| Studie | \(t\) | \(p\) | \(n_1\) | \(n_2\) |
|---|---|---|---|---|
| Studie 1 | 1.937 | 0.0281 | 42 | 42 |
| Studie 2 | 1.392 | 0.0833 | 57 | 57 |
| Studie 3 | 1.901 | 0.0359 | 11 | 11 |
Übungsaufgaben
Nicht-zusammengesetzte Hypothesentests und Metaanalyse
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Sie vermuten, dass Personen mit gesteigertem Selbstwertgefühl im Mittel eine höhere (stetige) Lebenszufriedenheit aufweisen als Personen ohne gesteigertem Selbstwertgefühl. Dabei können Sie auf N = 3 bereits veröffentlichte Studien zurückgreifen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Studien, wobei \(t\) die Realisation der Teststatistik (t-Test für unabhängige Stichproben mit gerichteten Hypothesen) bezeichnet, \(p\) den dazugehörigen \(p\)-Wert und \(n_1\) sowie \(n_2\) die jeweiligen Stichprobengrößen der einzelnen Studien.
Stellen Sie die statistischen Hypothesen für den Hypothesentest der Metaanalyse auf.
Lösung\[H_0: \delta \leq 0\]
\[H_1: \delta > 0\]
Berechnen Sie für alle drei Studien die einzelnen Schätzwerte \(d_{j}\) für Cohen's \(\delta\).
Lösung\[d_j = t_j \cdot \sqrt{\frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}}}\]
\[ \begin{aligned} d_{1} &= 1.937 \cdot \sqrt{ \frac{ 42 + 42}{ 42 \cdot 42}} = 0.423\\d_{2} &= 1.392 \cdot \sqrt{ \frac{ 57 + 57}{ 57 \cdot 57}} = 0.261\\d_{3} &= 1.901 \cdot \sqrt{ \frac{ 11 + 11}{ 11 \cdot 11}} = 0.811 \end{aligned} \]
Berechnen Sie den metaanalytischen Schätzwert \(d\) für Cohen's \(\delta\).
LösungZunächst die Berechnung der einzelnen \(\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}\):
\[ \begin{aligned} {\widehat{\sigma}}_{j\ wert}^{2} &= \frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}} + \frac{d_{j}^{2}}{2 \cdot ( n_{1j} + n_{2j} )} \\ \widehat{\sigma}_{1\ wert}^2 &= \frac{42 + 42}{42 \cdot 42} + \frac{0.423^2}{2 \cdot (42 + 42)} = 0.049\\\widehat{\sigma}_{2\ wert}^2 &= \frac{57 + 57}{57 \cdot 57} + \frac{0.261^2}{2 \cdot (57 + 57)} = 0.035\\\widehat{\sigma}_{3\ wert}^2 &= \frac{11 + 11}{11 \cdot 11} + \frac{0.811^2}{2 \cdot (11 + 11)} = 0.197 \end{aligned} \]
Mit \(\omega_j = \frac{1}{\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}}\) lässt sich dann aus allen einzelnen Schätzungen \(d_j\) ein gemeinsamer metaanalytischer Schätzwert \(d\) für \(\delta\) berechnen:
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}}\sum_{j = 1}^{N}{w_{j} \cdot d_{j}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{0.049} + \frac{1}{0.035} + \frac{1}{0.197}} \cdot \left[\frac{1}{0.049} \cdot (0.423) + \frac{1}{0.035} \cdot (0.261) + \frac{1}{0.197} \cdot (0.811)\right] \\ &=0.374 \end{aligned} \]
Geben Sie den kritischen Bereich für den metaanalytischen Hypothesentest bei einem Signifikanzniveau von 0.005 an.
LösungDie Teststatistik des metaanalytischen Hypothesentests ist unter der \(H_0\) approximativ standardnormalverteilt:
qnorm(0.995, 0, 1)[1] 2.575829\[ K_{T} = \lbrack + 2.576;\ + \infty\lbrack \]
Führen Sie den metaanalytischen Hypothesentest durch, treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösung\[ \begin{aligned} t &= ({\widehat{\theta}}_{wert} - \theta_{0})\sqrt{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}} \\ &= (0.374 - 0) \cdot \sqrt{\frac{1}{0.049} + \frac{1}{0.035} + \frac{1}{0.197}} \\ &=2.75 \\ t &= 2.75\ \in \ K_{T} = \lbrack + 2.576;\ + \infty\lbrack \end{aligned} \]
Wir treffen die Entscheidung für die Alternativhypothese, also dass Personen mit gesteigertem Selbstwertgefühl im Mittel eine höhere Lebenszufriedenheit aufweisen als Personen ohne gesteigertem Selbstwertgefühl.
