Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-42.447 -8.639 -0.222 10.155 42.160
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 52.372 1.640 31.925 < 2e-16 ***
Lernaufwand_z 6.361 1.655 3.844 0.00018 ***
Homeschooling 2.549 2.437 1.046 0.29739
Lernaufwand_z:Homeschooling 7.955 2.443 3.257 0.00140 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 14.84 on 146 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.3501, Adjusted R-squared: 0.3367
F-statistic: 26.21 on 3 and 146 DF, p-value: 1.269e-13Übungsaufgaben
Regressionsmodelle mit diskreten Prädiktoren und Interaktionen
Hinweis
Die hier veröffentlichten Übungsaufgaben sind brandneu und deshalb noch nicht auf Herz und Nieren überprüft. Sollten Sie Fehler entdecken, geben Sie uns bitte unbedingt eine Rückmeldung an philipp.sckopke(at)psy.lmu.de, damit wir so bald wie möglich eine verbesserte Version online stellen können.
Sie interessieren sich für den Einfluss der diskreten UV Homeschooling mit den Ausprägungen liegt vor und liegt nicht vor auf die stetige AV Zufriedenheit. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Homeschooling liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta \cdot D_{i} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).
Lösung\(\alpha\): erwartete Zufriedenheit bei Personen ohne Homeschooling.
\(\beta\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen Personen mit und ohne Homeschooling.
\(\alpha + \beta\): erwartete Zufriedenheit von Personen mit Homeschooling.
Sie interessieren sich außerdem für den Einfluss der diskreten UV Bildungseinrichtung mit den Ausprägungen Grundschule, Gymnasium und Uni auf die stetige AV Zufriedenheit. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Grundschule.
Stellen Sie die Modellgleichung mit Dummy-Variablen \(D_{{Gymnasium}_{i}}\) und \(D_{{Uni}_{i}}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\alpha + \beta_{Gymnasium}\), \(\alpha{+ \beta}_{Uni}\), \(\beta_{Gymnasium}\), \(\beta_{Uni}\) und \(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Grundschule: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i} \\ &Y_{i} = \alpha + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Gymnasium: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 1 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 1 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Uni: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 1 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 1 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Uni} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Entsprechend gilt:
\(\alpha\): erwartete Zufriedenheit bei Grundschule .
\(\alpha + \beta_{Gymnasium}\): erwartete Zufriedenheit bei Gymnasium .
\(\alpha + \beta_{Uni}\): erwartete Zufriedenheit bei Uni .
\(\beta_{Gymnasium}\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen Gymnasium und Grundschule .
\(\beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen Uni und Grundschule .
\(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen Gymnasium und Uni .
Sie wollen untersuchen, inwiefern der Einfluss der (stetigen) UV Lernaufwand_z (z-standardisiert) auf die stetige AV Zufriedenheit davon abhängt, ob Homeschooling vorliegt oder nicht. Hierfür wählen Sie als Referenzkategorie die Ausprägung Homeschooling liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\), \(\beta_{3}\), \(\alpha + \beta_{2}\) und \(\beta_{1} + \beta_{3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Homeschooling liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &D_i = 0\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 0 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 0 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Homeschooling liegt vor: \[ \begin{align*} &D_i = 1\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 1 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 1 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = (\alpha + \beta_{2}) + (\beta_{1} + \beta_{3}) \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
\(\alpha\): erwartete Zufriedenheit bei Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand, bei denen die UV Homeschooling nicht vorliegt.
\(\beta_{1}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Zufriedenheit bei Personen, bei denen die UV Homeschooling nicht vorliegt.
\(\beta_{2}\): Differenz in der erwarteten Zufriedenheit zwischen Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand, bei denen die UV Homeschooling vorliegt und Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand, bei denen die UV Homeschooling nicht vorliegt.
\(\beta_{3}\): Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Zufriedenheit zwischen Personen, bei denen die UV Homeschooling vorliegt, und Personen, bei denen die UV Homeschooling nicht vorliegt.
\(\alpha + \beta_{2}\): erwartete Zufriedenheit bei Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand, bei denen die UV Homeschooling vorliegt.
\(\beta_{1} + \beta_{3}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Zufriedenheit bei Personen, bei denen die UV Homeschooling vorliegt.
Sie wollen untersuchen, ob tatsächlich ein Interaktionseffekt vorliegt. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.
Lösung\[ \begin{align*} H_{0}:\beta_{3} = 0 \\ H_{1}:\beta_{3} \neq 0 \end{align*} \]
Treffen Sie für diese Hypothese eine Testentscheidung (\(\alpha = 0.005\)) anhand des folgenden R-Outputs.
LösungDer p-Wert ist mit 0.00140 kleiner als \(\alpha = 0.005\). Wir entscheiden uns daher für die \(H_{1}: \beta \neq 0\) und somit dafür, dass ein Interaktionseffekt vorliegt.
Interpretieren Sie das z-standardisierte KI für die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\) und \(\beta_{3}\).
2.5 % 97.5 % (Intercept) 49.129956 55.614228 Lernaufwand_z 3.090231 9.631519 Homeschooling -2.267808 7.365039 Lernaufwand_z:Homeschooling 3.126997 12.782073Lösung\(\alpha\): Plausible Werte für die durchschnittliche Zufriedenheit bei Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand der Referenzkategorie Homeschooling liegt nicht vor liegen zwischen 49.13 und 55.614.
\(\beta_{1}\): Wir erwarten, dass der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Zufriedenheit bei Personen der Referenzkategorie Homeschooling liegt nicht vor, zwischen 3.09 und 9.632 liegt.
\(\beta_{2}\): Plausible Werte für die Differenz der durchschnittlichen Zufriedenheit zwischen Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand der Gruppe Homeschooling liegt vor und Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand der Referenzgruppe Homeschooling liegt nicht vor, liegen zwischen -2.268 und 7.365.
