Übungsaufgaben

Logistische Regressionsmodelle

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Version 1

1. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, davon abhängt, ob man Bauchschläfer ist oder nicht. Sie wählen “kein Bauchschläfer” als Referenzkategorie.

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds

   Allgemein \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)} = e^{\alpha + \beta d_i} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)}) = \alpha + \beta d_i \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Referenzkategorie Bauchschläfer liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0\right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 0}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 0}} = \frac{e^{\alpha}}{1 + e^{\alpha}} \\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)} = e^{\alpha + \beta \cdot 0} = e^{\alpha} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)}) = \alpha + \beta \cdot 0 = \alpha \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Kategorie Bauchschläfer liegt vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 | d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 1}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 1}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)} = e^{\alpha + \beta \cdot 1} = e^{\alpha + \beta} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)}) = \alpha + \beta \cdot 1 = \alpha + \beta \end{align*} \]

   1. Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).

      Lösung

      \(\alpha\): Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, falls man kein Bauchschläfer ist.

      \(\alpha + \beta\): Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, falls man Bauchschläfer ist.

      \(\beta\): Differenz der Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, zwischen Personen, die Bauchschläfer sind und Personen, die kein Bauchschläfer sind.

   2. Interpretieren Sie die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta}\) und \(e^{\alpha + \beta}\).

      Lösung

      \(e^{\alpha}\): Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, falls man kein Bauchschläfer ist.

      \(e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha}\cdot e^{\beta}\): Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, falls man Bauchschläfer ist.

      \(e^{\beta}\): Faktor, um den die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, bei Personen, die Bauchschläfer sind höher sind, als bei Personen, die kein Bauchschläfer sind.

   3. Sei \(\alpha = -0.1\) und \(\beta = 0.6\). Berechnen Sie für Personen, die Bauchschläfer sind und für Personen, die keine Bauchschläfer sind jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, indem Sie in die Modellgleichung einsetzen.

      Lösung

      \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}} = \frac{e^{-0.1 + 0.6d_{i}}}{1 + e^{-0.1 + 0.6d_{i}}}\]

      Für Personen, die keine Bauchschläfer sind, also Personen mit \(d_{i} = 0\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0 \right) = \frac{e^{-0.1 + 0.6 \cdot 0}}{1 + e^{-0.1 + 0.6 \cdot 0}} = \frac{e^{-0.1}}{1 + e^{-0.1}} \approx 0.475\]

      Für Personen, die Bauchschläfer sind, also Personen mit \(d_{i} = 1\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{-0.1 + 0.6 \cdot 1}}{1 + e^{-0.1 + 0.6 \cdot 1}} = \frac{e^{0.5}}{1 + e^{0.5}} \approx 0.622\]

   4. Um welchen Faktor, sind die Odds bei Personen, die Bauchschläfer sind höher, als bei Personen, die kein Bauchschläfer sind?

      Lösung

      \(e^{\beta}\) entspricht dem Odds-Ratio:

      \[e^{\beta} = e^{0.6} \approx 1.822\]

      Die Odds sind bei Personen, die Bauchschläfer sind also um den Faktor 1.822 höher, als bei Personen, die keine Bauchschläfer sind.

   5. Wie viel wahrscheinlicher ist das Auftreten einer Atemwegserkrankung bei Personen, die Bauchschläfer sind, als bei Personen, die keine Bauchschläfer sind?

      Lösung

      Diese Interpretation entspricht dem Risk Ratio:

      \[\frac{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 1 \right)}{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 0 \right)} = \frac{1 + e^{-\alpha}}{1 + e^{-\alpha - \beta}} = \frac{1 + e^{0.1}}{1 + e^{0.1 -0.6}} = 1.31\]

      Das Auftreten einer Atemwegserkrankung bei Personen, die Bauchschläfer sind ist also um 1.31 mal wahrscheinlicher, als bei Personen, die keine Bauchschläfer sind.

   6. Gegeben sind die 95%-KIs für die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\). Interpretieren Sie diese.

                         2.5 %     97.5 %
      (Intercept)   -0.1357438  0.7664682
      Bauchschläfer -1.6131110 -0.2875219

      Lösung

      Interpretation KI für \(\alpha:\) Wir gehen davon aus, dass die Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, für eine Person, die kein Bauchschläfer ist, zwischen -0.136 und 0.766 liegen.

      Interpretation KI für \(\beta:\) Wir gehen davon aus, dass die Differenz der Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, zwischen einer Person, die Bauchschläfer ist und einer Person, die kein Bauchschläfer ist, zwischen -1.613 und -0.288 liegt.

Version 2

1. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, davon abhängt, ob man Raucher ist oder nicht. Sie wählen “kein Raucher” als Referenzkategorie.

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds

   Allgemein \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)} = e^{\alpha + \beta d_i} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)}) = \alpha + \beta d_i \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Referenzkategorie Raucher liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0\right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 0}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 0}} = \frac{e^{\alpha}}{1 + e^{\alpha}} \\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)} = e^{\alpha + \beta \cdot 0} = e^{\alpha} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)}) = \alpha + \beta \cdot 0 = \alpha \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Kategorie Raucher liegt vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 | d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 1}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 1}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)} = e^{\alpha + \beta \cdot 1} = e^{\alpha + \beta} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)}) = \alpha + \beta \cdot 1 = \alpha + \beta \end{align*} \]

   1. Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).

      Lösung

      \(\alpha\): Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man kein Raucher ist.

      \(\alpha + \beta\): Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man Raucher ist.

      \(\beta\): Differenz der Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, zwischen Personen, die Raucher sind und Personen, die kein Raucher sind.

   2. Interpretieren Sie die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta}\) und \(e^{\alpha + \beta}\).

      Lösung

      \(e^{\alpha}\): Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man kein Raucher ist.

      \(e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha}\cdot e^{\beta}\): Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man Raucher ist.

      \(e^{\beta}\): Faktor, um den die Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, bei Personen, die Raucher sind höher sind, als bei Personen, die kein Raucher sind.

   3. Sei \(\alpha = -0.8\) und \(\beta = 0.6\). Berechnen Sie für Personen, die Raucher sind und für Personen, die keine Raucher sind jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, indem Sie in die Modellgleichung einsetzen.

      Lösung

      \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}} = \frac{e^{-0.8 + 0.6d_{i}}}{1 + e^{-0.8 + 0.6d_{i}}}\]

      Für Personen, die keine Raucher sind, also Personen mit \(d_{i} = 0\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0 \right) = \frac{e^{-0.8 + 0.6 \cdot 0}}{1 + e^{-0.8 + 0.6 \cdot 0}} = \frac{e^{-0.8}}{1 + e^{-0.8}} \approx 0.31\]

      Für Personen, die Raucher sind, also Personen mit \(d_{i} = 1\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{-0.8 + 0.6 \cdot 1}}{1 + e^{-0.8 + 0.6 \cdot 1}} = \frac{e^{-0.2}}{1 + e^{-0.2}} \approx 0.45\]

   4. Um welchen Faktor, sind die Odds bei Personen, die Raucher sind höher, als bei Personen, die kein Raucher sind?

      Lösung

      \(e^{\beta}\) entspricht dem Odds-Ratio:

      \[e^{\beta} = e^{0.6} \approx 1.822\]

      Die Odds sind bei Personen, die Raucher sind also um den Faktor 1.822 höher, als bei Personen, die keine Raucher sind.

