[1] 2.483184e-05Übungsaufgaben
Parameterschätzung
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Wir interessieren uns für die durchschnittliche Schuhgröße von PsychologiestudentInnen in Deutschland. Wir ziehen hierfür eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 37. Die Zufallsvariablen \(X_{1},\ X_{2},\ \ldots,\ X_{i},\ldots,\ X_{n}\) stehen jeweils für die Schuhgröße der i-ten gezogenen Person. Wir nehmen an, dass \(X_{i}\ \sim\ N\left( \mu,\ \ \sigma^{2} \right)\) mit \(\mu = 41\) und \(\sigma^{2} = 9\) gilt. Als Schätzfunktion für \(\mu\) betrachten wir \(\widehat{\mu} = \bar{X}\).
Was ist (unter den oben genannten Annahmen) die durchschnittliche Schuhgröße der PsychologiestudentInnen in Deutschland?
LösungDie durchschnittliche Schuhgröße in der Population entspricht dem Parameter \(\mu\), ist also gleich 41 EU-Größen.
Wie können Sie die Realisation \(x_{18}\) der Zufallsvariable \(X_{18}\) interpretieren?
LösungSchuhgröße der 18. zufällig gezogenen Person.
Geben Sie die Standardabweichung von \(X_{18}\) an. Interpretieren Sie diese.
Lösung\[SD\left( X_{18} \right) = \sqrt{Var\left( X_{18} \right)} = \sqrt{\sigma^{2}} = \sqrt{9} = 3\]
Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 37 ziehen würden und jedes Mal nur die Schuhgröße der 18. zufällig gezogenen Person betrachten würden, wäre die empirische Standardabweichung dieser Werte gleich 3.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{X_{18}}\) von \(X_{18}\) an.
Lösung\[X_{18}\ \sim\ N(41,\ 9)\]
Wie können Sie die Realisation \(\bar{x}\) der Schätzfunktion \(\bar{X}\) interpretieren (falls der Parameterwert von \(\mu\) unbekannt wäre)?
Lösung\(\bar{x}\) ist die durchschnittliche Schuhgröße in der von uns gezogenen Stichprobe und dadurch ein Schätzwert für \(\mu\) und für die durchschnittliche Schuhgröße der PsychologiestudentInnen in Deutschland.
Geben Sie die Standardabweichung der Schätzfunktion \(\bar{X}\) an. Interpretieren Sie diese.
Lösung\[SD\left( \bar{X} \right) = \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{9}{37}} \approx \sqrt{0.243} = 0.493\]
\(SD\left( \bar{X} \right) = SE\left( \bar{X} \right)\) ist der Standardfehler der Schätzfunktion \(\bar{X}\).
Interpretation: Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 37 ziehen würden und in jeder dieser Stichproben die durchschnittliche Schuhgröße – also den Schätzwert für \(\mu\) - berechnen würden, wäre die empirische Standardabweichung dieser Schätzwerte gleich 0.493.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{\bar{X}}\) der Schätzfunktion \(\bar{X}\) an.
Lösung\[E\left( \bar{X} \right) = \mu = 41\]
\[Var\left( \bar{X} \right) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{9}{37} \approx 0.243\]
\[\bar{X}\ \sim\ N(41,\ 0.243)\]
Berechnen Sie in R die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 EU-Größen von dem wahren Parameterwert \(\mu = 41\) entfernt ist.
LösungDie Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 EU-Größen von dem wahren Parameterwert entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie sich in einem Schätzwert realisiert, der kleiner als 39 oder größer als 43 ist.