\(\beta_{3}\): Wir erwarten, dass die Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Zufriedenheit zwischen Personen der Gruppe Homeschooling liegt vor, und Personen der Referenzgruppe Homeschooling liegt nicht vor, zwischen 3.127 und 12.782 liegt.
Sie interessieren sich für den Einfluss der diskreten UV Ausreichend_Schlaf mit den Ausprägungen liegt vor und liegt nicht vor auf die stetige AV Zufriedenheit. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta \cdot D_{i} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).
Lösung\(\alpha\): erwartete Zufriedenheit bei Personen ohne Ausreichend_Schlaf.
\(\beta\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen Personen mit und ohne Ausreichend_Schlaf.
\(\alpha + \beta\): erwartete Zufriedenheit von Personen mit Ausreichend_Schlaf.
Sie interessieren sich außerdem für den Einfluss der diskreten UV Bildungseinrichtung mit den Ausprägungen Grundschule, Gymnasium und Uni auf die stetige AV Zufriedenheit. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Grundschule.
Stellen Sie die Modellgleichung mit Dummy-Variablen \(D_{{Gymnasium}_{i}}\) und \(D_{{Uni}_{i}}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\alpha + \beta_{Gymnasium}\), \(\alpha{+ \beta}_{Uni}\), \(\beta_{Gymnasium}\), \(\beta_{Uni}\) und \(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Grundschule: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i} \\ &Y_{i} = \alpha + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Gymnasium: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 1 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 1 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Uni: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 1 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 1 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Uni} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Entsprechend gilt:
\(\alpha\): erwartete Zufriedenheit bei Grundschule .
\(\alpha + \beta_{Gymnasium}\): erwartete Zufriedenheit bei Gymnasium .
\(\alpha + \beta_{Uni}\): erwartete Zufriedenheit bei Uni .
\(\beta_{Gymnasium}\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen Gymnasium und Grundschule .
\(\beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen Uni und Grundschule .
\(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen Gymnasium und Uni .
Sie wollen untersuchen, inwiefern der Einfluss der (stetigen) UV Motivation_z (z-standardisiert) auf die stetige AV Zufriedenheit davon abhängt, ob Ausreichend_Schlaf vorliegt oder nicht. Hierfür wählen Sie als Referenzkategorie die Ausprägung Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\), \(\beta_{3}\), \(\alpha + \beta_{2}\) und \(\beta_{1} + \beta_{3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &D_i = 0\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 0 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 0 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Ausreichend_Schlaf liegt vor: \[ \begin{align*} &D_i = 1\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 1 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 1 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = (\alpha + \beta_{2}) + (\beta_{1} + \beta_{3}) \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
\(\alpha\): erwartete Zufriedenheit bei Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\beta_{1}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit bei Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\beta_{2}\): Differenz in der erwarteten Zufriedenheit zwischen Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt und Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\beta_{3}\): Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit zwischen Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt, und Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\alpha + \beta_{2}\): erwartete Zufriedenheit bei Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt.
\(\beta_{1} + \beta_{3}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit bei Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt.
Sie wollen untersuchen, ob tatsächlich ein Interaktionseffekt vorliegt. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.
Lösung\[ \begin{align*} H_{0}:\beta_{3} = 0 \\ H_{1}:\beta_{3} \neq 0 \end{align*} \]
Treffen Sie für diese Hypothese eine Testentscheidung (\(\alpha = 0.005\)) anhand des folgenden R-Outputs.
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -39.443 -9.193 -0.865 10.087 43.358 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 55.195 1.679 32.865 < 2e-16 *** Motivation_z 3.867 1.634 2.366 0.01928 * Ausreichend_Schlaf 2.776 2.408 1.153 0.25094 Motivation_z:Ausreichend_Schlaf 6.798 2.425 2.803 0.00575 ** --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 14.71 on 146 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.2217, Adjusted R-squared: 0.2057 F-statistic: 13.86 on 3 and 146 DF, p-value: 5.291e-08LösungDer p-Wert ist mit 0.00575 größer als \(\alpha = 0.005\). Wir entscheiden uns daher für die \(H_{0}: \beta = 0\) und somit dafür, dass kein Interaktionseffekt vorliegt.
Interpretieren Sie das z-standardisierte KI für die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\) und \(\beta_{3}\).
2.5 % 97.5 % (Intercept) 51.8757098 58.513920 Motivation_z 0.6373418 7.097030 Ausreichend_Schlaf -1.9835028 7.534586 Motivation_z:Ausreichend_Schlaf 2.0046119 11.591543Lösung\(\alpha\): Plausible Werte für die durchschnittliche Zufriedenheit bei Personen mit durchschnittlicher Motivation der Referenzkategorie Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor liegen zwischen 51.876 und 58.514.
\(\beta_{1}\): Wir erwarten, dass der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit bei Personen der Referenzkategorie Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor, zwischen 0.637 und 7.097 liegt.
\(\beta_{2}\): Plausible Werte für die Differenz der durchschnittlichen Zufriedenheit zwischen Personen mit durchschnittlicher Motivation der Gruppe Ausreichend_Schlaf liegt vor und Personen mit durchschnittlicher Motivation der Referenzgruppe Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor, liegen zwischen -1.984 und 7.535.
\(\beta_{3}\): Wir erwarten, dass die Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit zwischen Personen der Gruppe Ausreichend_Schlaf liegt vor, und Personen der Referenzgruppe Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor, zwischen 2.005 und 11.592 liegt.
Sie interessieren sich für den Einfluss der diskreten UV Ausreichend_Schlaf mit den Ausprägungen liegt vor und liegt nicht vor auf die stetige AV Zufriedenheit. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta \cdot D_{i} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).
Lösung\(\alpha\): erwartete Zufriedenheit bei Personen ohne Ausreichend_Schlaf.
\(\beta\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen Personen mit und ohne Ausreichend_Schlaf.