   5. Wie viel wahrscheinlicher ist das Auftreten einer Schlafstörung bei Personen, die Raucher sind, als bei Personen, die keine Raucher sind?

      Lösung

      Diese Interpretation entspricht dem Risk Ratio:

      \[\frac{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 1 \right)}{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 0 \right)} = \frac{1 + e^{-\alpha}}{1 + e^{-\alpha - \beta}} = \frac{1 + e^{0.8}}{1 + e^{0.8 -0.6}} = 1.452\]

      Das Auftreten einer Schlafstörung bei Personen, die Raucher sind ist also um 1.452 mal wahrscheinlicher, als bei Personen, die keine Raucher sind.

   6. Gegeben sind die 95%-KIs für die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\). Interpretieren Sie diese.

                       2.5 %    97.5 %
      (Intercept) -0.5637088 0.3125379
      Raucher     -0.3739167 0.9162533

      Lösung

      Interpretation KI für \(\alpha:\) Wir gehen davon aus, dass die Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, für eine Person, die kein Raucher ist, zwischen -0.564 und 0.313 liegen.

      Interpretation KI für \(\beta:\) Wir gehen davon aus, dass die Differenz der Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, zwischen einer Person, die Raucher ist und einer Person, die kein Raucher ist, zwischen -0.374 und 0.916 liegt.

Version 3

1. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, davon abhängt, ob man verheiratet ist oder nicht. Sie wählen “ist nicht verheiratet” als Referenzkategorie.

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds

   Allgemein \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)} = e^{\alpha + \beta d_i} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)}) = \alpha + \beta d_i \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Referenzkategorie verheiratet liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0\right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 0}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 0}} = \frac{e^{\alpha}}{1 + e^{\alpha}} \\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)} = e^{\alpha + \beta \cdot 0} = e^{\alpha} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)}) = \alpha + \beta \cdot 0 = \alpha \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Kategorie verheiratet liegt vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 | d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 1}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 1}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)} = e^{\alpha + \beta \cdot 1} = e^{\alpha + \beta} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)}) = \alpha + \beta \cdot 1 = \alpha + \beta \end{align*} \]

   1. Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).

      Lösung

      \(\alpha\): Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man nicht verheiratet ist.

      \(\alpha + \beta\): Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man verheiratet ist.

      \(\beta\): Differenz der Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, zwischen Personen, die verheiratet sind und Personen, die nicht verheiratet sind.

   2. Interpretieren Sie die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta}\) und \(e^{\alpha + \beta}\).

      Lösung

      \(e^{\alpha}\): Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man nicht verheiratet ist.

      \(e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha}\cdot e^{\beta}\): Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man verheiratet ist.

      \(e^{\beta}\): Faktor, um den die Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, bei Personen, die verheiratet sind höher sind, als bei Personen, die nicht verheiratet sind.

   3. Sei \(\alpha = -0.6\) und \(\beta = 0.8\). Berechnen Sie für Personen, die verheiratet sind und für Personen, die nicht verheiratet sind jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, indem Sie in die Modellgleichung einsetzen.

      Lösung

      \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}} = \frac{e^{-0.6 + 0.8d_{i}}}{1 + e^{-0.6 + 0.8d_{i}}}\]

      Für Personen, die nicht verheiratet sind, also Personen mit \(d_{i} = 0\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0 \right) = \frac{e^{-0.6 + 0.8 \cdot 0}}{1 + e^{-0.6 + 0.8 \cdot 0}} = \frac{e^{-0.6}}{1 + e^{-0.6}} \approx 0.354\]

      Für Personen, die verheiratet sind, also Personen mit \(d_{i} = 1\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{-0.6 + 0.8 \cdot 1}}{1 + e^{-0.6 + 0.8 \cdot 1}} = \frac{e^{0.2}}{1 + e^{0.2}} \approx 0.55\]

   4. Um welchen Faktor, sind die Odds bei Personen, die verheiratet sind höher, als bei Personen, die nicht verheiratet sind?

      Lösung

      \(e^{\beta}\) entspricht dem Odds-Ratio:

      \[e^{\beta} = e^{0.8} \approx 2.226\]

      Die Odds sind bei Personen, die verheiratet sind also um den Faktor 2.226 höher, als bei Personen, die nicht verheiratet sind.

   5. Wie viel wahrscheinlicher ist das Auftreten einer Schlafstörung bei Personen, die verheiratet sind, als bei Personen, die nicht verheiratet sind?

      Lösung

      Diese Interpretation entspricht dem Risk Ratio:

      \[\frac{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 1 \right)}{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 0 \right)} = \frac{1 + e^{-\alpha}}{1 + e^{-\alpha - \beta}} = \frac{1 + e^{0.6}}{1 + e^{0.6 -0.8}} = 1.552\]

      Das Auftreten einer Schlafstörung bei Personen, die verheiratet sind ist also um 1.552 mal wahrscheinlicher, als bei Personen, die nicht verheiratet sind.

   6. Gegeben sind die 95%-KIs für die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\). Interpretieren Sie diese.

                       2.5 %    97.5 %
      (Intercept) -0.4778206 0.3811029
      verheiratet -0.4155710 0.8801348

      Lösung

      Interpretation KI für \(\alpha:\) Wir gehen davon aus, dass die Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, für eine Person, die nicht verheiratet ist, zwischen -0.478 und 0.381 liegen.

      Interpretation KI für \(\beta:\) Wir gehen davon aus, dass die Differenz der Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, zwischen einer Person, die verheiratet ist und einer Person, die nicht verheiratet ist, zwischen -0.416 und 0.88 liegt.

Version 4

1. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, davon abhängt, ob man Raucher ist oder nicht. Sie wählen “kein Raucher” als Referenzkategorie.

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds

   Allgemein \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)} = e^{\alpha + \beta d_i} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)}) = \alpha + \beta d_i \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Referenzkategorie Raucher liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0\right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 0}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 0}} = \frac{e^{\alpha}}{1 + e^{\alpha}} \\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)} = e^{\alpha + \beta \cdot 0} = e^{\alpha} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)}) = \alpha + \beta \cdot 0 = \alpha \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Kategorie Raucher liegt vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 | d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 1}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 1}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)} = e^{\alpha + \beta \cdot 1} = e^{\alpha + \beta} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)}) = \alpha + \beta \cdot 1 = \alpha + \beta \end{align*} \]

   1. Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).

      Lösung

      \(\alpha\): Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, falls man kein Raucher ist.

      \(\alpha + \beta\): Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, falls man Raucher ist.

      \(\beta\): Differenz der Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, zwischen Personen, die Raucher sind und Personen, die kein Raucher sind.

   2. Interpretieren Sie die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta}\) und \(e^{\alpha + \beta}\).

      Lösung

      \(e^{\alpha}\): Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, falls man kein Raucher ist.

      \(e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha}\cdot e^{\beta}\): Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, falls man Raucher ist.

      \(e^{\beta}\): Faktor, um den die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, bei Personen, die Raucher sind höher sind, als bei Personen, die kein Raucher sind.

   3. Sei \(\alpha = -0.5\) und \(\beta = 0.2\). Berechnen Sie für Personen, die Raucher sind und für Personen, die keine Raucher sind jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, indem Sie in die Modellgleichung einsetzen.

