] \[H_{1}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} > 0\ \text{und}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} > 0\]

    2. Bei der Überprüfung der einzelnen Hypothesen erhalten Sie folgende outputs.

      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and chemie
t = 1.1686, df = 28, p-value = 0.1262
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 -0.4772142        Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 16.54002  15.49289 
      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and physik
t = 1.0745, df = 28, p-value = 0.1459
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 -0.5817389        Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 16.54002  15.54256

      Geben Sie die unkorrigierten p-Werte der einzelnen Hypothesentests an.

      \[p_{1} = 0.1262 \] \[p_{2} = 0.1459 \]

    3. Begründen Sie die Testentscheidung für die zusammengesetzten Hypothesen bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha^* = 0.005\) und interpretieren Sie das Ergebnis. Falls eine Korrektur notwendig ist, korrigieren Sie die p-Werte der einzelnen Hypothesentests.

      Eine Korrektur von \(\alpha\) oder der einzelnen \(p\)-Werte ist nicht notwendig, da eine ‘und’-Verknüpfung in der zusammengesetzten Alternativhypothese vorliegt.

      \[p_{1} = 0.1262 \] \[p_{2} = 0.1459 \]

      Einer der beiden unkorrigierten p-Werte ist größer als \(\alpha = 0.005\). Damit entscheiden wir uns für die zusammengesetzte Nullhypothese.

  1. Sie untersuchen die (stetige) Extraversion von Studierenden der drei Fächer Psychologie, Chemie und Physik in Deutschland. Sie vermuten, dass im Fach Psychologie die durchschnittliche Extraversion in der Population höher ist als in mindestens einem der beiden naturwissenschaftlichen Fächer.

    1. Stellen Sie die zusammengesetzten statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} \leq 0\ \text{und}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} \leq 0\] \[H_{1}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} > 0\ \text{oder}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} > 0\]

    2. Bei der Überprüfung der einzelnen Hypothesen erhalten Sie folgende outputs.

      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and chemie
t = 3.7528, df = 28, p-value = 0.0004059
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.207211      Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 16.89010  14.68196 
      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and physik
t = 2.5676, df = 28, p-value = 0.007935
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 0.5442653       Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 16.89010  15.27729

      Geben Sie die unkorrigierten p-Werte der einzelnen Hypothesentests an.

      \[p_{1} = 405.9 \times 10^{-6} \] \[p_{2} = 7.935 \times 10^{-3} \]

    3. Begründen Sie die Testentscheidung für die zusammengesetzten Hypothesen bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha^* = 0.005\) und interpretieren Sie das Ergebnis. Falls eine Korrektur notwendig ist, korrigieren Sie die p-Werte der einzelnen Hypothesentests.

      Eine Korrektur von \(\alpha\) oder der einzelnen \(p\)-Werte ist notwendig, da eine ‘oder’-Verknüpfung in der zusammengesetzten Alternativhypothese vorliegt.

      \[p_{1\ Bonferroni} = 405.9 \times 10^{-6} \cdot 2 = 811.9 \times 10^{-6} \] \[p_{2\ Bonferroni} = 7.935 \times 10^{-3} \cdot 2 = 15.87 \times 10^{-3} \]

      Da einer der beiden korrigierten p-Werte kleiner ist als \(\alpha = 0.005\), entscheiden wir uns für die zusammengesetzte Alternativhypothese.

  1. Sie untersuchen die (stetige) Extraversion von Studierenden der drei Fächer Psychologie, Chemie und Physik in Deutschland. Sie vermuten, dass im Fach Psychologie die durchschnittliche Extraversion in der Population höher ist als in jeweils beiden naturwissenschaftlichen Fächern.