Sie vermuten, dass Personen mit Abitur im Mittel eine niedrigere (stetige) psychische Belastbarkeit aufweisen als Personen ohne Abitur. Dabei können Sie auf N = 3 bereits veröffentlichte Studien zurückgreifen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Studien, wobei \(t\) die Realisation der Teststatistik (t-Test für unabhängige Stichproben mit gerichteten Hypothesen) bezeichnet, \(p\) den dazugehörigen \(p\)-Wert und \(n_1\) sowie \(n_2\) die jeweiligen Stichprobengrößen der einzelnen Studien.
Studie \(t\) \(p\) \(n_1\) \(n_2\) Studie 1 -0.424 0.3368 22 22 Studie 2 0.763 0.7724 10 10 Studie 3 0.272 0.6066 28 28 Stellen Sie die statistischen Hypothesen für den Hypothesentest der Metaanalyse auf.
Lösung\[H_0: \delta \geq 0\]
\[H_1: \delta < 0\]
Berechnen Sie für alle drei Studien die einzelnen Schätzwerte \(d_{j}\) für Cohen's \(\delta\).
Lösung\[d_j = t_j \cdot \sqrt{\frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}}}\]
\[ \begin{aligned} d_{1} &= -0.424 \cdot \sqrt{ \frac{ 22 + 22}{ 22 \cdot 22}} = -0.128\\d_{2} &= 0.763 \cdot \sqrt{ \frac{ 10 + 10}{ 10 \cdot 10}} = 0.341\\d_{3} &= 0.272 \cdot \sqrt{ \frac{ 28 + 28}{ 28 \cdot 28}} = 0.073 \end{aligned} \]
Berechnen Sie den metaanalytischen Schätzwert \(d\) für Cohen's \(\delta\).
LösungZunächst die Berechnung der einzelnen \(\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}\):
\[ \begin{aligned} {\widehat{\sigma}}_{j\ wert}^{2} &= \frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}} + \frac{d_{j}^{2}}{2 \cdot ( n_{1j} + n_{2j} )} \\ \widehat{\sigma}_{1\ wert}^2 &= \frac{22 + 22}{22 \cdot 22} + \frac{-0.128^2}{2 \cdot (22 + 22)} = 0.091\\\widehat{\sigma}_{2\ wert}^2 &= \frac{10 + 10}{10 \cdot 10} + \frac{0.341^2}{2 \cdot (10 + 10)} = 0.203\\\widehat{\sigma}_{3\ wert}^2 &= \frac{28 + 28}{28 \cdot 28} + \frac{0.073^2}{2 \cdot (28 + 28)} = 0.071 \end{aligned} \]
Mit \(\omega_j = \frac{1}{\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}}\) lässt sich dann aus allen einzelnen Schätzungen \(d_j\) ein gemeinsamer metaanalytischer Schätzwert \(d\) für \(\delta\) berechnen:
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}}\sum_{j = 1}^{N}{w_{j} \cdot d_{j}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{0.091} + \frac{1}{0.203} + \frac{1}{0.071}} \cdot \left[\frac{1}{0.091} \cdot (-0.128) + \frac{1}{0.203} \cdot (0.341) + \frac{1}{0.071} \cdot (0.073)\right] \\ &=0.043 \end{aligned} \]
Geben Sie den kritischen Bereich für den metaanalytischen Hypothesentest bei einem Signifikanzniveau von 0.005 an.
LösungDie Teststatistik des metaanalytischen Hypothesentests ist unter der \(H_0\) approximativ standardnormalverteilt:
qnorm(0.005, 0, 1)[1] -2.575829\[ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \]
Führen Sie den metaanalytischen Hypothesentest durch, treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösung\[ \begin{aligned} t &= ({\widehat{\theta}}_{wert} - \theta_{0})\sqrt{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}} \\ &= (0.043 - 0) \cdot \sqrt{\frac{1}{0.091} + \frac{1}{0.203} + \frac{1}{0.071}} \\ &=0.236 \\ t &= 0.236\ \notin \ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \end{aligned} \]
Wir treffen die Entscheidung für die Nullhypothese, also dass Personen mit Abitur im Mittel keine niedrigere psychische Belastbarkeit aufweisen als Personen ohne Abitur.