      Lösung

      \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}} = \frac{e^{-0.5 + 0.2d_{i}}}{1 + e^{-0.5 + 0.2d_{i}}}\]

      Für Personen, die keine Raucher sind, also Personen mit \(d_{i} = 0\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0 \right) = \frac{e^{-0.5 + 0.2 \cdot 0}}{1 + e^{-0.5 + 0.2 \cdot 0}} = \frac{e^{-0.5}}{1 + e^{-0.5}} \approx 0.378\]

      Für Personen, die Raucher sind, also Personen mit \(d_{i} = 1\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{-0.5 + 0.2 \cdot 1}}{1 + e^{-0.5 + 0.2 \cdot 1}} = \frac{e^{-0.3}}{1 + e^{-0.3}} \approx 0.426\]

   4. Um welchen Faktor, sind die Odds bei Personen, die Raucher sind höher, als bei Personen, die kein Raucher sind?

      Lösung

      \(e^{\beta}\) entspricht dem Odds-Ratio:

      \[e^{\beta} = e^{0.2} \approx 1.221\]

      Die Odds sind bei Personen, die Raucher sind also um den Faktor 1.221 höher, als bei Personen, die keine Raucher sind.

   5. Wie viel wahrscheinlicher ist das Auftreten einer Atemwegserkrankung bei Personen, die Raucher sind, als bei Personen, die keine Raucher sind?

      Lösung

      Diese Interpretation entspricht dem Risk Ratio:

      \[\frac{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 1 \right)}{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 0 \right)} = \frac{1 + e^{-\alpha}}{1 + e^{-\alpha - \beta}} = \frac{1 + e^{0.5}}{1 + e^{0.5 -0.2}} = 1.127\]

      Das Auftreten einer Atemwegserkrankung bei Personen, die Raucher sind ist also um 1.127 mal wahrscheinlicher, als bei Personen, die keine Raucher sind.

   6. Gegeben sind die 95%-KIs für die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\). Interpretieren Sie diese.

                       2.5 %    97.5 %
      (Intercept) -0.3488361 0.4856722
      Raucher     -0.6219635 0.6856547

      Lösung

      Interpretation KI für \(\alpha:\) Wir gehen davon aus, dass die Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, für eine Person, die kein Raucher ist, zwischen -0.349 und 0.486 liegen.

      Interpretation KI für \(\beta:\) Wir gehen davon aus, dass die Differenz der Log-Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, zwischen einer Person, die Raucher ist und einer Person, die kein Raucher ist, zwischen -0.622 und 0.686 liegt.

Version 5

1. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, Diabetes zu entwickeln, davon abhängt, ob man Bauchschläfer ist oder nicht. Sie wählen “kein Bauchschläfer” als Referenzkategorie.

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds

   Allgemein \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)} = e^{\alpha + \beta d_i} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)}) = \alpha + \beta d_i \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Referenzkategorie Bauchschläfer liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0\right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 0}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 0}} = \frac{e^{\alpha}}{1 + e^{\alpha}} \\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)} = e^{\alpha + \beta \cdot 0} = e^{\alpha} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)}) = \alpha + \beta \cdot 0 = \alpha \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Kategorie Bauchschläfer liegt vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 | d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 1}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 1}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)} = e^{\alpha + \beta \cdot 1} = e^{\alpha + \beta} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)}) = \alpha + \beta \cdot 1 = \alpha + \beta \end{align*} \]

   1. Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).

      Lösung

      \(\alpha\): Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man kein Bauchschläfer ist.

      \(\alpha + \beta\): Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man Bauchschläfer ist.

      \(\beta\): Differenz der Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, zwischen Personen, die Bauchschläfer sind und Personen, die kein Bauchschläfer sind.

   2. Interpretieren Sie die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta}\) und \(e^{\alpha + \beta}\).

      Lösung

      \(e^{\alpha}\): Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man kein Bauchschläfer ist.

      \(e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha}\cdot e^{\beta}\): Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man Bauchschläfer ist.

      \(e^{\beta}\): Faktor, um den die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, bei Personen, die Bauchschläfer sind höher sind, als bei Personen, die kein Bauchschläfer sind.

   3. Sei \(\alpha = -0.1\) und \(\beta = 0.5\). Berechnen Sie für Personen, die Bauchschläfer sind und für Personen, die keine Bauchschläfer sind jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Diabetes zu entwickeln, indem Sie in die Modellgleichung einsetzen.

      Lösung

      \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}} = \frac{e^{-0.1 + 0.5d_{i}}}{1 + e^{-0.1 + 0.5d_{i}}}\]

      Für Personen, die keine Bauchschläfer sind, also Personen mit \(d_{i} = 0\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0 \right) = \frac{e^{-0.1 + 0.5 \cdot 0}}{1 + e^{-0.1 + 0.5 \cdot 0}} = \frac{e^{-0.1}}{1 + e^{-0.1}} \approx 0.475\]

      Für Personen, die Bauchschläfer sind, also Personen mit \(d_{i} = 1\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{-0.1 + 0.5 \cdot 1}}{1 + e^{-0.1 + 0.5 \cdot 1}} = \frac{e^{0.4}}{1 + e^{0.4}} \approx 0.599\]

   4. Um welchen Faktor, sind die Odds bei Personen, die Bauchschläfer sind höher, als bei Personen, die kein Bauchschläfer sind?

      Lösung

      \(e^{\beta}\) entspricht dem Odds-Ratio:

      \[e^{\beta} = e^{0.5} \approx 1.649\]

      Die Odds sind bei Personen, die Bauchschläfer sind also um den Faktor 1.649 höher, als bei Personen, die keine Bauchschläfer sind.

   5. Wie viel wahrscheinlicher ist das Auftreten von Diabetes bei Personen, die Bauchschläfer sind, als bei Personen, die keine Bauchschläfer sind?

      Lösung

      Diese Interpretation entspricht dem Risk Ratio:

      \[\frac{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 1 \right)}{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 0 \right)} = \frac{1 + e^{-\alpha}}{1 + e^{-\alpha - \beta}} = \frac{1 + e^{0.1}}{1 + e^{0.1 -0.5}} = 1.26\]

      Das Auftreten von Diabetes bei Personen, die Bauchschläfer sind ist also um 1.26 mal wahrscheinlicher, als bei Personen, die keine Bauchschläfer sind.

   6. Gegeben sind die 95%-KIs für die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\). Interpretieren Sie diese.

                         2.5 %    97.5 %
      (Intercept)   -0.3903473 0.5730264
      Bauchschläfer -0.3729758 0.9280315

      Lösung

      Interpretation KI für \(\alpha:\) Wir gehen davon aus, dass die Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, für eine Person, die kein Bauchschläfer ist, zwischen -0.39 und 0.573 liegen.

      Interpretation KI für \(\beta:\) Wir gehen davon aus, dass die Differenz der Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, zwischen einer Person, die Bauchschläfer ist und einer Person, die kein Bauchschläfer ist, zwischen -0.373 und 0.928 liegt.

Version 6

1. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, Diabetes zu entwickeln, davon abhängt, ob man verheiratet ist oder nicht. Sie wählen “ist nicht verheiratet” als Referenzkategorie.