\(\alpha + \beta\): erwartete Zufriedenheit von Personen mit Ausreichend_Schlaf.
Sie interessieren sich außerdem für den Einfluss der diskreten UV Fehltage im Jahr mit den Ausprägungen unter 5, 5 bis 10 und über 10 auf die stetige AV Zufriedenheit. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung unter 5.
Stellen Sie die Modellgleichung mit Dummy-Variablen \(D_{{5 bis 10}_{i}}\) und \(D_{{über 10}_{i}}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{5 bis 10} \cdot D_{{5 bis 10}_{i}} + \beta_{über 10} \cdot D_{{über 10}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\alpha + \beta_{5 bis 10}\), \(\alpha{+ \beta}_{über 10}\), \(\beta_{5 bis 10}\), \(\beta_{über 10}\) und \(\beta_{5 bis 10} - \ \beta_{über 10}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{5 bis 10} \cdot D_{{5 bis 10}_{i}} + \beta_{über 10} \cdot D_{{über 10}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie unter 5: \[ \begin{align*} &D_{{5 bis 10}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{über 10}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{5 bis 10} \cdot 0 + \beta_{über 10} \cdot 0 + \varepsilon_{i} \\ &Y_{i} = \alpha + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie 5 bis 10: \[ \begin{align*} &D_{{5 bis 10}_{i}} = 1 \text{ und } D_{{über 10}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{5 bis 10} \cdot 1 + \beta_{über 10} \cdot 0 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{5 bis 10} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie über 10: \[ \begin{align*} &D_{{5 bis 10}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{über 10}_{i}} = 1 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{5 bis 10} \cdot 0 + \beta_{über 10} \cdot 1 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{über 10} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Entsprechend gilt:
\(\alpha\): erwartete Zufriedenheit bei unter 5 Fehltagen im Jahr.
\(\alpha + \beta_{5 bis 10}\): erwartete Zufriedenheit bei 5 bis 10 Fehltagen im Jahr.
\(\alpha + \beta_{über 10}\): erwartete Zufriedenheit bei über 10 Fehltagen im Jahr.
\(\beta_{5 bis 10}\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen 5 bis 10 und unter 5 Fehltagen im Jahr.
\(\beta_{über 10}\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen über 10 und unter 5 Fehltagen im Jahr.
\(\beta_{5 bis 10} - \ \beta_{über 10}\): Differenz der erwarteten Zufriedenheit zwischen 5 bis 10 und über 10 Fehltagen im Jahr.
Sie wollen untersuchen, inwiefern der Einfluss der (stetigen) UV Motivation_z (z-standardisiert) auf die stetige AV Zufriedenheit davon abhängt, ob Ausreichend_Schlaf vorliegt oder nicht. Hierfür wählen Sie als Referenzkategorie die Ausprägung Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\), \(\beta_{3}\), \(\alpha + \beta_{2}\) und \(\beta_{1} + \beta_{3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &D_i = 0\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 0 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 0 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Ausreichend_Schlaf liegt vor: \[ \begin{align*} &D_i = 1\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 1 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 1 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = (\alpha + \beta_{2}) + (\beta_{1} + \beta_{3}) \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
\(\alpha\): erwartete Zufriedenheit bei Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\beta_{1}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit bei Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\beta_{2}\): Differenz in der erwarteten Zufriedenheit zwischen Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt und Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\beta_{3}\): Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit zwischen Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt, und Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\alpha + \beta_{2}\): erwartete Zufriedenheit bei Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt.
\(\beta_{1} + \beta_{3}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit bei Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt.
Sie wollen untersuchen, ob tatsächlich ein Interaktionseffekt vorliegt. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.
Lösung\[ \begin{align*} H_{0}:\beta_{3} = 0 \\ H_{1}:\beta_{3} \neq 0 \end{align*} \]
Treffen Sie für diese Hypothese eine Testentscheidung (\(\alpha = 0.005\)) anhand des folgenden R-Outputs.
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -38.559 -9.987 1.089 8.395 47.060 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 51.108 1.679 30.446 < 2e-16 *** Motivation_z 4.128 1.780 2.320 0.021751 * Ausreichend_Schlaf 8.344 2.590 3.221 0.001574 ** Motivation_z:Ausreichend_Schlaf 9.550 2.567 3.720 0.000284 *** --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 15.66 on 146 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.3227, Adjusted R-squared: 0.3088 F-statistic: 23.19 on 3 and 146 DF, p-value: 2.472e-12LösungDer p-Wert ist mit 0.000284 kleiner als \(\alpha = 0.005\). Wir entscheiden uns daher für die \(H_{1}: \beta \neq 0\) und somit dafür, dass ein Interaktionseffekt vorliegt.
Interpretieren Sie das z-standardisierte KI für die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\) und \(\beta_{3}\).
2.5 % 97.5 % (Intercept) 47.790333 54.425550 Motivation_z 0.610848 7.645692 Ausreichend_Schlaf 3.224512 13.463234 Motivation_z:Ausreichend_Schlaf 4.475503 14.623813Lösung\(\alpha\): Plausible Werte für die durchschnittliche Zufriedenheit bei Personen mit durchschnittlicher Motivation der Referenzkategorie Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor liegen zwischen 47.79 und 54.426.
\(\beta_{1}\): Wir erwarten, dass der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit bei Personen der Referenzkategorie Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor, zwischen 0.611 und 7.646 liegt.
\(\beta_{2}\): Plausible Werte für die Differenz der durchschnittlichen Zufriedenheit zwischen Personen mit durchschnittlicher Motivation der Gruppe Ausreichend_Schlaf liegt vor und Personen mit durchschnittlicher Motivation der Referenzgruppe Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor, liegen zwischen 3.225 und 13.463.
\(\beta_{3}\): Wir erwarten, dass die Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Zufriedenheit zwischen Personen der Gruppe Ausreichend_Schlaf liegt vor, und Personen der Referenzgruppe Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor, zwischen 4.476 und 14.624 liegt.