\[P\left( \bar{X} < 39 \right) = P\left( \bar{X} \leq 39 \right) = F(39)\]
\[P\left( \bar{X} > 43 \right) = 1 - P\left( \bar{X} \leq 43 \right) = 1 - F(43)\]
Wir wissen, dass \(\bar{X}\ \sim\ N(41,\ 0.243)\) gilt, und können deshalb \(F(39)\) und \(F(43)\) mithilfe der Funktion
pnormin R berechnen:pnorm(39, mean = 41, sd = sqrt(0.243))pnorm(43, mean = 41, sd = sqrt(0.243))[1] 0.9999752Es ergibt sich
\(F(39) =\) \(2.505 \times 10^{-5}\)
\(F(43) =\) \(1.000\)
Und damit
\[\begin{align*} P\left( \bar{X} < 39\ oder\ \bar{X} > 43 \right) &= P\left( \bar{X} < 39 \right) + P\left( \bar{X} > 43 \right) \\ &= F(39) + 1 - F(43) \\ &= 2 \cdot F(39) \\ &= 2 \cdot \ 2.505 \times 10^{-5}\ \approx \ 5.010 \times 10^{-5}\ \end{align*}\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 EU-Größen von dem wahren Parameterwert entfernt ist, beträgt also \(5.010 \times 10^{-5}\).
Sei nun die Größe der Zufallsstichprobe n = 148 statt n = 37. Welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in diesem Fall? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich diese Schätzfunktion in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 EU-Größen von dem wahren Parameterwert \(\mu = 41\) entfernt ist.
Lösung\[E\left( \bar{X} \right) = \mu = 41\]
\[Var\left( \bar{X} \right) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{9}{148} \approx 0.061\]
\[\bar{X}\ \sim\ N(41,\ 0.061)\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 EU-Größen von dem wahren Parameterwert entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie sich in einem Schätzwert realisiert, der kleiner als 39 oder größer als 43 ist.
\[P\left( \bar{X} < 39 \right) = P\left( \bar{X} \leq 39 \right) = F(39)\]
\[P\left( \bar{X} > 43 \right) = 1 - P\left( \bar{X} \leq 43 \right) = 1 - F(43)\]
Wir wissen, dass \(\bar{X}\ \sim\ N(41,\ 0.061)\) gilt und können deshalb \(F(39)\) und \(F(43)\) mithilfe der Funktion pnorm in R berechnen:
pnorm(39, mean = 41, sd = sqrt(0.061))[1] 2.523707e-16pnorm(43, mean = 41, sd = sqrt(0.061))[1] 1Es ergibt sich
\(F(39) =\) \(2.524 \times 10^{-16}\)
\(F(43) =\) \(1.000\)
Und damit
\[\begin{align*} P\left( \bar{X} < 39\ oder\ \bar{X} > 43 \right) &= P\left( \bar{X} < 39 \right) + P\left( \bar{X} > 43 \right) \\ &= F(39) + 1 - F(43) \\ &= 2 \cdot F(39) \\ &= 2 \cdot \ 2.524 \times 10^{-16}\ \approx \ 5.047 \times 10^{-16}\ \end{align*}\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) bei einer Stichprobengröße von n = 148 in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 EU-Größen von dem wahren Parameterwert entfernt ist, beträgt also \(5.047 \times 10^{-16}\). Diese Wahrscheinlichkeit ist deutlich kleiner als bei der ursprünglichen Stichprobengröße von \(n = 37\).
Wir interessieren uns für die durchschnittliche Länge des Arbeitswegs (in km) von PsychologiestudentInnen in Deutschland. Wir ziehen hierfür eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 48. Die Zufallsvariablen \(X_{1},\ X_{2},\ \ldots,\ X_{i},\ldots,\ X_{n}\) stehen jeweils für die Länge des Arbeitswegs der i-ten gezogenen Person. Wir nehmen an, dass \(X_{i}\ \sim\ N\left( \mu,\ \ \sigma^{2} \right)\) mit \(\mu = 10\) und \(\sigma^{2} = 9\) gilt. Als Schätzfunktion für \(\mu\) betrachten wir \(\widehat{\mu} = \bar{X}\).
Was ist (unter den oben genannten Annahmen) die durchschnittliche Länge des Arbeitswegs der PsychologiestudentInnen in Deutschland?
LösungDie durchschnittliche Länge des Arbeitswegs in der Population entspricht dem Parameter \(\mu\), ist also gleich 10 km.