Sie vermuten, dass Personen mit musikalischer Früherziehung im Mittel eine niedrigere (stetige) kreative Begabung aufweisen als Personen ohne musikalischer Früherziehung. Dabei können Sie auf N = 4 bereits veröffentlichte Studien zurückgreifen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Studien, wobei \(t\) die Realisation der Teststatistik (t-Test für unabhängige Stichproben mit gerichteten Hypothesen) bezeichnet, \(p\) den dazugehörigen \(p\)-Wert und \(n_1\) sowie \(n_2\) die jeweiligen Stichprobengrößen der einzelnen Studien.
Studie \(t\) \(p\) \(n_1\) \(n_2\) Studie 1 0.410 0.6581 25 25 Studie 2 -1.652 0.0545 16 16 Studie 3 -1.543 0.0630 49 49 Studie 4 -1.632 0.0532 42 42 Stellen Sie die statistischen Hypothesen für den Hypothesentest der Metaanalyse auf.
Lösung\[H_0: \delta \geq 0\]
\[H_1: \delta < 0\]
Berechnen Sie für alle drei Studien die einzelnen Schätzwerte \(d_{j}\) für Cohen's \(\delta\).
Lösung\[d_j = t_j \cdot \sqrt{\frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}}}\]
\[ \begin{aligned} d_{1} &= 0.41 \cdot \sqrt{ \frac{ 25 + 25}{ 25 \cdot 25}} = 0.116\\d_{2} &= -1.652 \cdot \sqrt{ \frac{ 16 + 16}{ 16 \cdot 16}} = -0.584\\d_{3} &= -1.543 \cdot \sqrt{ \frac{ 49 + 49}{ 49 \cdot 49}} = -0.312\\d_{4} &= -1.632 \cdot \sqrt{ \frac{ 42 + 42}{ 42 \cdot 42}} = -0.356 \end{aligned} \]
Berechnen Sie den metaanalytischen Schätzwert \(d\) für Cohen's \(\delta\).
LösungZunächst die Berechnung der einzelnen \(\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}\):
\[ \begin{aligned} {\widehat{\sigma}}_{j\ wert}^{2} &= \frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}} + \frac{d_{j}^{2}}{2 \cdot ( n_{1j} + n_{2j} )} \\ \widehat{\sigma}_{1\ wert}^2 &= \frac{25 + 25}{25 \cdot 25} + \frac{0.116^2}{2 \cdot (25 + 25)} = 0.08\\\widehat{\sigma}_{2\ wert}^2 &= \frac{16 + 16}{16 \cdot 16} + \frac{-0.584^2}{2 \cdot (16 + 16)} = 0.13\\\widehat{\sigma}_{3\ wert}^2 &= \frac{49 + 49}{49 \cdot 49} + \frac{-0.312^2}{2 \cdot (49 + 49)} = 0.041\\\widehat{\sigma}_{4\ wert}^2 &= \frac{42 + 42}{42 \cdot 42} + \frac{-0.356^2}{2 \cdot (42 + 42)} = 0.048 \end{aligned} \]
Mit \(\omega_j = \frac{1}{\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}}\) lässt sich dann aus allen einzelnen Schätzungen \(d_j\) ein gemeinsamer metaanalytischer Schätzwert \(d\) für \(\delta\) berechnen:
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}}\sum_{j = 1}^{N}{w_{j} \cdot d_{j}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{0.08} + \frac{1}{0.13} + \frac{1}{0.041} + \frac{1}{0.048}} \cdot \left[\frac{1}{0.08} \cdot (0.116) + \frac{1}{0.13} \cdot (-0.584) + \frac{1}{0.041} \cdot (-0.312) + \frac{1}{0.048} \cdot (-0.356)\right] \\ &=-0.276 \end{aligned} \]
Geben Sie den kritischen Bereich für den metaanalytischen Hypothesentest bei einem Signifikanzniveau von 0.005 an.
LösungDie Teststatistik des metaanalytischen Hypothesentests ist unter der \(H_0\) approximativ standardnormalverteilt:
qnorm(0.005, 0, 1)[1] -2.575829\[ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \]
Führen Sie den metaanalytischen Hypothesentest durch, treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösung\[ \begin{aligned} t &= ({\widehat{\theta}}_{wert} - \theta_{0})\sqrt{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}} \\ &= (-0.276 - 0) \cdot \sqrt{\frac{1}{0.08} + \frac{1}{0.13} + \frac{1}{0.041} + \frac{1}{0.048}} \\ &=-2.232 \\ t &= -2.232\ \notin \ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \end{aligned} \]
Wir treffen die Entscheidung für die Nullhypothese, also dass Personen mit musikalischer Früherziehung im Mittel keine niedrigere kreative Begabung aufweisen als Personen ohne musikalischer Früherziehung.