Sie interessieren sich für den Einfluss der diskreten UV Nachhilfe mit den Ausprägungen liegt vor und liegt nicht vor auf die stetige AV Konzentration. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Nachhilfe liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta \cdot D_{i} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).
Lösung\(\alpha\): erwartete Konzentration bei Personen ohne Nachhilfe.
\(\beta\): Differenz der erwarteten Konzentration zwischen Personen mit und ohne Nachhilfe.
\(\alpha + \beta\): erwartete Konzentration von Personen mit Nachhilfe.
Sie interessieren sich außerdem für den Einfluss der diskreten UV Bildungseinrichtung mit den Ausprägungen Grundschule, Gymnasium und Uni auf die stetige AV Konzentration. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Grundschule.
Stellen Sie die Modellgleichung mit Dummy-Variablen \(D_{{Gymnasium}_{i}}\) und \(D_{{Uni}_{i}}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\alpha + \beta_{Gymnasium}\), \(\alpha{+ \beta}_{Uni}\), \(\beta_{Gymnasium}\), \(\beta_{Uni}\) und \(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Grundschule: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i} \\ &Y_{i} = \alpha + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Gymnasium: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 1 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 1 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Uni: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 1 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 1 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Uni} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Entsprechend gilt:
\(\alpha\): erwartete Konzentration bei Grundschule .
\(\alpha + \beta_{Gymnasium}\): erwartete Konzentration bei Gymnasium .
\(\alpha + \beta_{Uni}\): erwartete Konzentration bei Uni .
\(\beta_{Gymnasium}\): Differenz der erwarteten Konzentration zwischen Gymnasium und Grundschule .
\(\beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Konzentration zwischen Uni und Grundschule .
\(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Konzentration zwischen Gymnasium und Uni .
Sie wollen untersuchen, inwiefern der Einfluss der (stetigen) UV Lernaufwand_z (z-standardisiert) auf die stetige AV Konzentration davon abhängt, ob Nachhilfe vorliegt oder nicht. Hierfür wählen Sie als Referenzkategorie die Ausprägung Nachhilfe liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\), \(\beta_{3}\), \(\alpha + \beta_{2}\) und \(\beta_{1} + \beta_{3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &D_i = 0\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 0 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 0 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Nachhilfe liegt vor: \[ \begin{align*} &D_i = 1\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 1 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 1 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = (\alpha + \beta_{2}) + (\beta_{1} + \beta_{3}) \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
\(\alpha\): erwartete Konzentration bei Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{1}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Konzentration bei Personen, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{2}\): Differenz in der erwarteten Konzentration zwischen Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt und Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{3}\): Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Konzentration zwischen Personen, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt, und Personen, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\alpha + \beta_{2}\): erwartete Konzentration bei Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt.
\(\beta_{1} + \beta_{3}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Konzentration bei Personen, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt.
Sie wollen untersuchen, ob tatsächlich ein Interaktionseffekt vorliegt. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.
Lösung\[ \begin{align*} H_{0}:\beta_{3} = 0 \\ H_{1}:\beta_{3} \neq 0 \end{align*} \]
Treffen Sie für diese Hypothese eine Testentscheidung (\(\alpha = 0.005\)) anhand des folgenden R-Outputs.
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -40.539 -9.305 1.031 9.637 37.687 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 50.053 1.534 32.627 < 2e-16 *** Lernaufwand_z 4.953 1.508 3.284 0.00128 ** Nachhilfe 4.980 2.352 2.117 0.03597 * Lernaufwand_z:Nachhilfe 7.243 2.380 3.043 0.00278 ** --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 14.19 on 146 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.2999, Adjusted R-squared: 0.2855 F-statistic: 20.85 on 3 and 146 DF, p-value: 2.672e-11LösungDer p-Wert ist mit 0.00278 kleiner als \(\alpha = 0.005\). Wir entscheiden uns daher für die \(H_{1}: \beta \neq 0\) und somit dafür, dass ein Interaktionseffekt vorliegt.
Interpretieren Sie das z-standardisierte KI für die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\) und \(\beta_{3}\).
2.5 % 97.5 % (Intercept) 47.0213438 53.085217 Lernaufwand_z 1.9725337 7.932991 Nachhilfe 0.3304743 9.628617 Lernaufwand_z:Nachhilfe 2.5380198 11.947230Lösung\(\alpha\): Plausible Werte für die durchschnittliche Konzentration bei Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand der Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor liegen zwischen 47.021 und 53.085.
\(\beta_{1}\): Wir erwarten, dass der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Konzentration bei Personen der Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor, zwischen 1.973 und 7.933 liegt.
\(\beta_{2}\): Plausible Werte für die Differenz der durchschnittlichen Konzentration zwischen Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand der Gruppe Nachhilfe liegt vor und Personen mit durchschnittlichem Lernaufwand der Referenzgruppe Nachhilfe liegt nicht vor, liegen zwischen 0.33 und 9.629.
\(\beta_{3}\): Wir erwarten, dass die Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Lernaufwand_z und Konzentration zwischen Personen der Gruppe Nachhilfe liegt vor, und Personen der Referenzgruppe Nachhilfe liegt nicht vor, zwischen 2.538 und 11.947 liegt.
Sie interessieren sich für den Einfluss der diskreten UV Nachhilfe mit den Ausprägungen liegt vor und liegt nicht vor auf die stetige AV Prüfungsleistung. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Nachhilfe liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta \cdot D_{i} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).
Lösung\(\alpha\): erwartete Prüfungsleistung bei Personen ohne Nachhilfe.
\(\beta\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen Personen mit und ohne Nachhilfe.
\(\alpha + \beta\): erwartete Prüfungsleistung von Personen mit Nachhilfe.
Sie interessieren sich außerdem für den Einfluss der diskreten UV Geschwisteranzahl mit den Ausprägungen keine, 1-2 und über 3 auf die stetige AV Prüfungsleistung. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung keine.