Wie können Sie die Realisation \(x_{13}\) der Zufallsvariable \(X_{13}\) interpretieren?
LösungLänge des Arbeitswegs der 13. zufällig gezogenen Person.
Geben Sie die Standardabweichung von \(X_{13}\) an. Interpretieren Sie diese.
Lösung\[SD\left( X_{13} \right) = \sqrt{Var\left( X_{13} \right)} = \sqrt{\sigma^{2}} = \sqrt{9} = 3\]
Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 48 ziehen würden und jedes Mal nur die Länge des Arbeitswegs der 13. zufällig gezogenen Person betrachten würden, wäre die empirische Standardabweichung dieser Werte gleich 3.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{X_{13}}\) von \(X_{13}\) an.
Lösung\[X_{13}\ \sim\ N(10,\ 9)\]
Wie können Sie die Realisation \(\bar{x}\) der Schätzfunktion \(\bar{X}\) interpretieren (falls der Parameterwert von \(\mu\) unbekannt wäre)?
Lösung\(\bar{x}\) ist die durchschnittliche Länge des Arbeitswegs in der von uns gezogenen Stichprobe und dadurch ein Schätzwert für \(\mu\) und für die durchschnittliche Länge des Arbeitswegs der PsychologiestudentInnen in Deutschland.
Geben Sie die Standardabweichung der Schätzfunktion \(\bar{X}\) an. Interpretieren Sie diese.
Lösung\[SD\left( \bar{X} \right) = \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{9}{48}} \approx \sqrt{0.188} = 0.433\]
\(SD\left( \bar{X} \right) = SE\left( \bar{X} \right)\) ist der Standardfehler der Schätzfunktion \(\bar{X}\).
Interpretation: Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 48 ziehen würden und in jeder dieser Stichproben die durchschnittliche Länge des Arbeitswegs – also den Schätzwert für \(\mu\) - berechnen würden, wäre die empirische Standardabweichung dieser Schätzwerte gleich 0.433.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{\bar{X}}\) der Schätzfunktion \(\bar{X}\) an.
Lösung\[E\left( \bar{X} \right) = \mu = 10\]
\[Var\left( \bar{X} \right) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{9}{48} \approx 0.188\]
\[\bar{X}\ \sim\ N(10,\ 0.188)\]
Berechnen Sie in R die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 1 km von dem wahren Parameterwert \(\mu = 10\) entfernt ist.
LösungDie Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 1 km von dem wahren Parameterwert entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie sich in einem Schätzwert realisiert, der kleiner als 9 oder größer als 11 ist.
\[P\left( \bar{X} < 9 \right) = P\left( \bar{X} \leq 9 \right) = F(9)\]
\[P\left( \bar{X} > 11 \right) = 1 - P\left( \bar{X} \leq 11 \right) = 1 - F(11)\]
Wir wissen, dass \(\bar{X}\ \sim\ N(10,\ 0.188)\) gilt, und können deshalb \(F(9)\) und \(F(11)\) mithilfe der Funktion
pnormin R berechnen:pnorm(9, mean = 10, sd = sqrt(0.188))[1] 0.01054616pnorm(11, mean = 10, sd = sqrt(0.188))[1] 0.9894538Es ergibt sich
\(F(9) =\) \(0.01046\)
\(F(11) =\) \(0.9895\)
Und damit
\[\begin{align*} P\left( \bar{X} < 9\ oder\ \bar{X} > 11 \right) &= P\left( \bar{X} < 9 \right) + P\left( \bar{X} > 11 \right) \\ &= F(9) + 1 - F(11) \\ &= 2 \cdot F(9) \\ &= 2 \cdot \ 0.01046\ \approx \ 0.02092\ \end{align*}\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 1 km von dem wahren Parameterwert entfernt ist, beträgt also \(0.02092\).
Sei nun die Größe der Zufallsstichprobe n = 192 statt n = 48. Welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in diesem Fall? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich diese Schätzfunktion in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 1 km von dem wahren Parameterwert \(\mu = 10\) entfernt ist.