Sie vermuten, dass Personen mit Abschluss in Psychologie im Mittel eine niedrigere (stetige) Lebenszufriedenheit aufweisen als Personen ohne Abschluss in Psychologie. Dabei können Sie auf N = 3 bereits veröffentlichte Studien zurückgreifen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Studien, wobei \(t\) die Realisation der Teststatistik (t-Test für unabhängige Stichproben mit gerichteten Hypothesen) bezeichnet, \(p\) den dazugehörigen \(p\)-Wert und \(n_1\) sowie \(n_2\) die jeweiligen Stichprobengrößen der einzelnen Studien.
Studie \(t\) \(p\) \(n_1\) \(n_2\) Studie 1 -1.064 0.1479 16 16 Studie 2 -1.231 0.1171 10 10 Studie 3 -0.413 0.3410 22 22 Stellen Sie die statistischen Hypothesen für den Hypothesentest der Metaanalyse auf.
Lösung\[H_0: \delta \geq 0\]
\[H_1: \delta < 0\]
Berechnen Sie für alle drei Studien die einzelnen Schätzwerte \(d_{j}\) für Cohen's \(\delta\).
Lösung\[d_j = t_j \cdot \sqrt{\frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}}}\]
\[ \begin{aligned} d_{1} &= -1.064 \cdot \sqrt{ \frac{ 16 + 16}{ 16 \cdot 16}} = -0.376\\d_{2} &= -1.231 \cdot \sqrt{ \frac{ 10 + 10}{ 10 \cdot 10}} = -0.551\\d_{3} &= -0.413 \cdot \sqrt{ \frac{ 22 + 22}{ 22 \cdot 22}} = -0.125 \end{aligned} \]
Berechnen Sie den metaanalytischen Schätzwert \(d\) für Cohen's \(\delta\).
LösungZunächst die Berechnung der einzelnen \(\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}\):
\[ \begin{aligned} {\widehat{\sigma}}_{j\ wert}^{2} &= \frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}} + \frac{d_{j}^{2}}{2 \cdot ( n_{1j} + n_{2j} )} \\ \widehat{\sigma}_{1\ wert}^2 &= \frac{16 + 16}{16 \cdot 16} + \frac{-0.376^2}{2 \cdot (16 + 16)} = 0.127\\\widehat{\sigma}_{2\ wert}^2 &= \frac{10 + 10}{10 \cdot 10} + \frac{-0.551^2}{2 \cdot (10 + 10)} = 0.208\\\widehat{\sigma}_{3\ wert}^2 &= \frac{22 + 22}{22 \cdot 22} + \frac{-0.125^2}{2 \cdot (22 + 22)} = 0.091 \end{aligned} \]
Mit \(\omega_j = \frac{1}{\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}}\) lässt sich dann aus allen einzelnen Schätzungen \(d_j\) ein gemeinsamer metaanalytischer Schätzwert \(d\) für \(\delta\) berechnen:
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}}\sum_{j = 1}^{N}{w_{j} \cdot d_{j}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{0.127} + \frac{1}{0.208} + \frac{1}{0.091}} \cdot \left[\frac{1}{0.127} \cdot (-0.376) + \frac{1}{0.208} \cdot (-0.551) + \frac{1}{0.091} \cdot (-0.125)\right] \\ &=-0.295 \end{aligned} \]
Geben Sie den kritischen Bereich für den metaanalytischen Hypothesentest bei einem Signifikanzniveau von 0.005 an.
LösungDie Teststatistik des metaanalytischen Hypothesentests ist unter der \(H_0\) approximativ standardnormalverteilt:
qnorm(0.005, 0, 1)[1] -2.575829\[ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \]
Führen Sie den metaanalytischen Hypothesentest durch, treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösung\[ \begin{aligned} t &= ({\widehat{\theta}}_{wert} - \theta_{0})\sqrt{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}} \\ &= (-0.295 - 0) \cdot \sqrt{\frac{1}{0.127} + \frac{1}{0.208} + \frac{1}{0.091}} \\ &=-1.435 \\ t &= -1.435\ \notin \ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \end{aligned} \]
Wir treffen die Entscheidung für die Nullhypothese, also dass Personen mit Abschluss in Psychologie im Mittel keine niedrigere Lebenszufriedenheit aufweisen als Personen ohne Abschluss in Psychologie.
Sie vermuten, dass Personen mit musikalischer Früherziehung im Mittel eine höhere (stetige) kreative Begabung aufweisen als Personen ohne musikalischer Früherziehung. Dabei können Sie auf N = 3 bereits veröffentlichte Studien zurückgreifen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Studien, wobei \(t\) die Realisation der Teststatistik (t-Test für unabhängige Stichproben mit gerichteten Hypothesen) bezeichnet, \(p\) den dazugehörigen \(p\)-Wert und \(n_1\) sowie \(n_2\) die jeweiligen Stichprobengrößen der einzelnen Studien.