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds

   Allgemein \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)} = e^{\alpha + \beta d_i} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)}) = \alpha + \beta d_i \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Referenzkategorie verheiratet liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0\right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 0}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 0}} = \frac{e^{\alpha}}{1 + e^{\alpha}} \\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)} = e^{\alpha + \beta \cdot 0} = e^{\alpha} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)}) = \alpha + \beta \cdot 0 = \alpha \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Kategorie verheiratet liegt vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 | d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 1}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 1}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)} = e^{\alpha + \beta \cdot 1} = e^{\alpha + \beta} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)}) = \alpha + \beta \cdot 1 = \alpha + \beta \end{align*} \]

   1. Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).

      Lösung

      \(\alpha\): Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man nicht verheiratet ist.

      \(\alpha + \beta\): Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man verheiratet ist.

      \(\beta\): Differenz der Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, zwischen Personen, die verheiratet sind und Personen, die nicht verheiratet sind.

   2. Interpretieren Sie die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta}\) und \(e^{\alpha + \beta}\).

      Lösung

      \(e^{\alpha}\): Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man nicht verheiratet ist.

      \(e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha}\cdot e^{\beta}\): Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man verheiratet ist.

      \(e^{\beta}\): Faktor, um den die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, bei Personen, die verheiratet sind höher sind, als bei Personen, die nicht verheiratet sind.

   3. Sei \(\alpha = -0.8\) und \(\beta = 0.5\). Berechnen Sie für Personen, die verheiratet sind und für Personen, die nicht verheiratet sind jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Diabetes zu entwickeln, indem Sie in die Modellgleichung einsetzen.

      Lösung

      \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}} = \frac{e^{-0.8 + 0.5d_{i}}}{1 + e^{-0.8 + 0.5d_{i}}}\]

      Für Personen, die nicht verheiratet sind, also Personen mit \(d_{i} = 0\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0 \right) = \frac{e^{-0.8 + 0.5 \cdot 0}}{1 + e^{-0.8 + 0.5 \cdot 0}} = \frac{e^{-0.8}}{1 + e^{-0.8}} \approx 0.31\]

      Für Personen, die verheiratet sind, also Personen mit \(d_{i} = 1\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{-0.8 + 0.5 \cdot 1}}{1 + e^{-0.8 + 0.5 \cdot 1}} = \frac{e^{-0.3}}{1 + e^{-0.3}} \approx 0.426\]

   4. Um welchen Faktor, sind die Odds bei Personen, die verheiratet sind höher, als bei Personen, die nicht verheiratet sind?

      Lösung

      \(e^{\beta}\) entspricht dem Odds-Ratio:

      \[e^{\beta} = e^{0.5} \approx 1.649\]

      Die Odds sind bei Personen, die verheiratet sind also um den Faktor 1.649 höher, als bei Personen, die nicht verheiratet sind.

   5. Wie viel wahrscheinlicher ist das Auftreten von Diabetes bei Personen, die verheiratet sind, als bei Personen, die nicht verheiratet sind?

      Lösung

      Diese Interpretation entspricht dem Risk Ratio:

      \[\frac{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 1 \right)}{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 0 \right)} = \frac{1 + e^{-\alpha}}{1 + e^{-\alpha - \beta}} = \frac{1 + e^{0.8}}{1 + e^{0.8 -0.5}} = 1.373\]

      Das Auftreten von Diabetes bei Personen, die verheiratet sind ist also um 1.373 mal wahrscheinlicher, als bei Personen, die nicht verheiratet sind.

   6. Gegeben sind die 95%-KIs für die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\). Interpretieren Sie diese.

                       2.5 %    97.5 %
      (Intercept) -0.7612121 0.2100977
      verheiratet -0.3996197 0.8975539

      Lösung

      Interpretation KI für \(\alpha:\) Wir gehen davon aus, dass die Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, für eine Person, die nicht verheiratet ist, zwischen -0.761 und 0.21 liegen.

      Interpretation KI für \(\beta:\) Wir gehen davon aus, dass die Differenz der Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, zwischen einer Person, die verheiratet ist und einer Person, die nicht verheiratet ist, zwischen -0.4 und 0.898 liegt.

Version 7

1. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, davon abhängt, ob man Raucher ist oder nicht. Sie wählen “kein Raucher” als Referenzkategorie.

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds

   Allgemein \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)} = e^{\alpha + \beta d_i} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)}) = \alpha + \beta d_i \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Referenzkategorie Raucher liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0\right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 0}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 0}} = \frac{e^{\alpha}}{1 + e^{\alpha}} \\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)} = e^{\alpha + \beta \cdot 0} = e^{\alpha} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)}) = \alpha + \beta \cdot 0 = \alpha \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Kategorie Raucher liegt vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 | d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 1}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 1}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)} = e^{\alpha + \beta \cdot 1} = e^{\alpha + \beta} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)}) = \alpha + \beta \cdot 1 = \alpha + \beta \end{align*} \]

   1. Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).

      Lösung

      \(\alpha\): Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man kein Raucher ist.

      \(\alpha + \beta\): Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man Raucher ist.

      \(\beta\): Differenz der Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, zwischen Personen, die Raucher sind und Personen, die kein Raucher sind.

   2. Interpretieren Sie die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta}\) und \(e^{\alpha + \beta}\).

      Lösung

      \(e^{\alpha}\): Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man kein Raucher ist.

      \(e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha}\cdot e^{\beta}\): Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, falls man Raucher ist.

      \(e^{\beta}\): Faktor, um den die Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, bei Personen, die Raucher sind höher sind, als bei Personen, die kein Raucher sind.

   3. Sei \(\alpha = -0.1\) und \(\beta = 0.3\). Berechnen Sie für Personen, die Raucher sind und für Personen, die keine Raucher sind jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, indem Sie in die Modellgleichung einsetzen.

      Lösung

      \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}} = \frac{e^{-0.1 + 0.3d_{i}}}{1 + e^{-0.1 + 0.3d_{i}}}\]

      Für Personen, die keine Raucher sind, also Personen mit \(d_{i} = 0\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0 \right) = \frac{e^{-0.1 + 0.3 \cdot 0}}{1 + e^{-0.1 + 0.3 \cdot 0}} = \frac{e^{-0.1}}{1 + e^{-0.1}} \approx 0.475\]

      Für Personen, die Raucher sind, also Personen mit \(d_{i} = 1\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{-0.1 + 0.3 \cdot 1}}{1 + e^{-0.1 + 0.3 \cdot 1}} = \frac{e^{0.2}}{1 + e^{0.2}} \approx 0.55\]

   4. Um welchen Faktor, sind die Odds bei Personen, die Raucher sind höher, als bei Personen, die kein Raucher sind?

      Lösung

      \(e^{\beta}\) entspricht dem Odds-Ratio:

      \[e^{\beta} = e^{0.3} \approx 1.35\]

      Die Odds sind bei Personen, die Raucher sind also um den Faktor 1.35 höher, als bei Personen, die keine Raucher sind.

   5. Wie viel wahrscheinlicher ist das Auftreten einer Schlafstörung bei Personen, die Raucher sind, als bei Personen, die keine Raucher sind?

      Lösung

      Diese Interpretation entspricht dem Risk Ratio:

      \[\frac{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 1 \right)}{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 0 \right)} = \frac{1 + e^{-\alpha}}{1 + e^{-\alpha - \beta}} = \frac{1 + e^{0.1}}{1 + e^{0.1 -0.3}} = 1.157\]

      Das Auftreten einer Schlafstörung bei Personen, die Raucher sind ist also um 1.157 mal wahrscheinlicher, als bei Personen, die keine Raucher sind.