Lösung\[E\left( \bar{X} \right) = \mu = 10\]
\[Var\left( \bar{X} \right) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{9}{192} \approx 0.047\]
\[\bar{X}\ \sim\ N(10,\ 0.047)\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 1 km von dem wahren Parameterwert entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie sich in einem Schätzwert realisiert, der kleiner als 9 oder größer als 11 ist.
\[P\left( \bar{X} < 9 \right) = P\left( \bar{X} \leq 9 \right) = F(9)\]
\[P\left( \bar{X} > 11 \right) = 1 - P\left( \bar{X} \leq 11 \right) = 1 - F(11)\]
Wir wissen, dass \(\bar{X}\ \sim\ N(10,\ 0.047)\) gilt und können deshalb \(F(9)\) und \(F(11)\) mithilfe der Funktion pnorm in R berechnen:
pnorm(9, mean = 10, sd = sqrt(0.047))[1] 1.929808e-06pnorm(11, mean = 10, sd = sqrt(0.047))[1] 0.9999981Es ergibt sich
\(F(9) =\) \(1.930 \times 10^{-6}\)
\(F(11) =\) \(1.000\)
Und damit
\[\begin{align*} P\left( \bar{X} < 9\ oder\ \bar{X} > 11 \right) &= P\left( \bar{X} < 9 \right) + P\left( \bar{X} > 11 \right) \\ &= F(9) + 1 - F(11) \\ &= 2 \cdot F(9) \\ &= 2 \cdot \ 1.930 \times 10^{-6}\ \approx \ 3.860 \times 10^{-6}\ \end{align*}\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) bei einer Stichprobengröße von n = 192 in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 1 km von dem wahren Parameterwert entfernt ist, beträgt also \(3.860 \times 10^{-6}\). Diese Wahrscheinlichkeit ist deutlich kleiner als bei der ursprünglichen Stichprobengröße von \(n = 48\).
Wir interessieren uns für das durchschnittliche Alter (in Jahre) von PsychologiestudentInnen in Deutschland. Wir ziehen hierfür eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 38. Die Zufallsvariablen \(X_{1},\ X_{2},\ \ldots,\ X_{i},\ldots,\ X_{n}\) stehen jeweils für das Alter der i-ten gezogenen Person. Wir nehmen an, dass \(X_{i}\ \sim\ N\left( \mu,\ \ \sigma^{2} \right)\) mit \(\mu = 43\) und \(\sigma^{2} = 36\) gilt. Als Schätzfunktion für \(\mu\) betrachten wir \(\widehat{\mu} = \bar{X}\).
Was ist (unter den oben genannten Annahmen) das durchschnittliche Alter der PsychologiestudentInnen in Deutschland?
LösungDas durchschnittliche Alter in der Population entspricht dem Parameter \(\mu\), ist also gleich 43 Jahre.
Wie können Sie die Realisation \(x_{32}\) der Zufallsvariable \(X_{32}\) interpretieren?
LösungAlter der 32. zufällig gezogenen Person.
Geben Sie die Standardabweichung von \(X_{32}\) an. Interpretieren Sie diese.
Lösung\[SD\left( X_{32} \right) = \sqrt{Var\left( X_{32} \right)} = \sqrt{\sigma^{2}} = \sqrt{36} = 6\]
Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 38 ziehen würden und jedes Mal nur das Alter der 32. zufällig gezogenen Person betrachten würden, wäre die empirische Standardabweichung dieser Werte gleich 6.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{X_{32}}\) von \(X_{32}\) an.
Lösung\[X_{32}\ \sim\ N(43,\ 36)\]
Wie können Sie die Realisation \(\bar{x}\) der Schätzfunktion \(\bar{X}\) interpretieren (falls der Parameterwert von \(\mu\) unbekannt wäre)?