    1. Stellen Sie die zusammengesetzten statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} \leq 0\ \text{oder}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} \leq 0\] \[H_{1}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} > 0\ \text{und}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} > 0\]

    2. Bei der Überprüfung der einzelnen Hypothesen erhalten Sie folgende outputs.

      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and chemie
t = 4.7138, df = 28, p-value = 3.032e-05
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.801944      Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 17.73516  14.91573 
      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and physik
t = 4.0331, df = 28, p-value = 0.0001923
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.763973      Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 17.73516  14.68438

      Geben Sie die unkorrigierten p-Werte der einzelnen Hypothesentests an.

      \[p_{1} = 3.03 \times 10^{-5} \] \[p_{2} = 192.3 \times 10^{-6} \]

    3. Begründen Sie die Testentscheidung für die zusammengesetzten Hypothesen bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha^* = 0.005\) und interpretieren Sie das Ergebnis. Falls eine Korrektur notwendig ist, korrigieren Sie die p-Werte der einzelnen Hypothesentests.

      Eine Korrektur von \(\alpha\) oder der einzelnen \(p\)-Werte ist nicht notwendig, da eine ‘und’-Verknüpfung in der zusammengesetzten Alternativhypothese vorliegt.

      \[p_{1} = 3.03 \times 10^{-5} \] \[p_{2} = 192.3 \times 10^{-6} \]

      Da beide unkorrigierten p-Werte kleiner als \(\alpha = 0.005\) sind, entscheiden wir uns für die zusammengesetzte Alternativhypothese.

  1. Sie untersuchen die (stetige) Extraversion von Studierenden der drei Fächer Psychologie, Chemie und Physik in Deutschland. Sie vermuten, dass im Fach Psychologie die durchschnittliche Extraversion in der Population höher ist als in jeweils beiden naturwissenschaftlichen Fächern.

    1. Stellen Sie die zusammengesetzten statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} \leq 0\ \text{oder}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} \leq 0\] \[H_{1}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} > 0\ \text{und}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} > 0\]

    2. Bei der Überprüfung der einzelnen Hypothesen erhalten Sie folgende outputs.

      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and chemie
t = 3.5101, df = 28, p-value = 0.0007678
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.352761      Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 17.45948  14.83460 
      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and physik
t = 3.9183, df = 28, p-value = 0.0002615
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.822001      Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 17.45948  14.23952

      Geben Sie die unkorrigierten p-Werte der einzelnen Hypothesentests an.

      \[p_{1} = 767.8 \times 10^{-6} \] \[p_{2} = 261.5 \times 10^{-6} \]

    3. Begründen Sie die Testentscheidung für die zusammengesetzten Hypothesen bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha^* = 0.005\) und interpretieren Sie das Ergebnis. Falls eine Korrektur notwendig ist, korrigieren Sie die p-Werte der einzelnen Hypothesentests.

      Eine Korrektur von \(\alpha\) oder der einzelnen \(p\)-Werte ist nicht notwendig, da eine ‘und’-Verknüpfung in der zusammengesetzten Alternativhypothese vorliegt.

      \[p_{1} = 767.8 \times 10^{-6} \] \[p_{2} = 261.5 \times 10^{-6} \]

      Da beide unkorrigierten p-Werte kleiner als \(\alpha = 0.005\) sind, entscheiden wir uns für die zusammengesetzte Alternativhypothese.

  1. Sie untersuchen die (stetige) Extraversion von Studierenden der drei Fächer Psychologie, Chemie und Physik in Deutschland. Sie vermuten, dass im Fach Psychologie die durchschnittliche Extraversion in der Population höher ist als in jeweils beiden naturwissenschaftlichen Fächern.

    1. Stellen Sie die zusammengesetzten statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} \leq 0\ \text{oder}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} \leq 0\] \[H_{1}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} > 0\ \text{und}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} > 0\]

    2. Bei der Überprüfung der einzelnen Hypothesen erhalten Sie folgende outputs.

      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and chemie
t = 4.2447, df = 28, p-value = 0.0001087
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 1.673192      Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 18.21885  15.42662 
      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and physik
t = 4.1439, df = 28, p-value = 0.0001427
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 2.207109      Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 18.21885  14.47474

      Geben Sie die unkorrigierten p-Werte der einzelnen Hypothesentests an.

      \[p_{1} = 108.7 \times 10^{-6} \] \[p_{2} = 142.7 \times 10^{-6} \]

    3. Begründen Sie die Testentscheidung für die zusammengesetzten Hypothesen bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha^* = 0.005\) und interpretieren Sie das Ergebnis. Falls eine Korrektur notwendig ist, korrigieren Sie die p-Werte der einzelnen Hypothesentests.