Stellen Sie die Modellgleichung mit Dummy-Variablen \(D_{{1-2}_{i}}\) und \(D_{{über 3}_{i}}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot D_{{1-2}_{i}} + \beta_{über 3} \cdot D_{{über 3}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\alpha + \beta_{1-2}\), \(\alpha{+ \beta}_{über 3}\), \(\beta_{1-2}\), \(\beta_{über 3}\) und \(\beta_{1-2} - \ \beta_{über 3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot D_{{1-2}_{i}} + \beta_{über 3} \cdot D_{{über 3}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie keine: \[ \begin{align*} &D_{{1-2}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{über 3}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot 0 + \beta_{über 3} \cdot 0 + \varepsilon_{i} \\ &Y_{i} = \alpha + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie 1-2: \[ \begin{align*} &D_{{1-2}_{i}} = 1 \text{ und } D_{{über 3}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot 1 + \beta_{über 3} \cdot 0 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie über 3: \[ \begin{align*} &D_{{1-2}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{über 3}_{i}} = 1 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot 0 + \beta_{über 3} \cdot 1 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{über 3} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Entsprechend gilt:
\(\alpha\): erwartete Prüfungsleistung bei keine Geschwistern.
\(\alpha + \beta_{1-2}\): erwartete Prüfungsleistung bei 1-2 Geschwistern.
\(\alpha + \beta_{über 3}\): erwartete Prüfungsleistung bei über 3 Geschwistern.
\(\beta_{1-2}\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen 1-2 und keine Geschwistern.
\(\beta_{über 3}\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen über 3 und keine Geschwistern.
\(\beta_{1-2} - \ \beta_{über 3}\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen 1-2 und über 3 Geschwistern.
Sie wollen untersuchen, inwiefern der Einfluss der (stetigen) UV Alter_z (z-standardisiert) auf die stetige AV Prüfungsleistung davon abhängt, ob Nachhilfe vorliegt oder nicht. Hierfür wählen Sie als Referenzkategorie die Ausprägung Nachhilfe liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\), \(\beta_{3}\), \(\alpha + \beta_{2}\) und \(\beta_{1} + \beta_{3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &D_i = 0\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 0 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 0 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Nachhilfe liegt vor: \[ \begin{align*} &D_i = 1\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 1 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 1 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = (\alpha + \beta_{2}) + (\beta_{1} + \beta_{3}) \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
\(\alpha\): erwartete Prüfungsleistung bei Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{1}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung bei Personen, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{2}\): Differenz in der erwarteten Prüfungsleistung zwischen Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt und Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{3}\): Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung zwischen Personen, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt, und Personen, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\alpha + \beta_{2}\): erwartete Prüfungsleistung bei Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt.
\(\beta_{1} + \beta_{3}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung bei Personen, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt.
Sie wollen untersuchen, ob tatsächlich ein Interaktionseffekt vorliegt. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.
Lösung\[ \begin{align*} H_{0}:\beta_{3} = 0 \\ H_{1}:\beta_{3} \neq 0 \end{align*} \]
Treffen Sie für diese Hypothese eine Testentscheidung (\(\alpha = 0.005\)) anhand des folgenden R-Outputs.
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -51.070 -9.764 -0.428 9.686 34.330 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 47.807 1.821 26.252 < 2e-16 *** Alter_z 4.174 1.898 2.199 0.02944 * Nachhilfe 8.128 2.572 3.160 0.00192 ** Alter_z:Nachhilfe 7.628 2.588 2.948 0.00373 ** --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 15.47 on 146 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.3216, Adjusted R-squared: 0.3077 F-statistic: 23.07 on 3 and 146 DF, p-value: 2.774e-12LösungDer p-Wert ist mit 0.00373 kleiner als \(\alpha = 0.005\). Wir entscheiden uns daher für die \(H_{1}: \beta \neq 0\) und somit dafür, dass ein Interaktionseffekt vorliegt.
Interpretieren Sie das z-standardisierte KI für die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\) und \(\beta_{3}\).
2.5 % 97.5 % (Intercept) 44.2083486 51.406605 Alter_z 0.4229374 7.925374 Nachhilfe 3.0451050 13.211319 Alter_z:Nachhilfe 2.5138111 12.742578Lösung\(\alpha\): Plausible Werte für die durchschnittliche Prüfungsleistung bei Personen mit durchschnittlichem Alter der Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor liegen zwischen 44.208 und 51.407.
\(\beta_{1}\): Wir erwarten, dass der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung bei Personen der Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor, zwischen 0.423 und 7.925 liegt.
\(\beta_{2}\): Plausible Werte für die Differenz der durchschnittlichen Prüfungsleistung zwischen Personen mit durchschnittlichem Alter der Gruppe Nachhilfe liegt vor und Personen mit durchschnittlichem Alter der Referenzgruppe Nachhilfe liegt nicht vor, liegen zwischen 3.045 und 13.211.
\(\beta_{3}\): Wir erwarten, dass die Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung zwischen Personen der Gruppe Nachhilfe liegt vor, und Personen der Referenzgruppe Nachhilfe liegt nicht vor, zwischen 2.514 und 12.743 liegt.
Sie interessieren sich für den Einfluss der diskreten UV Nachhilfe mit den Ausprägungen liegt vor und liegt nicht vor auf die stetige AV Prüfungsleistung. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Nachhilfe liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta \cdot D_{i} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).
Lösung\(\alpha\): erwartete Prüfungsleistung bei Personen ohne Nachhilfe.
\(\beta\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen Personen mit und ohne Nachhilfe.
\(\alpha + \beta\): erwartete Prüfungsleistung von Personen mit Nachhilfe.
Sie interessieren sich außerdem für den Einfluss der diskreten UV Bildungseinrichtung mit den Ausprägungen Grundschule, Gymnasium und Uni auf die stetige AV Prüfungsleistung. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Grundschule.