Lösung\(\bar{x}\) ist das durchschnittliche Alter in der von uns gezogenen Stichprobe und dadurch ein Schätzwert für \(\mu\) und für das durchschnittliche Alter der PsychologiestudentInnen in Deutschland.
Geben Sie die Standardabweichung der Schätzfunktion \(\bar{X}\) an. Interpretieren Sie diese.
Lösung\[SD\left( \bar{X} \right) = \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{36}{38}} \approx \sqrt{0.947} = 0.973\]
\(SD\left( \bar{X} \right) = SE\left( \bar{X} \right)\) ist der Standardfehler der Schätzfunktion \(\bar{X}\).
Interpretation: Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 38 ziehen würden und in jeder dieser Stichproben das durchschnittliche Alter – also den Schätzwert für \(\mu\) - berechnen würden, wäre die empirische Standardabweichung dieser Schätzwerte gleich 0.973.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{\bar{X}}\) der Schätzfunktion \(\bar{X}\) an.
Lösung\[E\left( \bar{X} \right) = \mu = 43\]
\[Var\left( \bar{X} \right) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{36}{38} \approx 0.947\]
\[\bar{X}\ \sim\ N(43,\ 0.947)\]
Berechnen Sie in R die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 4 Jahre von dem wahren Parameterwert \(\mu = 43\) entfernt ist.
LösungDie Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 4 Jahre von dem wahren Parameterwert entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie sich in einem Schätzwert realisiert, der kleiner als 39 oder größer als 47 ist.
\[P\left( \bar{X} < 39 \right) = P\left( \bar{X} \leq 39 \right) = F(39)\]
\[P\left( \bar{X} > 47 \right) = 1 - P\left( \bar{X} \leq 47 \right) = 1 - F(47)\]
Wir wissen, dass \(\bar{X}\ \sim\ N(43,\ 0.947)\) gilt, und können deshalb \(F(39)\) und \(F(47)\) mithilfe der Funktion
pnormin R berechnen:pnorm(39, mean = 43, sd = sqrt(0.947))[1] 1.974797e-05pnorm(47, mean = 43, sd = sqrt(0.947))[1] 0.9999803Es ergibt sich
\(F(39) =\) \(1.982 \times 10^{-5}\)
\(F(47) =\) \(1.000\)
Und damit
\[\begin{align*} P\left( \bar{X} < 39\ oder\ \bar{X} > 47 \right) &= P\left( \bar{X} < 39 \right) + P\left( \bar{X} > 47 \right) \\ &= F(39) + 1 - F(47) \\ &= 2 \cdot F(39) \\ &= 2 \cdot \ 1.982 \times 10^{-5}\ \approx \ 3.963 \times 10^{-5}\ \end{align*}\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 4 Jahre von dem wahren Parameterwert entfernt ist, beträgt also \(3.963 \times 10^{-5}\).
Sei nun die Größe der Zufallsstichprobe n = 76 statt n = 38. Welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in diesem Fall? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich diese Schätzfunktion in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 4 Jahre von dem wahren Parameterwert \(\mu = 43\) entfernt ist.
Lösung\[E\left( \bar{X} \right) = \mu = 43\]
\[Var\left( \bar{X} \right) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{36}{76} \approx 0.474\]
\[\bar{X}\ \sim\ N(43,\ 0.474)\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 4 Jahre von dem wahren Parameterwert entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie sich in einem Schätzwert realisiert, der kleiner als 39 oder größer als 47 ist.