Studie \(t\) \(p\) \(n_1\) \(n_2\) Studie 1 0.548 0.2952 10 10 Studie 2 0.638 0.2624 44 44 Studie 3 1.977 0.0286 16 16 Stellen Sie die statistischen Hypothesen für den Hypothesentest der Metaanalyse auf.
Lösung\[H_0: \delta \leq 0\]
\[H_1: \delta > 0\]
Berechnen Sie für alle drei Studien die einzelnen Schätzwerte \(d_{j}\) für Cohen's \(\delta\).
Lösung\[d_j = t_j \cdot \sqrt{\frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}}}\]
\[ \begin{aligned} d_{1} &= 0.548 \cdot \sqrt{ \frac{ 10 + 10}{ 10 \cdot 10}} = 0.245\\d_{2} &= 0.638 \cdot \sqrt{ \frac{ 44 + 44}{ 44 \cdot 44}} = 0.136\\d_{3} &= 1.977 \cdot \sqrt{ \frac{ 16 + 16}{ 16 \cdot 16}} = 0.699 \end{aligned} \]
Berechnen Sie den metaanalytischen Schätzwert \(d\) für Cohen's \(\delta\).
LösungZunächst die Berechnung der einzelnen \(\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}\):
\[ \begin{aligned} {\widehat{\sigma}}_{j\ wert}^{2} &= \frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}} + \frac{d_{j}^{2}}{2 \cdot ( n_{1j} + n_{2j} )} \\ \widehat{\sigma}_{1\ wert}^2 &= \frac{10 + 10}{10 \cdot 10} + \frac{0.245^2}{2 \cdot (10 + 10)} = 0.202\\\widehat{\sigma}_{2\ wert}^2 &= \frac{44 + 44}{44 \cdot 44} + \frac{0.136^2}{2 \cdot (44 + 44)} = 0.046\\\widehat{\sigma}_{3\ wert}^2 &= \frac{16 + 16}{16 \cdot 16} + \frac{0.699^2}{2 \cdot (16 + 16)} = 0.133 \end{aligned} \]
Mit \(\omega_j = \frac{1}{\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}}\) lässt sich dann aus allen einzelnen Schätzungen \(d_j\) ein gemeinsamer metaanalytischer Schätzwert \(d\) für \(\delta\) berechnen:
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}}\sum_{j = 1}^{N}{w_{j} \cdot d_{j}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{0.202} + \frac{1}{0.046} + \frac{1}{0.133}} \cdot \left[\frac{1}{0.202} \cdot (0.245) + \frac{1}{0.046} \cdot (0.136) + \frac{1}{0.133} \cdot (0.699)\right] \\ &=0.276 \end{aligned} \]
Geben Sie den kritischen Bereich für den metaanalytischen Hypothesentest bei einem Signifikanzniveau von 0.005 an.
LösungDie Teststatistik des metaanalytischen Hypothesentests ist unter der \(H_0\) approximativ standardnormalverteilt:
qnorm(0.995, 0, 1)[1] 2.575829\[ K_{T} = \lbrack + 2.576;\ + \infty\lbrack \]
Führen Sie den metaanalytischen Hypothesentest durch, treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösung\[ \begin{aligned} t &= ({\widehat{\theta}}_{wert} - \theta_{0})\sqrt{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}} \\ &= (0.276 - 0) \cdot \sqrt{\frac{1}{0.202} + \frac{1}{0.046} + \frac{1}{0.133}} \\ &=1.614 \\ t &= 1.614\ \notin \ K_{T} = \lbrack + 2.576;\ + \infty\lbrack \end{aligned} \]
Wir treffen die Entscheidung für die Nullhypothese, also dass Personen mit musikalischer Früherziehung im Mittel keine höhere kreative Begabung aufweisen als Personen ohne musikalischer Früherziehung.
Sie vermuten, dass Personen mit Abschluss in Psychologie im Mittel eine höhere (stetige) Lebenszufriedenheit aufweisen als Personen ohne Abschluss in Psychologie. Dabei können Sie auf N = 3 bereits veröffentlichte Studien zurückgreifen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Studien, wobei \(t\) die Realisation der Teststatistik (t-Test für unabhängige Stichproben mit gerichteten Hypothesen) bezeichnet, \(p\) den dazugehörigen \(p\)-Wert und \(n_1\) sowie \(n_2\) die jeweiligen Stichprobengrößen der einzelnen Studien.