   6. Gegeben sind die 95%-KIs für die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\). Interpretieren Sie diese.

                       2.5 %    97.5 %
      (Intercept) -0.6598101 0.2992023
      Raucher     -0.3689915 0.9232080

      Lösung

      Interpretation KI für \(\alpha:\) Wir gehen davon aus, dass die Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, für eine Person, die kein Raucher ist, zwischen -0.66 und 0.299 liegen.

      Interpretation KI für \(\beta:\) Wir gehen davon aus, dass die Differenz der Log-Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, zwischen einer Person, die Raucher ist und einer Person, die kein Raucher ist, zwischen -0.369 und 0.923 liegt.

Version 8

1. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, Diabetes zu entwickeln, davon abhängt, ob man Bauchschläfer ist oder nicht. Sie wählen “kein Bauchschläfer” als Referenzkategorie.

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds

   Allgemein \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)} = e^{\alpha + \beta d_i} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i)}{P(Y_i = 0 | d_i)}) = \alpha + \beta d_i \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Referenzkategorie Bauchschläfer liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0\right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 0}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 0}} = \frac{e^{\alpha}}{1 + e^{\alpha}} \\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)} = e^{\alpha + \beta \cdot 0} = e^{\alpha} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 0)}{P(Y_i = 0 | d_i = 0)}) = \alpha + \beta \cdot 0 = \alpha \end{align*} \]

   Modellgleichung, Odds und Log-Odds für Kategorie Bauchschläfer liegt vor: \[ \begin{align*} &P\left( Y_{i} = 1 | d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{\alpha + \beta \cdot 1}}{1 + e^{\alpha + \beta \cdot 1}}\\ &\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)} = e^{\alpha + \beta \cdot 1} = e^{\alpha + \beta} \\ ln(&\frac{P(Y_i = 1 | d_i = 1)}{P(Y_i = 0 | d_i = 1)}) = \alpha + \beta \cdot 1 = \alpha + \beta \end{align*} \]

   1. Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).

      Lösung

      \(\alpha\): Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man kein Bauchschläfer ist.

      \(\alpha + \beta\): Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man Bauchschläfer ist.

      \(\beta\): Differenz der Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, zwischen Personen, die Bauchschläfer sind und Personen, die kein Bauchschläfer sind.

   2. Interpretieren Sie die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta}\) und \(e^{\alpha + \beta}\).

      Lösung

      \(e^{\alpha}\): Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man kein Bauchschläfer ist.

      \(e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha}\cdot e^{\beta}\): Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, falls man Bauchschläfer ist.

      \(e^{\beta}\): Faktor, um den die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, bei Personen, die Bauchschläfer sind höher sind, als bei Personen, die kein Bauchschläfer sind.

   3. Sei \(\alpha = -0.5\) und \(\beta = 0.4\). Berechnen Sie für Personen, die Bauchschläfer sind und für Personen, die keine Bauchschläfer sind jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Diabetes zu entwickeln, indem Sie in die Modellgleichung einsetzen.

      Lösung

      \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} \right) = \frac{e^{\alpha + \beta d_{i}}}{1 + e^{\alpha + \beta d_{i}}} = \frac{e^{-0.5 + 0.4d_{i}}}{1 + e^{-0.5 + 0.4d_{i}}}\]

      Für Personen, die keine Bauchschläfer sind, also Personen mit \(d_{i} = 0\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 0 \right) = \frac{e^{-0.5 + 0.4 \cdot 0}}{1 + e^{-0.5 + 0.4 \cdot 0}} = \frac{e^{-0.5}}{1 + e^{-0.5}} \approx 0.378\]

      Für Personen, die Bauchschläfer sind, also Personen mit \(d_{i} = 1\): \[P\left( Y_{i} = 1 \middle| d_{i} = 1 \right) = \frac{e^{-0.5 + 0.4 \cdot 1}}{1 + e^{-0.5 + 0.4 \cdot 1}} = \frac{e^{-0.1}}{1 + e^{-0.1}} \approx 0.475\]

   4. Um welchen Faktor, sind die Odds bei Personen, die Bauchschläfer sind höher, als bei Personen, die kein Bauchschläfer sind?

      Lösung

      \(e^{\beta}\) entspricht dem Odds-Ratio:

      \[e^{\beta} = e^{0.4} \approx 1.492\]

      Die Odds sind bei Personen, die Bauchschläfer sind also um den Faktor 1.492 höher, als bei Personen, die keine Bauchschläfer sind.

   5. Wie viel wahrscheinlicher ist das Auftreten von Diabetes bei Personen, die Bauchschläfer sind, als bei Personen, die keine Bauchschläfer sind?

      Lösung

      Diese Interpretation entspricht dem Risk Ratio:

      \[\frac{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 1 \right)}{P\left( Y_{i} = 1 \middle| 0 \right)} = \frac{1 + e^{-\alpha}}{1 + e^{-\alpha - \beta}} = \frac{1 + e^{0.5}}{1 + e^{0.5 -0.4}} = 1.258\]

      Das Auftreten von Diabetes bei Personen, die Bauchschläfer sind ist also um 1.258 mal wahrscheinlicher, als bei Personen, die keine Bauchschläfer sind.

   6. Gegeben sind die 95%-KIs für die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\). Interpretieren Sie diese.

                        2.5 %    97.5 %
      (Intercept)   -0.324848 0.6121463
      Bauchschläfer -0.914047 0.3737269

      Lösung

      Interpretation KI für \(\alpha:\) Wir gehen davon aus, dass die Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, für eine Person, die kein Bauchschläfer ist, zwischen -0.325 und 0.612 liegen.

      Interpretation KI für \(\beta:\) Wir gehen davon aus, dass die Differenz der Log-Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, zwischen einer Person, die Bauchschläfer ist und einer Person, die kein Bauchschläfer ist, zwischen -0.914 und 0.374 liegt.

Version 1

2. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, (1) von der täglichen Menge Schlaf (z-standardisiert) abhängt und (2) davon abhängt, ob man gestresst ist oder nicht. Außerdem möchten Sie prüfen, ob (3) der Zusammenhang zwischen Schlaf und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung unterschiedlich ist, je nachdem ob eine Person gestresst ist oder nicht.

   Sie wählen “nicht gestresst” als Referenzkategorie.

   1. Treffen Sie die Testentscheidung bezüglich der genannten Hypothesen bei einem Konfidenzniveau von \(\alpha\) = 0.005.

      Call:
      glm(Atemwegserkrankung ~ gestresst * Schlaf, family = 'binomial', 
          data = data)

      Coefficients:
                        Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
      (Intercept)      -2.324383   0.331621  -7.009  2.4e-12 ***
      gestresst         0.756735   0.405888   1.864  0.06227 .  
      Schlaf            0.943387   0.293796   3.211  0.00132 ** 
      gestresst:Schlaf  0.008664   0.372648   0.023  0.98145    

      Lösung

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_1 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es für Personen mit einer durchschnittlichen Menge an Schlaf keinen Zusammenhang zwischen gestresst sein und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

      Testentscheidung für die Alternativhypothese \(H_1: \beta_2 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es bei Personen der Referenzkategorie (die also nicht gestresst sind) einen Zusammenhang zwischen Schlaf und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_3 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es zwischen Personen, die nicht gestresst sind und Personen, die gestresst sind keinen Unterschied zwischen dem Zusammenhang von Schlaf und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

   2. Interpretieren Sie die 95%-KIs für die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta_1}\), \(e^{\beta_2}\) und \(e^{\beta_3}\).