      Eine Korrektur von \(\alpha\) oder der einzelnen \(p\)-Werte ist nicht notwendig, da eine ‘und’-Verknüpfung in der zusammengesetzten Alternativhypothese vorliegt.

      \[p_{1} = 108.7 \times 10^{-6} \] \[p_{2} = 142.7 \times 10^{-6} \]

      Da beide unkorrigierten p-Werte kleiner als \(\alpha = 0.005\) sind, entscheiden wir uns für die zusammengesetzte Alternativhypothese.

  1. Sie untersuchen die (stetige) Extraversion von Studierenden der drei Fächer Psychologie, Chemie und Physik in Deutschland. Sie vermuten, dass im Fach Psychologie die durchschnittliche Extraversion in der Population höher ist als in jeweils beiden naturwissenschaftlichen Fächern.

    1. Stellen Sie die zusammengesetzten statistischen Hypothesen auf.

      \[H_{0}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} \leq 0\ \text{oder}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} \leq 0\] \[H_{1}:\ \mu_{Psy} - \mu_{Che} > 0\ \text{und}\ \mu_{Psy} - \mu_{Phy} > 0\]

    2. Bei der Überprüfung der einzelnen Hypothesen erhalten Sie folgende outputs.

      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and chemie
t = 2.2749, df = 28, p-value = 0.01538
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 0.3417669       Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 16.90639  15.55129 
      
 Two Sample t-test

data:  psychologie and physik
t = 2.9322, df = 28, p-value = 0.003319
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
 0.7113211       Inf
sample estimates:
mean of x mean of y 
 16.90639  15.21214

      Geben Sie die unkorrigierten p-Werte der einzelnen Hypothesentests an.

      \[p_{1} = 15.38 \times 10^{-3} \] \[p_{2} = 3.319 \times 10^{-3} \]

    3. Begründen Sie die Testentscheidung für die zusammengesetzten Hypothesen bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha^* = 0.005\) und interpretieren Sie das Ergebnis. Falls eine Korrektur notwendig ist, korrigieren Sie die p-Werte der einzelnen Hypothesentests.

      Eine Korrektur von \(\alpha\) oder der einzelnen \(p\)-Werte ist nicht notwendig, da eine ‘und’-Verknüpfung in der zusammengesetzten Alternativhypothese vorliegt.

      \[p_{1} = 15.38 \times 10^{-3} \] \[p_{2} = 3.319 \times 10^{-3} \]

      Einer der beiden unkorrigierten p-Werte ist größer als \(\alpha = 0.005\). Damit entscheiden wir uns für die zusammengesetzte Nullhypothese.

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[ \begin{align*} H_{0}&: H_{01} \text{ und } H_{02} \\ H_{1}&: H_{11} \text{ oder } H_{12} \end{align*} \]

    1. Gehen Sie zunächst davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) aufweisen. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

      Wir haben 2 einzelne Hypothesentests, daher ist \(N = 2\).

      \[\alpha^{*} = 1 - (1 - \alpha)^{2} = 1 - (1 - 0.005)^{2} = 1 - {0.995}^{2} \approx 9.97500 \times 10^{-3} \]

    2. Berechnen Sie das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests in R mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung dbinom().