Studie \(t\) \(p\) \(n_1\) \(n_2\) Studie 1 0.796 0.2165 15 15 Studie 2 0.363 0.3591 27 27 Studie 3 1.483 0.0715 33 33 Stellen Sie die statistischen Hypothesen für den Hypothesentest der Metaanalyse auf.
Lösung\[H_0: \delta \leq 0\]
\[H_1: \delta > 0\]
Berechnen Sie für alle drei Studien die einzelnen Schätzwerte \(d_{j}\) für Cohen's \(\delta\).
Lösung\[d_j = t_j \cdot \sqrt{\frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}}}\]
\[ \begin{aligned} d_{1} &= 0.796 \cdot \sqrt{ \frac{ 15 + 15}{ 15 \cdot 15}} = 0.291\\d_{2} &= 0.363 \cdot \sqrt{ \frac{ 27 + 27}{ 27 \cdot 27}} = 0.099\\d_{3} &= 1.483 \cdot \sqrt{ \frac{ 33 + 33}{ 33 \cdot 33}} = 0.365 \end{aligned} \]
Berechnen Sie den metaanalytischen Schätzwert \(d\) für Cohen's \(\delta\).
LösungZunächst die Berechnung der einzelnen \(\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}\):
\[ \begin{aligned} {\widehat{\sigma}}_{j\ wert}^{2} &= \frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}} + \frac{d_{j}^{2}}{2 \cdot ( n_{1j} + n_{2j} )} \\ \widehat{\sigma}_{1\ wert}^2 &= \frac{15 + 15}{15 \cdot 15} + \frac{0.291^2}{2 \cdot (15 + 15)} = 0.135\\\widehat{\sigma}_{2\ wert}^2 &= \frac{27 + 27}{27 \cdot 27} + \frac{0.099^2}{2 \cdot (27 + 27)} = 0.074\\\widehat{\sigma}_{3\ wert}^2 &= \frac{33 + 33}{33 \cdot 33} + \frac{0.365^2}{2 \cdot (33 + 33)} = 0.062 \end{aligned} \]
Mit \(\omega_j = \frac{1}{\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}}\) lässt sich dann aus allen einzelnen Schätzungen \(d_j\) ein gemeinsamer metaanalytischer Schätzwert \(d\) für \(\delta\) berechnen:
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}}\sum_{j = 1}^{N}{w_{j} \cdot d_{j}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{0.135} + \frac{1}{0.074} + \frac{1}{0.062}} \cdot \left[\frac{1}{0.135} \cdot (0.291) + \frac{1}{0.074} \cdot (0.099) + \frac{1}{0.062} \cdot (0.365)\right] \\ &=0.253 \end{aligned} \]
Geben Sie den kritischen Bereich für den metaanalytischen Hypothesentest bei einem Signifikanzniveau von 0.005 an.
LösungDie Teststatistik des metaanalytischen Hypothesentests ist unter der \(H_0\) approximativ standardnormalverteilt:
qnorm(0.995, 0, 1)[1] 2.575829\[ K_{T} = \lbrack + 2.576;\ + \infty\lbrack \]
Führen Sie den metaanalytischen Hypothesentest durch, treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösung\[ \begin{aligned} t &= ({\widehat{\theta}}_{wert} - \theta_{0})\sqrt{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}} \\ &= (0.253 - 0) \cdot \sqrt{\frac{1}{0.135} + \frac{1}{0.074} + \frac{1}{0.062}} \\ &=1.54 \\ t &= 1.54\ \notin \ K_{T} = \lbrack + 2.576;\ + \infty\lbrack \end{aligned} \]
Wir treffen die Entscheidung für die Nullhypothese, also dass Personen mit Abschluss in Psychologie im Mittel keine höhere Lebenszufriedenheit aufweisen als Personen ohne Abschluss in Psychologie.
Sie vermuten, dass Personen mit musikalischer Früherziehung im Mittel eine niedrigere (stetige) soziale Kompetenz aufweisen als Personen ohne musikalischer Früherziehung. Dabei können Sie auf N = 3 bereits veröffentlichte Studien zurückgreifen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Studien, wobei \(t\) die Realisation der Teststatistik (t-Test für unabhängige Stichproben mit gerichteten Hypothesen) bezeichnet, \(p\) den dazugehörigen \(p\)-Wert und \(n_1\) sowie \(n_2\) die jeweiligen Stichprobengrößen der einzelnen Studien.
Studie \(t\) \(p\) \(n_1\) \(n_2\) Studie 1 -2.374 0.0145 10 10 Studie 2 -4.488 0.0000 76 76 Studie 3 -1.216 0.1175 14 14 Stellen Sie die statistischen Hypothesen für den Hypothesentest der Metaanalyse auf.