Stellen Sie die Modellgleichung mit Dummy-Variablen \(D_{{Gymnasium}_{i}}\) und \(D_{{Uni}_{i}}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\alpha + \beta_{Gymnasium}\), \(\alpha{+ \beta}_{Uni}\), \(\beta_{Gymnasium}\), \(\beta_{Uni}\) und \(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Grundschule: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i} \\ &Y_{i} = \alpha + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Gymnasium: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 1 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 1 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Uni: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 1 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 1 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Uni} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Entsprechend gilt:
\(\alpha\): erwartete Prüfungsleistung bei Grundschule .
\(\alpha + \beta_{Gymnasium}\): erwartete Prüfungsleistung bei Gymnasium .
\(\alpha + \beta_{Uni}\): erwartete Prüfungsleistung bei Uni .
\(\beta_{Gymnasium}\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen Gymnasium und Grundschule .
\(\beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen Uni und Grundschule .
\(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen Gymnasium und Uni .
Sie wollen untersuchen, inwiefern der Einfluss der (stetigen) UV Motivation_z (z-standardisiert) auf die stetige AV Prüfungsleistung davon abhängt, ob Nachhilfe vorliegt oder nicht. Hierfür wählen Sie als Referenzkategorie die Ausprägung Nachhilfe liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\), \(\beta_{3}\), \(\alpha + \beta_{2}\) und \(\beta_{1} + \beta_{3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &D_i = 0\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 0 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 0 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Nachhilfe liegt vor: \[ \begin{align*} &D_i = 1\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 1 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 1 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = (\alpha + \beta_{2}) + (\beta_{1} + \beta_{3}) \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
\(\alpha\): erwartete Prüfungsleistung bei Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{1}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Prüfungsleistung bei Personen, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{2}\): Differenz in der erwarteten Prüfungsleistung zwischen Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt und Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{3}\): Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Prüfungsleistung zwischen Personen, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt, und Personen, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\alpha + \beta_{2}\): erwartete Prüfungsleistung bei Personen mit durchschnittlicher Motivation, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt.
\(\beta_{1} + \beta_{3}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Prüfungsleistung bei Personen, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt.
Sie wollen untersuchen, ob tatsächlich ein Interaktionseffekt vorliegt. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.
Lösung\[ \begin{align*} H_{0}:\beta_{3} = 0 \\ H_{1}:\beta_{3} \neq 0 \end{align*} \]
Treffen Sie für diese Hypothese eine Testentscheidung (\(\alpha = 0.005\)) anhand des folgenden R-Outputs.
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -43.196 -8.761 -1.423 10.395 36.589 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 47.537 1.771 26.837 < 2e-16 *** Motivation_z 6.906 1.674 4.125 6.19e-05 *** Nachhilfe 10.741 2.410 4.456 1.65e-05 *** Motivation_z:Nachhilfe 3.760 2.412 1.559 0.121 --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 14.68 on 146 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.3512, Adjusted R-squared: 0.3379 F-statistic: 26.35 on 3 and 146 DF, p-value: 1.116e-13LösungDer p-Wert ist mit 0.121 größer als \(\alpha = 0.005\). Wir entscheiden uns daher für die \(H_{0}: \beta = 0\) und somit dafür, dass kein Interaktionseffekt vorliegt.
Interpretieren Sie das z-standardisierte KI für die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\) und \(\beta_{3}\).
2.5 % 97.5 % (Intercept) 44.036064 51.037508 Motivation_z 3.597547 10.214478 Nachhilfe 5.977531 15.504497 Motivation_z:Nachhilfe -1.007650 8.527003Lösung\(\alpha\): Plausible Werte für die durchschnittliche Prüfungsleistung bei Personen mit durchschnittlicher Motivation der Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor liegen zwischen 44.036 und 51.038.
\(\beta_{1}\): Wir erwarten, dass der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Prüfungsleistung bei Personen der Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor, zwischen 3.598 und 10.214 liegt.
\(\beta_{2}\): Plausible Werte für die Differenz der durchschnittlichen Prüfungsleistung zwischen Personen mit durchschnittlicher Motivation der Gruppe Nachhilfe liegt vor und Personen mit durchschnittlicher Motivation der Referenzgruppe Nachhilfe liegt nicht vor, liegen zwischen 5.978 und 15.504.
\(\beta_{3}\): Wir erwarten, dass die Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Motivation_z und Prüfungsleistung zwischen Personen der Gruppe Nachhilfe liegt vor, und Personen der Referenzgruppe Nachhilfe liegt nicht vor, zwischen -1.008 und 8.527 liegt.
Sie interessieren sich für den Einfluss der diskreten UV Nachhilfe mit den Ausprägungen liegt vor und liegt nicht vor auf die stetige AV Konzentration. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Nachhilfe liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta \cdot D_{i} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).
Lösung\(\alpha\): erwartete Konzentration bei Personen ohne Nachhilfe.
\(\beta\): Differenz der erwarteten Konzentration zwischen Personen mit und ohne Nachhilfe.
\(\alpha + \beta\): erwartete Konzentration von Personen mit Nachhilfe.
Sie interessieren sich außerdem für den Einfluss der diskreten UV Bildungseinrichtung mit den Ausprägungen Grundschule, Gymnasium und Uni auf die stetige AV Konzentration. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Grundschule.
Stellen Sie die Modellgleichung mit Dummy-Variablen \(D_{{Gymnasium}_{i}}\) und \(D_{{Uni}_{i}}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\alpha + \beta_{Gymnasium}\), \(\alpha{+ \beta}_{Uni}\), \(\beta_{Gymnasium}\), \(\beta_{Uni}\) und \(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot D_{{Gymnasium}_{i}} + \beta_{Uni} \cdot D_{{Uni}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Grundschule: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i} \\ &Y_{i} = \alpha + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Gymnasium: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 1 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 1 + \beta_{Uni} \cdot 0 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Uni: \[ \begin{align*} &D_{{Gymnasium}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{Uni}_{i}} = 1 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Gymnasium} \cdot 0 + \beta_{Uni} \cdot 1 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{Uni} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Entsprechend gilt:
\(\alpha\): erwartete Konzentration bei Grundschule .