\[P\left( \bar{X} < 39 \right) = P\left( \bar{X} \leq 39 \right) = F(39)\]
\[P\left( \bar{X} > 47 \right) = 1 - P\left( \bar{X} \leq 47 \right) = 1 - F(47)\]
Wir wissen, dass \(\bar{X}\ \sim\ N(43,\ 0.474)\) gilt und können deshalb \(F(39)\) und \(F(47)\) mithilfe der Funktion pnorm in R berechnen:
pnorm(39, mean = 43, sd = sqrt(0.474))[1] 3.089028e-09pnorm(47, mean = 43, sd = sqrt(0.474))[1] 1Es ergibt sich
\(F(39) =\) \(3.089 \times 10^{-9}\)
\(F(47) =\) \(1.000\)
Und damit
\[\begin{align*} P\left( \bar{X} < 39\ oder\ \bar{X} > 47 \right) &= P\left( \bar{X} < 39 \right) + P\left( \bar{X} > 47 \right) \\ &= F(39) + 1 - F(47) \\ &= 2 \cdot F(39) \\ &= 2 \cdot \ 3.089 \times 10^{-9}\ \approx \ 6.178 \times 10^{-9}\ \end{align*}\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) bei einer Stichprobengröße von n = 76 in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 4 Jahre von dem wahren Parameterwert entfernt ist, beträgt also \(6.178 \times 10^{-9}\). Diese Wahrscheinlichkeit ist deutlich kleiner als bei der ursprünglichen Stichprobengröße von \(n = 38\).
Wir interessieren uns für das durchschnittliche Gewicht (in kg) von PsychologiestudentInnen in Deutschland. Wir ziehen hierfür eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 45. Die Zufallsvariablen \(X_{1},\ X_{2},\ \ldots,\ X_{i},\ldots,\ X_{n}\) stehen jeweils für das Gewicht der i-ten gezogenen Person. Wir nehmen an, dass \(X_{i}\ \sim\ N\left( \mu,\ \ \sigma^{2} \right)\) mit \(\mu = 75\) und \(\sigma^{2} = 9\) gilt. Als Schätzfunktion für \(\mu\) betrachten wir \(\widehat{\mu} = \bar{X}\).
Was ist (unter den oben genannten Annahmen) das durchschnittliche Gewicht der PsychologiestudentInnen in Deutschland?
LösungDas durchschnittliche Gewicht in der Population entspricht dem Parameter \(\mu\), ist also gleich 75 kg.
Wie können Sie die Realisation \(x_{39}\) der Zufallsvariable \(X_{39}\) interpretieren?
LösungGewicht der 39. zufällig gezogenen Person.
Geben Sie die Standardabweichung von \(X_{39}\) an. Interpretieren Sie diese.
Lösung\[SD\left( X_{39} \right) = \sqrt{Var\left( X_{39} \right)} = \sqrt{\sigma^{2}} = \sqrt{9} = 3\]
Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 45 ziehen würden und jedes Mal nur das Gewicht der 39. zufällig gezogenen Person betrachten würden, wäre die empirische Standardabweichung dieser Werte gleich 3.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{X_{39}}\) von \(X_{39}\) an.
Lösung\[X_{39}\ \sim\ N(75,\ 9)\]
Wie können Sie die Realisation \(\bar{x}\) der Schätzfunktion \(\bar{X}\) interpretieren (falls der Parameterwert von \(\mu\) unbekannt wäre)?
Lösung\(\bar{x}\) ist das durchschnittliche Gewicht in der von uns gezogenen Stichprobe und dadurch ein Schätzwert für \(\mu\) und für das durchschnittliche Gewicht der PsychologiestudentInnen in Deutschland.
Geben Sie die Standardabweichung der Schätzfunktion \(\bar{X}\) an. Interpretieren Sie diese.
Lösung\[SD\left( \bar{X} \right) = \sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{9}{45}} \approx \sqrt{0.2} = 0.447\]
\(SD\left( \bar{X} \right) = SE\left( \bar{X} \right)\) ist der Standardfehler der Schätzfunktion \(\bar{X}\).
Interpretation: Falls wir unendlich oft eine einfache Zufallsstichprobe der Größe n = 45 ziehen würden und in jeder dieser Stichproben das durchschnittliche Gewicht – also den Schätzwert für \(\mu\) - berechnen würden, wäre die empirische Standardabweichung dieser Schätzwerte gleich 0.447.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P_{\bar{X}}\) der Schätzfunktion \(\bar{X}\) an.