Lösung\[H_0: \delta \geq 0\]
\[H_1: \delta < 0\]
Berechnen Sie für alle drei Studien die einzelnen Schätzwerte \(d_{j}\) für Cohen's \(\delta\).
Lösung\[d_j = t_j \cdot \sqrt{\frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}}}\]
\[ \begin{aligned} d_{1} &= -2.374 \cdot \sqrt{ \frac{ 10 + 10}{ 10 \cdot 10}} = -1.062\\d_{2} &= -4.488 \cdot \sqrt{ \frac{ 76 + 76}{ 76 \cdot 76}} = -0.728\\d_{3} &= -1.216 \cdot \sqrt{ \frac{ 14 + 14}{ 14 \cdot 14}} = -0.46 \end{aligned} \]
Berechnen Sie den metaanalytischen Schätzwert \(d\) für Cohen's \(\delta\).
LösungZunächst die Berechnung der einzelnen \(\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}\):
\[ \begin{aligned} {\widehat{\sigma}}_{j\ wert}^{2} &= \frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}} + \frac{d_{j}^{2}}{2 \cdot ( n_{1j} + n_{2j} )} \\ \widehat{\sigma}_{1\ wert}^2 &= \frac{10 + 10}{10 \cdot 10} + \frac{-1.062^2}{2 \cdot (10 + 10)} = 0.228\\\widehat{\sigma}_{2\ wert}^2 &= \frac{76 + 76}{76 \cdot 76} + \frac{-0.728^2}{2 \cdot (76 + 76)} = 0.028\\\widehat{\sigma}_{3\ wert}^2 &= \frac{14 + 14}{14 \cdot 14} + \frac{-0.46^2}{2 \cdot (14 + 14)} = 0.147 \end{aligned} \]
Mit \(\omega_j = \frac{1}{\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}}\) lässt sich dann aus allen einzelnen Schätzungen \(d_j\) ein gemeinsamer metaanalytischer Schätzwert \(d\) für \(\delta\) berechnen:
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}}\sum_{j = 1}^{N}{w_{j} \cdot d_{j}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{0.228} + \frac{1}{0.028} + \frac{1}{0.147}} \cdot \left[\frac{1}{0.228} \cdot (-1.062) + \frac{1}{0.028} \cdot (-0.728) + \frac{1}{0.147} \cdot (-0.46)\right] \\ &=-0.72 \end{aligned} \]
Geben Sie den kritischen Bereich für den metaanalytischen Hypothesentest bei einem Signifikanzniveau von 0.005 an.
LösungDie Teststatistik des metaanalytischen Hypothesentests ist unter der \(H_0\) approximativ standardnormalverteilt:
qnorm(0.005, 0, 1)[1] -2.575829\[ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \]
Führen Sie den metaanalytischen Hypothesentest durch, treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösung\[ \begin{aligned} t &= ({\widehat{\theta}}_{wert} - \theta_{0})\sqrt{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}} \\ &= (-0.72 - 0) \cdot \sqrt{\frac{1}{0.228} + \frac{1}{0.028} + \frac{1}{0.147}} \\ &=-4.931 \\ t &= -4.931\ \in \ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \end{aligned} \]
Wir treffen die Entscheidung für die Alternativhypothese, also dass Personen mit musikalischer Früherziehung im Mittel eine niedrigere soziale Kompetenz aufweisen als Personen ohne musikalischer Früherziehung.
Sie vermuten, dass Personen mit gesteigertem Selbstwertgefühl im Mittel eine niedrigere (stetige) Lebenszufriedenheit aufweisen als Personen ohne gesteigertem Selbstwertgefühl. Dabei können Sie auf N = 5 bereits veröffentlichte Studien zurückgreifen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Studien, wobei \(t\) die Realisation der Teststatistik (t-Test für unabhängige Stichproben mit gerichteten Hypothesen) bezeichnet, \(p\) den dazugehörigen \(p\)-Wert und \(n_1\) sowie \(n_2\) die jeweiligen Stichprobengrößen der einzelnen Studien.
Studie \(t\) \(p\) \(n_1\) \(n_2\) Studie 1 -1.200 0.1198 16 16 Studie 2 -3.947 0.0001 31 31 Studie 3 -1.015 0.1568 36 36 Studie 4 -3.048 0.0017 33 33 Studie 5 -0.898 0.1866 29 29 Stellen Sie die statistischen Hypothesen für den Hypothesentest der Metaanalyse auf.