\(\alpha + \beta_{Gymnasium}\): erwartete Konzentration bei Gymnasium .
\(\alpha + \beta_{Uni}\): erwartete Konzentration bei Uni .
\(\beta_{Gymnasium}\): Differenz der erwarteten Konzentration zwischen Gymnasium und Grundschule .
\(\beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Konzentration zwischen Uni und Grundschule .
\(\beta_{Gymnasium} - \ \beta_{Uni}\): Differenz der erwarteten Konzentration zwischen Gymnasium und Uni .
Sie wollen untersuchen, inwiefern der Einfluss der (stetigen) UV Alter_z (z-standardisiert) auf die stetige AV Konzentration davon abhängt, ob Nachhilfe vorliegt oder nicht. Hierfür wählen Sie als Referenzkategorie die Ausprägung Nachhilfe liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\), \(\beta_{3}\), \(\alpha + \beta_{2}\) und \(\beta_{1} + \beta_{3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &D_i = 0\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 0 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 0 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Nachhilfe liegt vor: \[ \begin{align*} &D_i = 1\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 1 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 1 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = (\alpha + \beta_{2}) + (\beta_{1} + \beta_{3}) \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
\(\alpha\): erwartete Konzentration bei Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{1}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Konzentration bei Personen, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{2}\): Differenz in der erwarteten Konzentration zwischen Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt und Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\beta_{3}\): Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Konzentration zwischen Personen, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt, und Personen, bei denen die UV Nachhilfe nicht vorliegt.
\(\alpha + \beta_{2}\): erwartete Konzentration bei Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt.
\(\beta_{1} + \beta_{3}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Konzentration bei Personen, bei denen die UV Nachhilfe vorliegt.
Sie wollen untersuchen, ob tatsächlich ein Interaktionseffekt vorliegt. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.
Lösung\[ \begin{align*} H_{0}:\beta_{3} = 0 \\ H_{1}:\beta_{3} \neq 0 \end{align*} \]
Treffen Sie für diese Hypothese eine Testentscheidung (\(\alpha = 0.005\)) anhand des folgenden R-Outputs.
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -45.167 -9.753 -0.303 9.777 34.890 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 46.7008 1.8325 25.484 < 2e-16 *** Alter_z 9.4631 1.9193 4.931 2.20e-06 *** Nachhilfe 12.7333 2.5577 4.978 1.78e-06 *** Alter_z:Nachhilfe -0.3559 2.5801 -0.138 0.89 --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 15.66 on 146 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.3464, Adjusted R-squared: 0.333 F-statistic: 25.8 on 3 and 146 DF, p-value: 1.896e-13LösungDer p-Wert ist mit 0.890 größer als \(\alpha = 0.005\). Wir entscheiden uns daher für die \(H_{0}: \beta = 0\) und somit dafür, dass kein Interaktionseffekt vorliegt.
Interpretieren Sie das z-standardisierte KI für die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\) und \(\beta_{3}\).
2.5 % 97.5 % (Intercept) 43.079061 50.322498 Alter_z 5.670011 13.256220 Nachhilfe 7.678430 17.788265 Alter_z:Nachhilfe -5.455082 4.743216Lösung\(\alpha\): Plausible Werte für die durchschnittliche Konzentration bei Personen mit durchschnittlichem Alter der Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor liegen zwischen 43.079 und 50.322.
\(\beta_{1}\): Wir erwarten, dass der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Konzentration bei Personen der Referenzkategorie Nachhilfe liegt nicht vor, zwischen 5.67 und 13.256 liegt.
\(\beta_{2}\): Plausible Werte für die Differenz der durchschnittlichen Konzentration zwischen Personen mit durchschnittlichem Alter der Gruppe Nachhilfe liegt vor und Personen mit durchschnittlichem Alter der Referenzgruppe Nachhilfe liegt nicht vor, liegen zwischen 7.678 und 17.788.
\(\beta_{3}\): Wir erwarten, dass die Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Konzentration zwischen Personen der Gruppe Nachhilfe liegt vor, und Personen der Referenzgruppe Nachhilfe liegt nicht vor, zwischen -5.455 und 4.743 liegt.
Sie interessieren sich für den Einfluss der diskreten UV Ausreichend_Schlaf mit den Ausprägungen liegt vor und liegt nicht vor auf die stetige AV Prüfungsleistung. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta \cdot D_{i} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta\) und \(\alpha + \beta\).
Lösung\(\alpha\): erwartete Prüfungsleistung bei Personen ohne Ausreichend_Schlaf.
\(\beta\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen Personen mit und ohne Ausreichend_Schlaf.
\(\alpha + \beta\): erwartete Prüfungsleistung von Personen mit Ausreichend_Schlaf.
Sie interessieren sich außerdem für den Einfluss der diskreten UV Geschwisteranzahl mit den Ausprägungen keine, 1-2 und über 3 auf die stetige AV Prüfungsleistung. Als Referenzkategorie wählen Sie die Ausprägung keine.