                            2.5 %    97.5 %
      (Intercept)      0.04713997 0.1760988
      gestresst        0.98906693 4.9629962
      Schlaf           1.48658276 4.7579075
      gestresst:Schlaf 0.47707146 2.0810646

      Lösung

      Interpretation KI für \(e^{\alpha}\): Wir gehen davon aus, dass für Personen, die durchschnittlich lang schlafen und die nicht gestresst sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, zwischen 0.047 und 0.176 liegen.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_1}\): Wir gehen davon aus, dass bei Personen, die durchschnittlich lang schlafen und gestresst sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln um den Faktor 0.989 bis 4.963 höher sind, als bei Personen, die durchschnittlich lang schlafen und nicht gestresst sind.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_2}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die nicht gestresst sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, um den Faktor 1.487 bis 4.758 erhöhen, falls sich die tägliche Menge Schlaf um eine Standardabweichung erhöht.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_3}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die gestresst sind die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, um den Faktor 0.477 bis 2.081 stärker erhöhen als bei Personen, die nicht gestresst sind, falls sich die tägliche Menge Schlaf um eine Standardabweichung erhöht.

Version 2

2. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, (1) von der täglichen Menge Schlaf (z-standardisiert) abhängt und (2) davon abhängt, ob man Raucher ist oder nicht. Außerdem möchten Sie prüfen, ob (3) der Zusammenhang zwischen Schlaf und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung unterschiedlich ist, je nachdem ob eine Person Raucher ist oder nicht.

   Sie wählen “kein Raucher” als Referenzkategorie.

   1. Treffen Sie die Testentscheidung bezüglich der genannten Hypothesen bei einem Konfidenzniveau von \(\alpha\) = 0.005.

      Call:
      glm(Atemwegserkrankung ~ Raucher * Schlaf, family = 'binomial', 
          data = data)

      Coefficients:
                     Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
      (Intercept)     -1.5633     0.2300  -6.798 1.06e-11 ***
      Raucher          0.3746     0.3037   1.234   0.2174    
      Schlaf           0.4106     0.2223   1.847   0.0648 .  
      Raucher:Schlaf   0.1846     0.3084   0.598   0.5496    

      Lösung

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_1 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es für Personen mit einer durchschnittlichen Menge an Schlaf keinen Zusammenhang zwischen Raucher sein und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_2 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es bei Personen der Referenzkategorie (die also kein Raucher sind) keinen Zusammenhang zwischen Schlaf und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_3 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es zwischen Personen, die kein Raucher sind und Personen, die Raucher sind keinen Unterschied zwischen dem Zusammenhang von Schlaf und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

   2. Interpretieren Sie die 95%-KIs für die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta_1}\), \(e^{\beta_2}\) und \(e^{\beta_3}\).

                         2.5 %    97.5 %
      (Intercept)    0.1300385 0.3219603
      Raucher        0.8044692 2.6615446
      Schlaf         0.9819237 2.3638114
      Raucher:Schlaf 0.6576484 2.2161761

      Lösung

      Interpretation KI für \(e^{\alpha}\): Wir gehen davon aus, dass für Personen, die durchschnittlich lang schlafen und die kein Raucher sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, zwischen 0.13 und 0.322 liegen.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_1}\): Wir gehen davon aus, dass bei Personen, die durchschnittlich lang schlafen und Raucher sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln um den Faktor 0.804 bis 2.662 höher sind, als bei Personen, die durchschnittlich lang schlafen und kein Raucher sind.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_2}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die kein Raucher sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, um den Faktor 0.982 bis 2.364 erhöhen, falls sich die tägliche Menge Schlaf um eine Standardabweichung erhöht.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_3}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die Raucher sind die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, um den Faktor 0.658 bis 2.216 stärker erhöhen als bei Personen, die kein Raucher sind, falls sich die tägliche Menge Schlaf um eine Standardabweichung erhöht.

Version 3

2. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, (1) von der täglichen Menge Schlaf (z-standardisiert) abhängt und (2) davon abhängt, ob man verheiratet ist oder nicht. Außerdem möchten Sie prüfen, ob (3) der Zusammenhang zwischen Schlaf und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung unterschiedlich ist, je nachdem ob eine Person verheiratet ist oder nicht.

   Sie wählen “nicht verheiratet” als Referenzkategorie.

   1. Treffen Sie die Testentscheidung bezüglich der genannten Hypothesen bei einem Konfidenzniveau von \(\alpha\) = 0.005.

      Call:
      glm(Atemwegserkrankung ~ verheiratet * Schlaf, family = 'binomial', 
          data = data)

      Coefficients:
                         Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
      (Intercept)         -3.2235     0.4826  -6.680 2.39e-11 ***
      verheiratet          2.0334     0.5261   3.865 0.000111 ***
      Schlaf               1.1348     0.3796   2.990 0.002794 ** 
      verheiratet:Schlaf  -0.2713     0.4367  -0.621 0.534394    

      Lösung

      Testentscheidung für die Alternativhypothese \(H_1: \beta_1 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es für Personen mit einer durchschnittlichen Menge an Schlaf einen Zusammenhang zwischen verheiratet sein und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

      Testentscheidung für die Alternativhypothese \(H_1: \beta_2 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es bei Personen der Referenzkategorie (die also nicht verheiratet sind) einen Zusammenhang zwischen Schlaf und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_3 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es zwischen Personen, die nicht verheiratet sind und Personen, die verheiratet sind keinen Unterschied zwischen dem Zusammenhang von Schlaf und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

   2. Interpretieren Sie die 95%-KIs für die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta_1}\), \(e^{\beta_2}\) und \(e^{\beta_3}\).

                              2.5 %      97.5 %
      (Intercept)        0.01311928  0.09031686
      verheiratet        3.00637776 24.67518156
      Schlaf             1.53316272  7.00980546
      verheiratet:Schlaf 0.30861059  1.75582499

      Lösung

      Interpretation KI für \(e^{\alpha}\): Wir gehen davon aus, dass für Personen, die durchschnittlich lang schlafen und die nicht verheiratet sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, zwischen 0.013 und 0.09 liegen.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_1}\): Wir gehen davon aus, dass bei Personen, die durchschnittlich lang schlafen und verheiratet sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln um den Faktor 3.006 bis 24.675 höher sind, als bei Personen, die durchschnittlich lang schlafen und nicht verheiratet sind.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_2}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die nicht verheiratet sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, um den Faktor 1.533 bis 7.01 erhöhen, falls sich die tägliche Menge Schlaf um eine Standardabweichung erhöht.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_3}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die verheiratet sind die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, um den Faktor 0.309 bis 1.756 stärker erhöhen als bei Personen, die nicht verheiratet sind, falls sich die tägliche Menge Schlaf um eine Standardabweichung erhöht.

Version 4

2. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, Diabetes zu entwickeln, (1) von der täglichen Menge Meditation (z-standardisiert) abhängt und (2) davon abhängt, ob man verheiratet ist oder nicht. Außerdem möchten Sie prüfen, ob (3) der Zusammenhang zwischen Meditation und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes unterschiedlich ist, je nachdem ob eine Person verheiratet ist oder nicht.