Lösung\[H_0: \delta \geq 0\]
\[H_1: \delta < 0\]
Berechnen Sie für alle drei Studien die einzelnen Schätzwerte \(d_{j}\) für Cohen's \(\delta\).
Lösung\[d_j = t_j \cdot \sqrt{\frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}}}\]
\[ \begin{aligned} d_{1} &= -1.2 \cdot \sqrt{ \frac{ 16 + 16}{ 16 \cdot 16}} = -0.424\\d_{2} &= -3.947 \cdot \sqrt{ \frac{ 31 + 31}{ 31 \cdot 31}} = -1.003\\d_{3} &= -1.015 \cdot \sqrt{ \frac{ 36 + 36}{ 36 \cdot 36}} = -0.239\\d_{4} &= -3.048 \cdot \sqrt{ \frac{ 33 + 33}{ 33 \cdot 33}} = -0.75\\d_{5} &= -0.898 \cdot \sqrt{ \frac{ 29 + 29}{ 29 \cdot 29}} = -0.236 \end{aligned} \]
Berechnen Sie den metaanalytischen Schätzwert \(d\) für Cohen's \(\delta\).
LösungZunächst die Berechnung der einzelnen \(\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}\):
\[ \begin{aligned} {\widehat{\sigma}}_{j\ wert}^{2} &= \frac{n_{1j} + n_{2j}}{n_{1j} \cdot n_{2j}} + \frac{d_{j}^{2}}{2 \cdot ( n_{1j} + n_{2j} )} \\ \widehat{\sigma}_{1\ wert}^2 &= \frac{16 + 16}{16 \cdot 16} + \frac{-0.424^2}{2 \cdot (16 + 16)} = 0.128\\\widehat{\sigma}_{2\ wert}^2 &= \frac{31 + 31}{31 \cdot 31} + \frac{-1.003^2}{2 \cdot (31 + 31)} = 0.073\\\widehat{\sigma}_{3\ wert}^2 &= \frac{36 + 36}{36 \cdot 36} + \frac{-0.239^2}{2 \cdot (36 + 36)} = 0.056\\\widehat{\sigma}_{4\ wert}^2 &= \frac{33 + 33}{33 \cdot 33} + \frac{-0.75^2}{2 \cdot (33 + 33)} = 0.065\\\widehat{\sigma}_{5\ wert}^2 &= \frac{29 + 29}{29 \cdot 29} + \frac{-0.236^2}{2 \cdot (29 + 29)} = 0.069 \end{aligned} \]
Mit \(\omega_j = \frac{1}{\widehat{\sigma}^2_{j\ wert}}\) lässt sich dann aus allen einzelnen Schätzungen \(d_j\) ein gemeinsamer metaanalytischer Schätzwert \(d\) für \(\delta\) berechnen:
\[ \begin{aligned} d &= \frac{1}{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}}\sum_{j = 1}^{N}{w_{j} \cdot d_{j}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{0.128} + \frac{1}{0.073} + \frac{1}{0.056} + \frac{1}{0.065} + \frac{1}{0.069}} \cdot \left[\frac{1}{0.128} \cdot (-0.424) + \frac{1}{0.073} \cdot (-1.003) + \frac{1}{0.056} \cdot (-0.239) + \frac{1}{0.065} \cdot (-0.75) + \frac{1}{0.069} \cdot (-0.236)\right] \\ &=-0.524 \end{aligned} \]
Geben Sie den kritischen Bereich für den metaanalytischen Hypothesentest bei einem Signifikanzniveau von 0.005 an.
LösungDie Teststatistik des metaanalytischen Hypothesentests ist unter der \(H_0\) approximativ standardnormalverteilt:
qnorm(0.005, 0, 1)[1] -2.575829\[ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \]
Führen Sie den metaanalytischen Hypothesentest durch, treffen Sie die Testentscheidung und interpretieren Sie das Ergebnis.
Lösung\[ \begin{aligned} t &= ({\widehat{\theta}}_{wert} - \theta_{0})\sqrt{\sum_{j = 1}^{N}w_{j}} \\ &= (-0.524 - 0) \cdot \sqrt{\frac{1}{0.128} + \frac{1}{0.073} + \frac{1}{0.056} + \frac{1}{0.065} + \frac{1}{0.069}} \\ &=-4.36 \\ t &= -4.36\ \in \ K_{T} = \rbrack - \infty; -2.576 \rbrack \end{aligned} \]
Wir treffen die Entscheidung für die Alternativhypothese, also dass Personen mit gesteigertem Selbstwertgefühl im Mittel eine niedrigere Lebenszufriedenheit aufweisen als Personen ohne gesteigertem Selbstwertgefühl.