      \(\alpha^{*}\) entspricht in diesem Beispiel der Wahrscheinlichkeit, dass sich eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n = 2 und \(\pi = \alpha = 0.005\) nicht in dem Wert 0 realisiert (d.h. bei mindestens einem der 2 voneinander unabhängigen Hypothesentests entscheiden wir uns für die H1, obwohl die entsprechende H0 gilt)

      1 - dbinom(0, size = 2, prob = 0.005)
      [1] 0.009975

    3. Wie groß müsste das Signifikanzniveau \(\alpha\) der einzelnen Tests sein, damit das Signifikanzniveau des zusammengesetzten Hypothesentests \(\alpha^{*} = 0.005\) ist?

      \[\alpha = 1 - \sqrt[N]{1 - \alpha^{*}} = 1 - \sqrt[2]{1 - 0.005} \approx 2.50313 \times 10^{-3} \]

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[ \begin{align*} H_{0}&: H_{01} \text{ und } H_{02} \text{ und } H_{03} \\ H_{1}&: H_{11} \text{ oder } H_{12} \text{ oder } H_{13} \end{align*} \]

    1. Gehen Sie zunächst davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) aufweisen. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

      Wir haben 3 einzelne Hypothesentests, daher ist \(N = 3\).

      \[\alpha^{*} = 1 - (1 - \alpha)^{3} = 1 - (1 - 0.005)^{3} = 1 - {0.995}^{3} \approx 14.9251 \times 10^{-3} \]

    2. Berechnen Sie das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests in R mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung dbinom().

      \(\alpha^{*}\) entspricht in diesem Beispiel der Wahrscheinlichkeit, dass sich eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n = 3 und \(\pi = \alpha = 0.005\) nicht in dem Wert 0 realisiert (d.h. bei mindestens einem der 3 voneinander unabhängigen Hypothesentests entscheiden wir uns für die H1, obwohl die entsprechende H0 gilt)

      1 - dbinom(0, size = 3, prob = 0.005)
      [1] 0.01492512

    3. Wie groß müsste das Signifikanzniveau \(\alpha\) der einzelnen Tests sein, damit das Signifikanzniveau des zusammengesetzten Hypothesentests \(\alpha^{*} = 0.005\) ist?

      \[\alpha = 1 - \sqrt[N]{1 - \alpha^{*}} = 1 - \sqrt[3]{1 - 0.005} \approx 1.66945 \times 10^{-3} \]

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[ \begin{align*} H_{0}&: H_{01} \text{ und } H_{02} \text{ und } H_{03} \text{ und } H_{04} \\ H_{1}&: H_{11} \text{ oder } H_{12} \text{ oder } H_{13} \text{ oder } H_{14} \end{align*} \]

    1. Gehen Sie zunächst davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) aufweisen. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

      Wir haben 4 einzelne Hypothesentests, daher ist \(N = 4\).

      \[\alpha^{*} = 1 - (1 - \alpha)^{4} = 1 - (1 - 0.005)^{4} = 1 - {0.995}^{4} \approx 19.8505 \times 10^{-3} \]

    2. Berechnen Sie das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests in R mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung dbinom().

      \(\alpha^{*}\) entspricht in diesem Beispiel der Wahrscheinlichkeit, dass sich eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n = 4 und \(\pi = \alpha = 0.005\) nicht in dem Wert 0 realisiert (d.h. bei mindestens einem der 4 voneinander unabhängigen Hypothesentests entscheiden wir uns für die H1, obwohl die entsprechende H0 gilt)

      1 - dbinom(0, size = 4, prob = 0.005)
      [1] 0.0198505

    3. Wie groß müsste das Signifikanzniveau \(\alpha\) der einzelnen Tests sein, damit das Signifikanzniveau des zusammengesetzten Hypothesentests \(\alpha^{*} = 0.005\) ist?

      \[\alpha = 1 - \sqrt[N]{1 - \alpha^{*}} = 1 - \sqrt[4]{1 - 0.005} \approx 1.25235 \times 10^{-3} \]

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[ \begin{align*} H_{0}&: H_{01} \text{ und } H_{02} \text{ und } H_{03} \text{ und } H_{04} \text{ und } H_{05} \\ H_{1}&: H_{11} \text{ oder } H_{12} \text{ oder } H_{13} \text{ oder } H_{14} \text{ oder } H_{15} \end{align*} \]

    1. Gehen Sie zunächst davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) aufweisen. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

      Wir haben 5 einzelne Hypothesentests, daher ist \(N = 5\).

      \[\alpha^{*} = 1 - (1 - \alpha)^{5} = 1 - (1 - 0.005)^{5} = 1 - {0.995}^{5} \approx 24.7512 \times 10^{-3} \]

    2. Berechnen Sie das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests in R mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung dbinom().