Stellen Sie die Modellgleichung mit Dummy-Variablen \(D_{{1-2}_{i}}\) und \(D_{{über 3}_{i}}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot D_{{1-2}_{i}} + \beta_{über 3} \cdot D_{{über 3}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\alpha + \beta_{1-2}\), \(\alpha{+ \beta}_{über 3}\), \(\beta_{1-2}\), \(\beta_{über 3}\) und \(\beta_{1-2} - \ \beta_{über 3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot D_{{1-2}_{i}} + \beta_{über 3} \cdot D_{{über 3}_{i}} + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie keine: \[ \begin{align*} &D_{{1-2}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{über 3}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot 0 + \beta_{über 3} \cdot 0 + \varepsilon_{i} \\ &Y_{i} = \alpha + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie 1-2: \[ \begin{align*} &D_{{1-2}_{i}} = 1 \text{ und } D_{{über 3}_{i}} = 0 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot 1 + \beta_{über 3} \cdot 0 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie über 3: \[ \begin{align*} &D_{{1-2}_{i}} = 0 \text{ und } D_{{über 3}_{i}} = 1 \\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1-2} \cdot 0 + \beta_{über 3} \cdot 1 + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{über 3} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Entsprechend gilt:
\(\alpha\): erwartete Prüfungsleistung bei keine Geschwistern.
\(\alpha + \beta_{1-2}\): erwartete Prüfungsleistung bei 1-2 Geschwistern.
\(\alpha + \beta_{über 3}\): erwartete Prüfungsleistung bei über 3 Geschwistern.
\(\beta_{1-2}\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen 1-2 und keine Geschwistern.
\(\beta_{über 3}\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen über 3 und keine Geschwistern.
\(\beta_{1-2} - \ \beta_{über 3}\): Differenz der erwarteten Prüfungsleistung zwischen 1-2 und über 3 Geschwistern.
Sie wollen untersuchen, inwiefern der Einfluss der (stetigen) UV Alter_z (z-standardisiert) auf die stetige AV Prüfungsleistung davon abhängt, ob Ausreichend_Schlaf vorliegt oder nicht. Hierfür wählen Sie als Referenzkategorie die Ausprägung Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor.
Stellen Sie die allgemeine Modellgleichung mit Dummy-Variable \(D_{i}\) auf.
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Interpretieren Sie die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\), \(\beta_{3}\), \(\alpha + \beta_{2}\) und \(\beta_{1} + \beta_{3}\).
Lösung\[Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot D_{i} + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot D_{i} \right) + \varepsilon_{i}\]
Modellgleichung für Referenzkategorie Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor: \[ \begin{align*} &D_i = 0\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 0 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 0 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
Modellgleichung für Kategorie Ausreichend_Schlaf liegt vor: \[ \begin{align*} &D_i = 1\\ &Y_{i} = \alpha + \beta_{1} \cdot Z_{i} + \beta_{2} \cdot 1 + \beta_{3}\left( Z_{i} \cdot 1 \right) + \varepsilon_{i}\\ &Y_{i} = (\alpha + \beta_{2}) + (\beta_{1} + \beta_{3}) \cdot Z_{i} + \varepsilon_{i} \end{align*} \]
\(\alpha\): erwartete Prüfungsleistung bei Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\beta_{1}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung bei Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\beta_{2}\): Differenz in der erwarteten Prüfungsleistung zwischen Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt und Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\beta_{3}\): Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung zwischen Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt, und Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf nicht vorliegt.
\(\alpha + \beta_{2}\): erwartete Prüfungsleistung bei Personen mit durchschnittlichem Alter, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt.
\(\beta_{1} + \beta_{3}\): Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung bei Personen, bei denen die UV Ausreichend_Schlaf vorliegt.
Sie wollen untersuchen, ob tatsächlich ein Interaktionseffekt vorliegt. Stellen Sie die statistischen Hypothesen auf.
Lösung\[ \begin{align*} H_{0}:\beta_{3} = 0 \\ H_{1}:\beta_{3} \neq 0 \end{align*} \]
Treffen Sie für diese Hypothese eine Testentscheidung (\(\alpha = 0.005\)) anhand des folgenden R-Outputs.
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -38.661 -8.531 0.102 8.701 38.474 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 51.072 1.779 28.706 < 2e-16 *** Alter_z 4.656 1.736 2.682 0.00817 ** Ausreichend_Schlaf 2.777 2.467 1.125 0.26223 Alter_z:Ausreichend_Schlaf 7.720 2.474 3.121 0.00218 ** --- Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 15.09 on 146 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.2857, Adjusted R-squared: 0.2711 F-statistic: 19.47 on 3 and 146 DF, p-value: 1.129e-10LösungDer p-Wert ist mit 0.00218 kleiner als \(\alpha = 0.005\). Wir entscheiden uns daher für die \(H_{1}: \beta \neq 0\) und somit dafür, dass ein Interaktionseffekt vorliegt.
Interpretieren Sie das z-standardisierte KI für die Parameter \(\alpha\), \(\beta_{1}\), \(\beta_{2}\) und \(\beta_{3}\).
2.5 % 97.5 % (Intercept) 47.555872 54.588388 Alter_z 1.224885 8.087580 Ausreichend_Schlaf -2.099243 7.652944 Alter_z:Ausreichend_Schlaf 2.830862 12.608959Lösung\(\alpha\): Plausible Werte für die durchschnittliche Prüfungsleistung bei Personen mit durchschnittlichem Alter der Referenzkategorie Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor liegen zwischen 47.556 und 54.588.
\(\beta_{1}\): Wir erwarten, dass der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung bei Personen der Referenzkategorie Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor, zwischen 1.225 und 8.088 liegt.
\(\beta_{2}\): Plausible Werte für die Differenz der durchschnittlichen Prüfungsleistung zwischen Personen mit durchschnittlichem Alter der Gruppe Ausreichend_Schlaf liegt vor und Personen mit durchschnittlichem Alter der Referenzgruppe Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor, liegen zwischen -2.099 und 7.653.
\(\beta_{3}\): Wir erwarten, dass die Differenz der Steigungsparameter für den Zusammenhang zwischen Alter_z und Prüfungsleistung zwischen Personen der Gruppe Ausreichend_Schlaf liegt vor, und Personen der Referenzgruppe Ausreichend_Schlaf liegt nicht vor, zwischen 2.831 und 12.609 liegt.