   Sie wählen “nicht verheiratet” als Referenzkategorie.

   1. Treffen Sie die Testentscheidung bezüglich der genannten Hypothesen bei einem Konfidenzniveau von \(\alpha\) = 0.005.

      Call:
      glm(Diabetes ~ verheiratet * Meditation, family = 'binomial', 
          data = data)

      Coefficients:
                             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
      (Intercept)             -2.7943     0.3773  -7.405 1.31e-13 ***
      verheiratet              1.2525     0.4416   2.836  0.00457 ** 
      Meditation               0.5904     0.3611   1.635  0.10203    
      verheiratet:Meditation   0.1694     0.4243   0.399  0.68967    

      Lösung

      Testentscheidung für die Alternativhypothese \(H_1: \beta_1 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es für Personen mit einer durchschnittlichen Menge an Meditation einen Zusammenhang zwischen verheiratet sein und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_2 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es bei Personen der Referenzkategorie (die also nicht verheiratet sind) keinen Zusammenhang zwischen Meditation und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_3 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es zwischen Personen, die nicht verheiratet sind und Personen, die verheiratet sind keinen Unterschied zwischen dem Zusammenhang von Meditation und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes gibt.

   2. Interpretieren Sie die 95%-KIs für die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta_1}\), \(e^{\beta_2}\) und \(e^{\beta_3}\).

                                  2.5 %    97.5 %
      (Intercept)            0.02621811 0.1185096
      verheiratet            1.53928125 8.9809022
      Meditation             0.89571120 3.7646967
      verheiratet:Meditation 0.50834413 2.7231469

      Lösung

      Interpretation KI für \(e^{\alpha}\): Wir gehen davon aus, dass für Personen, die durchschnittlich viel meditieren und die nicht verheiratet sind, die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, zwischen 0.026 und 0.119 liegen.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_1}\): Wir gehen davon aus, dass bei Personen, die durchschnittlich viel meditieren und verheiratet sind, die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln um den Faktor 1.539 bis 8.981 höher sind, als bei Personen, die durchschnittlich viel meditieren und nicht verheiratet sind.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_2}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die nicht verheiratet sind, die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, um den Faktor 0.896 bis 3.765 erhöhen, falls sich die tägliche Menge Meditation um eine Standardabweichung erhöht.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_3}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die verheiratet sind die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, um den Faktor 0.508 bis 2.723 stärker erhöhen als bei Personen, die nicht verheiratet sind, falls sich die tägliche Menge Meditation um eine Standardabweichung erhöht.

Version 5

2. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, (1) von der täglichen Menge Sport (z-standardisiert) abhängt und (2) davon abhängt, ob man Raucher ist oder nicht. Außerdem möchten Sie prüfen, ob (3) der Zusammenhang zwischen Sport und der Wahrscheinlichkeit einer Schlafstörung unterschiedlich ist, je nachdem ob eine Person Raucher ist oder nicht.

   Sie wählen “kein Raucher” als Referenzkategorie.

   1. Treffen Sie die Testentscheidung bezüglich der genannten Hypothesen bei einem Konfidenzniveau von \(\alpha\) = 0.005.

      Call:
      glm(Schlafstörung ~ Raucher * Sport, family = 'binomial', 
          data = data)

      Coefficients:
                    Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
      (Intercept)    -2.5626     0.3649  -7.023 2.18e-12 ***
      Raucher         1.1046     0.4310   2.563  0.01038 *  
      Sport           1.0096     0.3098   3.259  0.00112 ** 
      Raucher:Sport  -0.1168     0.3993  -0.293  0.76984    

      Lösung

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_1 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es für Personen mit einer durchschnittlichen Menge an Sport keinen Zusammenhang zwischen Raucher sein und der Wahrscheinlichkeit einer Schlafstörung gibt.

      Testentscheidung für die Alternativhypothese \(H_1: \beta_2 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es bei Personen der Referenzkategorie (die also kein Raucher sind) einen Zusammenhang zwischen Sport und der Wahrscheinlichkeit einer Schlafstörung gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_3 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es zwischen Personen, die kein Raucher sind und Personen, die Raucher sind keinen Unterschied zwischen dem Zusammenhang von Sport und der Wahrscheinlichkeit einer Schlafstörung gibt.

   2. Interpretieren Sie die 95%-KIs für die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta_1}\), \(e^{\beta_2}\) und \(e^{\beta_3}\).

                         2.5 %    97.5 %
      (Intercept)   0.03407068 0.1457745
      Raucher       1.35438984 7.5450054
      Sport         1.55378364 5.3042197
      Raucher:Sport 0.39711495 1.9272354

      Lösung

      Interpretation KI für \(e^{\alpha}\): Wir gehen davon aus, dass für Personen, die durchschnittlich viel Sport machen und die kein Raucher sind, die Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, zwischen 0.034 und 0.146 liegen.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_1}\): Wir gehen davon aus, dass bei Personen, die durchschnittlich viel Sport machen und Raucher sind, die Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln um den Faktor 1.354 bis 7.545 höher sind, als bei Personen, die durchschnittlich viel Sport machen und kein Raucher sind.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_2}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die kein Raucher sind, die Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, um den Faktor 1.554 bis 5.304 erhöhen, falls sich die tägliche Menge Sport um eine Standardabweichung erhöht.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_3}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die Raucher sind die Odds dafür, eine Schlafstörung zu entwickeln, um den Faktor 0.397 bis 1.927 stärker erhöhen als bei Personen, die kein Raucher sind, falls sich die tägliche Menge Sport um eine Standardabweichung erhöht.

Version 6

2. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, Diabetes zu entwickeln, (1) von der täglichen Menge Schlaf (z-standardisiert) abhängt und (2) davon abhängt, ob man gestresst ist oder nicht. Außerdem möchten Sie prüfen, ob (3) der Zusammenhang zwischen Schlaf und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes unterschiedlich ist, je nachdem ob eine Person gestresst ist oder nicht.

   Sie wählen “nicht gestresst” als Referenzkategorie.

   1. Treffen Sie die Testentscheidung bezüglich der genannten Hypothesen bei einem Konfidenzniveau von \(\alpha\) = 0.005.

      Call:
      glm(Diabetes ~ gestresst * Schlaf, family = 'binomial', 
          data = data)

      Coefficients:
                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
      (Intercept)       -2.3081     0.3219  -7.170  7.5e-13 ***
      gestresst          0.9840     0.3797   2.591  0.00956 ** 
      Schlaf             0.6761     0.2934   2.304  0.02120 *  
      gestresst:Schlaf  -0.0648     0.3545  -0.183  0.85497    

      Lösung

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_1 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es für Personen mit einer durchschnittlichen Menge an Schlaf keinen Zusammenhang zwischen gestresst sein und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_2 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es bei Personen der Referenzkategorie (die also nicht gestresst sind) keinen Zusammenhang zwischen Schlaf und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_3 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es zwischen Personen, die nicht gestresst sind und Personen, die gestresst sind keinen Unterschied zwischen dem Zusammenhang von Schlaf und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes gibt.

   2. Interpretieren Sie die 95%-KIs für die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta_1}\), \(e^{\beta_2}\) und \(e^{\beta_3}\).