      \(\alpha^{*}\) entspricht in diesem Beispiel der Wahrscheinlichkeit, dass sich eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern n = 5 und \(\pi = \alpha = 0.005\) nicht in dem Wert 0 realisiert (d.h. bei mindestens einem der 5 voneinander unabhängigen Hypothesentests entscheiden wir uns für die H1, obwohl die entsprechende H0 gilt)

      1 - dbinom(0, size = 5, prob = 0.005)
      [1] 0.02475125

    3. Wie groß müsste das Signifikanzniveau \(\alpha\) der einzelnen Tests sein, damit das Signifikanzniveau des zusammengesetzten Hypothesentests \(\alpha^{*} = 0.005\) ist?

      \[\alpha = 1 - \sqrt[N]{1 - \alpha^{*}} = 1 - \sqrt[5]{1 - 0.005} \approx 1.00201 \times 10^{-3} \]

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[H_{0}:\ H_{01}\ oder\ H_{02}\ oder\ H_{03}\ oder\ H_{04}\] \[H_{1}:\ H_{11}\ und\ H_{12}\ und\ H_{13}\ und\ H_{14}\]

    Gehen Sie davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) sowie eine Power von \(1 - \beta = 0.8\) aufweisen. Gehen Sie weiterhin davon aus, dass \(H_{01}\) wahr, \(H_{02}\) wahr, \(H_{03}\) wahr und \(H_{04}\) falsch ist. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

    \[\alpha^{*} = {\alpha^{k} \cdot (1 - \beta)}^{N-k}\] dabei steht \(k\) für die Anzahl an wahren Nullhypothesen und \(N\) für die Gesamtanzahl an Hypothesen, also: \[ \begin{aligned} k = 3 \\ N = 4 \end{aligned} \]

    \[ \alpha^{*} = {0.005^{3} \cdot 0.8}^{4 - 3} = 1.00 \times 10^{-7} \]

    HinweisHinweis

    In der Praxis ist es trotz voneinander unabhängigen Hypothesentests, nicht einfach möglich, \(\alpha\) so festzulegen, dass \(\alpha^{*}\) exakt einem gewünschten Wert entspricht, da die Anzahl an wahren \(H_{0}\) unbekannt ist.

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[H_{0}:\ H_{01}\ oder\ H_{02}\ oder\ H_{03}\ oder\ H_{04}\] \[H_{1}:\ H_{11}\ und\ H_{12}\ und\ H_{13}\ und\ H_{14}\]

    Gehen Sie davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) sowie eine Power von \(1 - \beta = 0.8\) aufweisen. Gehen Sie weiterhin davon aus, dass \(H_{01}\) falsch, \(H_{02}\) falsch, \(H_{03}\) falsch und \(H_{04}\) falsch ist. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

    \[\alpha^{*} = {\alpha^{k} \cdot (1 - \beta)}^{N-k}\] dabei steht \(k\) für die Anzahl an wahren Nullhypothesen und \(N\) für die Gesamtanzahl an Hypothesen, also: \[ \begin{aligned} k = 0 \\ N = 4 \end{aligned} \]

    \[ \alpha^{*} = {0.005^{0} \cdot 0.8}^{4 - 0} = 0.410 \]

    HinweisHinweis

    In der Praxis ist es trotz voneinander unabhängigen Hypothesentests, nicht einfach möglich, \(\alpha\) so festzulegen, dass \(\alpha^{*}\) exakt einem gewünschten Wert entspricht, da die Anzahl an wahren \(H_{0}\) unbekannt ist.