Lösung\[E\left( \bar{X} \right) = \mu = 75\]
\[Var\left( \bar{X} \right) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{9}{45} \approx 0.2\]
\[\bar{X}\ \sim\ N(75,\ 0.2)\]
Berechnen Sie in R die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 kg von dem wahren Parameterwert \(\mu = 75\) entfernt ist.
LösungDie Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 kg von dem wahren Parameterwert entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie sich in einem Schätzwert realisiert, der kleiner als 73 oder größer als 77 ist.
\[P\left( \bar{X} < 73 \right) = P\left( \bar{X} \leq 73 \right) = F(73)\]
\[P\left( \bar{X} > 77 \right) = 1 - P\left( \bar{X} \leq 77 \right) = 1 - F(77)\]
Wir wissen, dass \(\bar{X}\ \sim\ N(75,\ 0.2)\) gilt, und können deshalb \(F(73)\) und \(F(77)\) mithilfe der Funktion
pnormin R berechnen:pnorm(73, mean = 75, sd = sqrt(0.2))[1] 3.872108e-06pnorm(77, mean = 75, sd = sqrt(0.2))[1] 0.9999961Es ergibt sich
\(F(73) =\) \(3.872 \times 10^{-6}\)
\(F(77) =\) \(1.000\)
Und damit
\[\begin{align*} P\left( \bar{X} < 73\ oder\ \bar{X} > 77 \right) &= P\left( \bar{X} < 73 \right) + P\left( \bar{X} > 77 \right) \\ &= F(73) + 1 - F(77) \\ &= 2 \cdot F(73) \\ &= 2 \cdot \ 3.872 \times 10^{-6}\ \approx \ 7.744 \times 10^{-6}\ \end{align*}\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 kg von dem wahren Parameterwert entfernt ist, beträgt also \(7.744 \times 10^{-6}\).
Sei nun die Größe der Zufallsstichprobe n = 90 statt n = 45. Welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in diesem Fall? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich diese Schätzfunktion in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 kg von dem wahren Parameterwert \(\mu = 75\) entfernt ist.
Lösung\[E\left( \bar{X} \right) = \mu = 75\]
\[Var\left( \bar{X} \right) = \frac{\sigma^{2}}{n} = \frac{9}{90} \approx 0.1\]
\[\bar{X}\ \sim\ N(75,\ 0.1)\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 kg von dem wahren Parameterwert entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie sich in einem Schätzwert realisiert, der kleiner als 73 oder größer als 77 ist.
\[P\left( \bar{X} < 73 \right) = P\left( \bar{X} \leq 73 \right) = F(73)\]
\[P\left( \bar{X} > 77 \right) = 1 - P\left( \bar{X} \leq 77 \right) = 1 - F(77)\]
Wir wissen, dass \(\bar{X}\ \sim\ N(75,\ 0.1)\) gilt und können deshalb \(F(73)\) und \(F(77)\) mithilfe der Funktion pnorm in R berechnen:
pnorm(73, mean = 75, sd = sqrt(0.1))[1] 1.269814e-10pnorm(77, mean = 75, sd = sqrt(0.1))[1] 1Es ergibt sich
\(F(73) =\) \(1.270 \times 10^{-10}\)
\(F(77) =\) \(1.000\)
Und damit
\[\begin{align*} P\left( \bar{X} < 73\ oder\ \bar{X} > 77 \right) &= P\left( \bar{X} < 73 \right) + P\left( \bar{X} > 77 \right) \\ &= F(73) + 1 - F(77) \\ &= 2 \cdot F(73) \\ &= 2 \cdot \ 1.270 \times 10^{-10}\ \approx \ 2.540 \times 10^{-10}\ \end{align*}\]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Schätzfunktion \(\bar{X}\) bei einer Stichprobengröße von n = 90 in einem Schätzwert realisiert, der weiter als 2 kg von dem wahren Parameterwert entfernt ist, beträgt also \(2.540 \times 10^{-10}\). Diese Wahrscheinlichkeit ist deutlich kleiner als bei der ursprünglichen Stichprobengröße von \(n = 45\).