                            2.5 %    97.5 %
      (Intercept)      0.04918031 0.1766895
      gestresst        1.31344226 5.9262577
      Schlaf           1.12107275 3.5903603
      gestresst:Schlaf 0.46119358 1.8712526

      Lösung

      Interpretation KI für \(e^{\alpha}\): Wir gehen davon aus, dass für Personen, die durchschnittlich lang schlafen und die nicht gestresst sind, die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, zwischen 0.049 und 0.177 liegen.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_1}\): Wir gehen davon aus, dass bei Personen, die durchschnittlich lang schlafen und gestresst sind, die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln um den Faktor 1.313 bis 5.926 höher sind, als bei Personen, die durchschnittlich lang schlafen und nicht gestresst sind.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_2}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die nicht gestresst sind, die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, um den Faktor 1.121 bis 3.59 erhöhen, falls sich die tägliche Menge Schlaf um eine Standardabweichung erhöht.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_3}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die gestresst sind die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, um den Faktor 0.461 bis 1.871 stärker erhöhen als bei Personen, die nicht gestresst sind, falls sich die tägliche Menge Schlaf um eine Standardabweichung erhöht.

Version 7

2. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, Diabetes zu entwickeln, (1) von der täglichen Menge Sport (z-standardisiert) abhängt und (2) davon abhängt, ob man Raucher ist oder nicht. Außerdem möchten Sie prüfen, ob (3) der Zusammenhang zwischen Sport und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes unterschiedlich ist, je nachdem ob eine Person Raucher ist oder nicht.

   Sie wählen “kein Raucher” als Referenzkategorie.

   1. Treffen Sie die Testentscheidung bezüglich der genannten Hypothesen bei einem Konfidenzniveau von \(\alpha\) = 0.005.

      Call:
      glm(Diabetes ~ Raucher * Sport, family = 'binomial', 
          data = data)

      Coefficients:
                    Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
      (Intercept)    -1.8138     0.2530  -7.169 7.57e-13 ***
      Raucher         0.4895     0.3294   1.486   0.1372    
      Sport           0.5617     0.2340   2.400   0.0164 *  
      Raucher:Sport   0.1963     0.3251   0.604   0.5459    

      Lösung

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_1 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es für Personen mit einer durchschnittlichen Menge an Sport keinen Zusammenhang zwischen Raucher sein und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_2 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es bei Personen der Referenzkategorie (die also kein Raucher sind) keinen Zusammenhang zwischen Sport und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_3 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es zwischen Personen, die kein Raucher sind und Personen, die Raucher sind keinen Unterschied zwischen dem Zusammenhang von Sport und der Wahrscheinlichkeit für Diabetes gibt.

   2. Interpretieren Sie die 95%-KIs für die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta_1}\), \(e^{\beta_2}\) und \(e^{\beta_3}\).

                         2.5 %    97.5 %
      (Intercept)   0.09542414 0.2594823
      Raucher       0.86239655 3.1668593
      Sport         1.12470471 2.8414290
      Raucher:Sport 0.64024385 2.3074268

      Lösung

      Interpretation KI für \(e^{\alpha}\): Wir gehen davon aus, dass für Personen, die durchschnittlich viel Sport machen und die kein Raucher sind, die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, zwischen 0.095 und 0.259 liegen.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_1}\): Wir gehen davon aus, dass bei Personen, die durchschnittlich viel Sport machen und Raucher sind, die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln um den Faktor 0.862 bis 3.167 höher sind, als bei Personen, die durchschnittlich viel Sport machen und kein Raucher sind.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_2}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die kein Raucher sind, die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, um den Faktor 1.125 bis 2.841 erhöhen, falls sich die tägliche Menge Sport um eine Standardabweichung erhöht.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_3}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die Raucher sind die Odds dafür, Diabetes zu entwickeln, um den Faktor 0.64 bis 2.307 stärker erhöhen als bei Personen, die kein Raucher sind, falls sich die tägliche Menge Sport um eine Standardabweichung erhöht.

Version 8

2. Sie interessieren sich dafür, inwiefern die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, (1) von der täglichen Menge Meditation (z-standardisiert) abhängt und (2) davon abhängt, ob man Bauchschläfer ist oder nicht. Außerdem möchten Sie prüfen, ob (3) der Zusammenhang zwischen Meditation und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung unterschiedlich ist, je nachdem ob eine Person Bauchschläfer ist oder nicht.

   Sie wählen “kein Bauchschläfer” als Referenzkategorie.

   1. Treffen Sie die Testentscheidung bezüglich der genannten Hypothesen bei einem Konfidenzniveau von \(\alpha\) = 0.005.

      Call:
      glm(Atemwegserkrankung ~ Bauchschläfer * Meditation, family = 'binomial', 
          data = data)

      Coefficients:
                               Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
      (Intercept)               -2.3337     0.2874  -8.119  4.7e-16 ***
      Bauchschläfer              0.8879     0.3715   2.390   0.0169 *  
      Meditation                 0.4244     0.2587   1.641   0.1009    
      Bauchschläfer:Meditation   0.3950     0.3609   1.094   0.2738    

      Lösung

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_1 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es für Personen mit einer durchschnittlichen Menge an Meditation keinen Zusammenhang zwischen Bauchschläfer sein und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_2 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es bei Personen der Referenzkategorie (die also kein Bauchschläfer sind) keinen Zusammenhang zwischen Meditation und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

      Testentscheidung gegen die Alternativhypothese \(H_1: \beta_3 \neq 0\):
      Wir gehen davon aus, dass es zwischen Personen, die kein Bauchschläfer sind und Personen, die Bauchschläfer sind keinen Unterschied zwischen dem Zusammenhang von Meditation und der Wahrscheinlichkeit einer Atemwegserkrankung gibt.

   2. Interpretieren Sie die 95%-KIs für die Parameter \(e^{\alpha}\), \(e^{\beta_1}\), \(e^{\beta_2}\) und \(e^{\beta_3}\).

                                    2.5 %    97.5 %
      (Intercept)              0.05224251 0.1631658
      Bauchschläfer            1.18501998 5.1627450
      Meditation               0.92303486 2.5699901
      Bauchschläfer:Meditation 0.73484706 3.0468031

      Lösung

      Interpretation KI für \(e^{\alpha}\): Wir gehen davon aus, dass für Personen, die durchschnittlich viel meditieren und die kein Bauchschläfer sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, zwischen 0.052 und 0.163 liegen.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_1}\): Wir gehen davon aus, dass bei Personen, die durchschnittlich viel meditieren und Bauchschläfer sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln um den Faktor 1.185 bis 5.163 höher sind, als bei Personen, die durchschnittlich viel meditieren und kein Bauchschläfer sind.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_2}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die kein Bauchschläfer sind, die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, um den Faktor 0.923 bis 2.57 erhöhen, falls sich die tägliche Menge Meditation um eine Standardabweichung erhöht.

      Interpretation KI für \(e^{\beta_3}\): Wir gehen davon aus, dass sich bei Personen, die Bauchschläfer sind die Odds dafür, eine Atemwegserkrankung zu entwickeln, um den Faktor 0.735 bis 3.047 stärker erhöhen als bei Personen, die kein Bauchschläfer sind, falls sich die tägliche Menge Meditation um eine Standardabweichung erhöht.