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[H_{0}:\ H_{01}\ oder\ H_{02}\ oder\ H_{03}\ oder\ H_{04}\] \[H_{1}:\ H_{11}\ und\ H_{12}\ und\ H_{13}\ und\ H_{14}\]

    Gehen Sie davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) sowie eine Power von \(1 - \beta = 0.8\) aufweisen. Gehen Sie weiterhin davon aus, dass \(H_{01}\) wahr, \(H_{02}\) wahr, \(H_{03}\) falsch und \(H_{04}\) wahr ist. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

    \[\alpha^{*} = {\alpha^{k} \cdot (1 - \beta)}^{N-k}\] dabei steht \(k\) für die Anzahl an wahren Nullhypothesen und \(N\) für die Gesamtanzahl an Hypothesen, also: \[ \begin{aligned} k = 3 \\ N = 4 \end{aligned} \]

    \[ \alpha^{*} = {0.005^{3} \cdot 0.8}^{4 - 3} = 1.00 \times 10^{-7} \]

    HinweisHinweis

    In der Praxis ist es trotz voneinander unabhängigen Hypothesentests, nicht einfach möglich, \(\alpha\) so festzulegen, dass \(\alpha^{*}\) exakt einem gewünschten Wert entspricht, da die Anzahl an wahren \(H_{0}\) unbekannt ist.

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[H_{0}:\ H_{01}\ oder\ H_{02}\ oder\ H_{03}\ oder\ H_{04}\] \[H_{1}:\ H_{11}\ und\ H_{12}\ und\ H_{13}\ und\ H_{14}\]

    Gehen Sie davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) sowie eine Power von \(1 - \beta = 0.8\) aufweisen. Gehen Sie weiterhin davon aus, dass \(H_{01}\) wahr, \(H_{02}\) falsch, \(H_{03}\) wahr und \(H_{04}\) falsch ist. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

    \[\alpha^{*} = {\alpha^{k} \cdot (1 - \beta)}^{N-k}\] dabei steht \(k\) für die Anzahl an wahren Nullhypothesen und \(N\) für die Gesamtanzahl an Hypothesen, also: \[ \begin{aligned} k = 2 \\ N = 4 \end{aligned} \]

    \[ \alpha^{*} = {0.005^{2} \cdot 0.8}^{4 - 2} = 1.60 \times 10^{-5} \]

    HinweisHinweis

    In der Praxis ist es trotz voneinander unabhängigen Hypothesentests, nicht einfach möglich, \(\alpha\) so festzulegen, dass \(\alpha^{*}\) exakt einem gewünschten Wert entspricht, da die Anzahl an wahren \(H_{0}\) unbekannt ist.

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[H_{0}:\ H_{01}\ oder\ H_{02}\ oder\ H_{03}\ oder\ H_{04}\] \[H_{1}:\ H_{11}\ und\ H_{12}\ und\ H_{13}\ und\ H_{14}\]

    Gehen Sie davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) sowie eine Power von \(1 - \beta = 0.8\) aufweisen. Gehen Sie weiterhin davon aus, dass \(H_{01}\) falsch, \(H_{02}\) falsch, \(H_{03}\) wahr und \(H_{04}\) wahr ist. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

    \[\alpha^{*} = {\alpha^{k} \cdot (1 - \beta)}^{N-k}\] dabei steht \(k\) für die Anzahl an wahren Nullhypothesen und \(N\) für die Gesamtanzahl an Hypothesen, also: \[ \begin{aligned} k = 2 \\ N = 4 \end{aligned} \]

    \[ \alpha^{*} = {0.005^{2} \cdot 0.8}^{4 - 2} = 1.60 \times 10^{-5} \]

    HinweisHinweis

    In der Praxis ist es trotz voneinander unabhängigen Hypothesentests, nicht einfach möglich, \(\alpha\) so festzulegen, dass \(\alpha^{*}\) exakt einem gewünschten Wert entspricht, da die Anzahl an wahren \(H_{0}\) unbekannt ist.

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[H_{0}:\ H_{01}\ oder\ H_{02}\ oder\ H_{03}\ oder\ H_{04}\] \[H_{1}:\ H_{11}\ und\ H_{12}\ und\ H_{13}\ und\ H_{14}\]

    Gehen Sie davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) sowie eine Power von \(1 - \beta = 0.8\) aufweisen. Gehen Sie weiterhin davon aus, dass \(H_{01}\) wahr, \(H_{02}\) wahr, \(H_{03}\) wahr und \(H_{04}\) falsch ist. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

    \[\alpha^{*} = {\alpha^{k} \cdot (1 - \beta)}^{N-k}\] dabei steht \(k\) für die Anzahl an wahren Nullhypothesen und \(N\) für die Gesamtanzahl an Hypothesen, also: \[ \begin{aligned} k = 3 \\ N = 4 \end{aligned} \]

    \[ \alpha^{*} = {0.005^{3} \cdot 0.8}^{4 - 3} = 1.00 \times 10^{-7} \]

    HinweisHinweis

    In der Praxis ist es trotz voneinander unabhängigen Hypothesentests, nicht einfach möglich, \(\alpha\) so festzulegen, dass \(\alpha^{*}\) exakt einem gewünschten Wert entspricht, da die Anzahl an wahren \(H_{0}\) unbekannt ist.

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[H_{0}:\ H_{01}\ oder\ H_{02}\ oder\ H_{03}\ oder\ H_{04}\] \[H_{1}:\ H_{11}\ und\ H_{12}\ und\ H_{13}\ und\ H_{14}\]

    Gehen Sie davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) sowie eine Power von \(1 - \beta = 0.8\) aufweisen. Gehen Sie weiterhin davon aus, dass \(H_{01}\) falsch, \(H_{02}\) wahr, \(H_{03}\) falsch und \(H_{04}\) wahr ist. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

    \[\alpha^{*} = {\alpha^{k} \cdot (1 - \beta)}^{N-k}\] dabei steht \(k\) für die Anzahl an wahren Nullhypothesen und \(N\) für die Gesamtanzahl an Hypothesen, also: \[ \begin{aligned} k = 2 \\ N = 4 \end{aligned} \]

    \[ \alpha^{*} = {0.005^{2} \cdot 0.8}^{4 - 2} = 1.60 \times 10^{-5} \]

    HinweisHinweis

    In der Praxis ist es trotz voneinander unabhängigen Hypothesentests, nicht einfach möglich, \(\alpha\) so festzulegen, dass \(\alpha^{*}\) exakt einem gewünschten Wert entspricht, da die Anzahl an wahren \(H_{0}\) unbekannt ist.

  1. Sie wollen die folgenden zusammengesetzten Hypothesen überprüfen:

    \[H_{0}:\ H_{01}\ oder\ H_{02}\ oder\ H_{03}\ oder\ H_{04}\] \[H_{1}:\ H_{11}\ und\ H_{12}\ und\ H_{13}\ und\ H_{14}\]

    Gehen Sie davon aus, dass die Hypothesentests zur Überprüfung der einzelnen Hypothesen unabhängig voneinander sind und jeweils ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.005\) sowie eine Power von \(1 - \beta = 0.8\) aufweisen. Gehen Sie weiterhin davon aus, dass \(H_{01}\) falsch, \(H_{02}\) falsch, \(H_{03}\) falsch und \(H_{04}\) wahr ist. Wie groß wäre in diesem Fall das Signifikanzniveau \(\alpha^{*}\) des zusammengesetzten Hypothesentests?

    \[\alpha^{*} = {\alpha^{k} \cdot (1 - \beta)}^{N-k}\] dabei steht \(k\) für die Anzahl an wahren Nullhypothesen und \(N\) für die Gesamtanzahl an Hypothesen, also: \[ \begin{aligned} k = 1 \\ N = 4 \end{aligned} \]

    \[ \alpha^{*} = {0.005^{1} \cdot 0.8}^{4 - 1} = 2.56 \times 10^{-3} \]

    HinweisHinweis

    In der Praxis ist es trotz voneinander unabhängigen Hypothesentests, nicht einfach möglich, \(\alpha\) so festzulegen, dass \(\alpha^{*}\) exakt einem gewünschten Wert entspricht, da die Anzahl an wahren \(H_{0}\) unbekannt ist.